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不等式(含答案解析)


不等式
一、选择题 1.已知 0 ? x ? 1, a ? 2 x , b ? 1 ? x, c ? A. a C. c 2.若 B. b D.不确定 )
1 ,则其中最大的是 ( 1? x

)

1 1 ? ? 0 ,则下列不等式: ①a ? b ? ab ; ② a ? b ; ③a ? b 中,正确的不等式有(

a b A.0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个 )

3.如果正数 a、b、c、d 满足 a ? b =cd ? 4 ,那么(

A. ab ≤ c ? d 且等号成立时, a、b、c、d 的取值唯一 B. ab ≥ c ? d 且等号成立时, a、b、c、d 的取值唯一 C. ab ≤ c ? d 且等号成立时, a、b、c、d 的取值不唯一 D. ab ≥ c ? d 且等号成立时, a、b、c、d 的取值不唯一 4.若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 3(m ? 1) ? 0 对一切实数 x 均成立,则 m 的取值范围( A. (??, ?1) C. (??, ?1] B. ( ??,13]
11

)

D. ( ??,13)
11

5.设函数 f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 1 ,则不等式 f (? x) ? 6 的解集是( A. {x | ?2 ? x ? 3} C. {x | x ? 3或x ? ?2}
x ?1

)

B. {x | ?3 ? x ? 2} D. {x | x ? 2或x ? ?3} )

6.不等式 1 ? x +1 的解集是( A. {x | x ? ? 2} B. {x | x ? 2或 ? 2 ? x ? 1} C. {x | ? 2 ? x ? 1} D. {x | 4 ? x ? 2
3 2}

7.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 ? A. m ≥ 4 或 m ≤ ?2 C. ?2 ? m ? 4

2 x

1 ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( y

)

B. m ≥ 2 或 m ≤ ?4 D. ?4 ? m ? 2 )

8.已知 x ? 0, y ? 0, x ? 2 y ? 2 xy ? 8 则 x ? 2 y 的最小值( A.3 B.4

C. 9

2

D. 11
2

9.已知 a.b.cR,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),则 A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 二、填空题 10.给出下列四个命题:①若 a ? b ? 0 ,则
a?b?0,

B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

1 1 1 1 ? ;②若 a ? b ? 0 ,则 a ? ? b ? ;③若 a b a b



2a ? b a 2 1 ? ;④ a ? 0, b ? 0 且 2a ? b ? 1 ,则 ? 的最小值为 9. a ? 2b b a b

其中正确命题的序号是

(把你认为正确命题的序号都填上) 。

11.若实数 x、y 满足 x2 ? y 2 ? xy ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 12.若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 .

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 13.在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点,则 ?y ? 0 ?

OM 的最小值为_______

14.若点 p(m,3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4,且点 p 在不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域 内,则 m= 三、解答题: .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知 a ? 0 ,求证: a ?
2

1 1 ? 2≥a? ?2 2 a a

16.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足:对任意实数 x ,都有 f ( x) ? x ,且 当

x ? (1,3) 时, f ( x) ≤ 1 ( x ? 2) 2 恒成立.
8

(1)证明: f (2) ? 2 ; (2) f (?2) ? 0 ,求 f ( x) 的表达式; (3)在(2)的条件下,设 g ( x) ? f ( x) ? m x, x ? ? 0, ??? ,若图像上的点都位于直线 y ?
2

1 的上 4

方,求实数 m 的取值范围;

17.某人上午 7 时乘摩托艇以匀速 vkm/h (4 ≤ v ≤ 20) 从 A 港出发前往 50km 处的 B 港,然后乘 汽车 以匀速 w km/h (30 ≤ w ≤ 100) 自 B 港向 300km 处的 C 市驶去, 在同一天的 16 时至 21 时到达 C, 设 成摩托艇.汽车所用的时间分别是 xh.yh, 若所需经费 p ? 100 ? 3(5 ? y) ? 2(8 ? x) 元, 那么当 v.w 分 别为多少时,所需经飞最少?并求出这时所花的经费.

18.已知 a > 0 , 设命题 p : 函数 y = a x 在 R 上单调递减, 命题 q : 设函数 y ? ? 且函 数 y > 1 恒成立,若 p ? q 为假, p ? q 为真,求 a 的范围.

? 2 x ? 2a, x ≥ 2a , ? 2a, x ? a

19.设(1) (2) 1 ?

x ≥ 1,y ≥ 1 ,证明 x ? y ? 1 ≤ 1 ? 1 ? xy ;
xy x y

a ≤ b ≤ c, 证明 log a b ? logb c ? log c a ≤ logb a ? log c b ? log a c

20.在平面直角坐标系 xOy 中,将从点 M 出发沿纵.横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一条“L 路径”。 如图 6 所示的路径 MM1M 2 M 3 N与路径MN1N 都是 M 到 N 的“L 路径”。 某地有三个新建的居民区,分别位于平面 xOy 内三点

A(3, 20), B(?10,0), C(14,0) 处。现计划在 x 轴上方区域(包含 x
轴)内的某一点 P 处修建一个文化中心。

(I)写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要 求证明) ; (II)若以原点 O 为圆心,半径为 1 的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确 定点 P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。

不等式答案
单项选择题 1. C 【解析】 本题考查不等式的基本性质以及比较大小的基本方法.由 0 ? 均为正数,由 a ? b ? (2 x ) ? (1 ? x) ? ?(1 ? x) ? 0 ,知 a<b
2 2 2 2 2

x ? 1 那么 a,b,c

因为

b 1? x ? ? 1 ? x 2 ? 1 ,所以 b<c,所以 a<b<c,故选 C 1 c 1? x
1 a 1 b

2. B【解析】本题考查不等式的性质.由 ? ? 0 ,得 a ? 0, b ? 0 ,故 a ? b ? 0 且 ab ? 0 ,所以

a ? b ? ab 即①正确; 1 ? 1 ? 0 ,得
a b

1 1 ? ,两边同乘 ab ,得 b ? a 故②错误;由① a b

②知 3.A

b ? a

, a ? 0, b ? 0 ,所以 a

? b ,即 ③ 错误,故选 B.

4.C【解析】当 m ?1 ? 0 即 m ? ?1 时不等式变为 ?6 ? 0 恒成立;当 m ?1 ? 0 时,由题意知
?m ? 1 ? 0, ? 2 ?(m ? 1) ? 12(m ? 1)(m ? 1) ? 0,

解不等式组得: m ? ?1 ,从而知 m ≤ ?1 ,选 C 5.A【解析】本题考查导数函数的运算以及不等式的求解问题,应先依题意求出 f (x)的表达 式.再解不等式.由于

f ( x) ? x m ? ax 的导函数 f ' ( x) ? 2 x ? 1 ,所以 f ( x) ? x 2 ? x ,

2 于是 f ( ? x) ? 6 ,即 x ? x ? 6 ? 0 解得 ?2 ? x ? 3 ,故选 A

6.B【解析】

1 2 ? x2 ? x+1 ? ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 2) ( x ? x ?1 x ?1

2) ? 0 ,用穿根法解得

不等式解集为

{x | x ?

2或 ? 2 ? x ? 1}.
2 1 2 1 ? ? 1 , x ? 2 y ? ( x ? 2 y) ? ( ? ) x y x y

7.D【解析)】∵ x ? 0, y ? 0 且

? 4?
即 4y
2

4y x 4y x 4y x ? , ? ≥4 ? 2 ? ? 8 ,当且仅当 x y x y x y
? x 2 , x ? 2 y 时取等号,又 ? ? 1 此时 x=4,y=2, x y
2 1

∴ ( x ? 2 y )min ? 8 ,要使 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,只需

( x ? 2 y)min ? m2 ? 2m 恒成立,即 8 ? m 2 ? 2m ,解得 ?4 ? m ? 2
8.B【解析)】 依题意的 ( x ? 1) ? (2 y ? 1) ? 9,

( x ? 1) ? (2 y ? 1) ≥ 2 ( x ? 1)(2 y ? 1) ? 6 (当且仅当 x=2y,即 x=2,
y=1 时等号成立) x ? 2 y ≥ 4 ,即 x ? 2 y 的最小值为 4. 9.【答案】A 【解析】由 f(0)=f(4)知,函数的对称轴是 X= ? 对称轴的左边递减,所以开口向上;所以选 A 【考点定位】此题考查二次函数的性质,二次函数的开口有二次项系数 ? 决定,开口向上 在对称轴左边递减,在对称轴右边递增;开口向下在对称轴左边递增,在对称轴右边递减 填空题 10.②④ 11.
2 3 【解析】 ∵ xy ≤ 3

b ? b+4a=0 由 f(0)>f(1)知函数在 2a

1 ( x ? y ) 2 , ∴1 ? x 2 ? y 2 4

2 2 ? xy ? ( x ? y )2 ? xy ≥ ( x ? y) ? ( x ? y) ?

1 4

3 ( x ? y)2 4

∴( x ? ,
12.- 4 13. 2

4 2 3 2 3 3 2 3 y)2 ≤ , ? ≤x? y≤ , 当x? y? 时,x ? y 取得最大值为 3 3 3 3 3

?14m ? 9 ? 11 ?4 ? 5 14.-3【解析】由题意可得 ? 解得 m= -3. ? 2 m ? 3 ? 3 ?

解答题 15.解:本题主要考察应用分析证明不等式,只需要注意分析法证明问题的步骤即可.

因为 a ? 0 ,所以为了证明
1 a
2 2

a ?
2

1 a
2

?

2



a?

1 a

?2,

只需证明

a ?
2

?2≥a?

1 a

?

2,

即只需证明 ( a ?

1 a
2

? 2) ≥ (a ?

2

1 a

?

2) ,

2

即a ?
2

1 1 1 1 ? 4 a2 ? 2 ? 4 ≥ a2 ? 2 ? 2 2(a ? ) ? 4, 2 a a a a
1 a2


2 即只需证明 2 a ?

1 2(a ? ) ,只需证明 a
≥ 2.

4(a 2 ?
因为 a
2

1 1 1 ) ≥ 2(a 2 ? 2 ? 2 ) ,即 a 2 ? 2 2 a a a
1 a2
≥2

?

a2 ?

1 ? 2 ,当且仅当 a ? 1 时,等号成立. a2

所以

a2 ?

1 1 ? 2 ≥ a ? ? 2. 2 a a

16.解:本题考查不等式与直线问题的综合. (1)由条件知

f (2) ? 4a ? 2b ? c ≥ 2

恒成立,

1 x ? 2 ? (1,3),∴ f (2) ? 4a ? 2b ? c ≤ × (2 ? 2) 2 ? 2 ∴ f (2) ? 2 8 又 恒成立, .
?4a ? 2b ? c ? 2 1 ∵? ,∴4a ? c ? 2b ? 1,∴b ? , c ? 1 ? 4a 4a ? 2b ? c ? 0 2 (2) ?


f ( x) ≥ x

恒成立,即

ax 2 ? (b ? 1) x ? c ≥ 0 恒成立.

1 ∴ a ? 0, ? ? ( ? 1)2 ? 4a(1 ? 4a) ≤ 0 2
1 1 1 ∴ a ? ,b ? ,c ? 8 2 2, 解得:

1 1 1 f ( x) ? x 2 ? x ? 8 2 2.

1 1 m 1 1 g ( x) ? x 2 ? ( ? ) x ? ? 8 2 2 2 4 在 ?0, ?? ? 上恒成立, (3)由题意知


h( x) ? x 2 ? 4(1 ? m) x ? 2 ? 0 在 ?0, ?? ? 上恒成立.
2

?4(1 ? m)? ①由 ? ? 0 ,即

?8 ? 0

,解得: 1 ?

2 2 ? m ?1? ; 2 2

?? ≥ 0 ? 2 ? ??2(1 ? m) ≤ 0, 解得m ≤ 1 2 ? ?h(0) ? 2 ? 0 ②由 ? ,

m ? (??,1 ?
综合①②得

2 ) 2 .

50 ? ?4 ≤ x ≤ 20 ? ?30 ≤ 300 ≤ 100 ? y 17.【解析】依题意 ? ,考查 z ? 2 x ? 3 y 的最大值,作出可行域,平行 ?9 ≤ x ? y ≤ 14 ? ? x ? 0, y ? 0
直线 2 x

? 3 y ? 0 ,当直线经过点 (4,10) 时,z 取得最大值 38.故当 v ? 12.5 . w ? 30
1 2

时所经费最少,此时所花的经费为 93 元 18.解:若 p 是真命题,则 0 < a < 1 , 若 q 是真命题,则 a > 则一真一假, 若 p 真 q 假, 则0 ? a≤ 19.解:(1)由于

p ? q 为假, p ? q 为真,

1 1 , 若 p 假 q 真, 则 a≥1, 可知 a 稳(0, ] [1, + ? ) 2 2

x ≥ 1, y ≥ 1 ,所以 x ? y ? 1

xy



1 ? 1 ? xy x y

? xy( x ? y) ? 1 ≤ y ? x ? ( xy)2
将上式中的右式减左式,得 [ y ?

x ? ( xy ) 2 ] ? [ xy ( x ? y ) ? 1] ?

[( xy 2 ) ? 1] ? [ xy ( x ? y ) ? ( x ? y )]

? ( xy ? 1)( xy ? 1) ? ( x ? y )( xy ? 1) ? ( xy ? 1)( xy ? x ? y ? 1) ? ( xy ? 1)( x ? 1)( y ? 1)
既然 x ≥ 1, y ≥ 1 所以 ( xy 所要证明的不等式成立. (2)设 log a b

? 1)( x ? 1)( y ? 1) ≥ 0 ,从而

? x,log b c ? y, 由对数的换底公式得

logc a ? 1 ,logb a ? 1 ,log c b ? 1 ,log a c ? xy 于是,所要证明的 xy x y
不等式即 x ? y ?

1 ≤ 1 ? 1 ? xy ,其中 x ? log a b ≥ 1, xy x y

y ? logb c ≥ 1 .故由(1)可知所要证明的不等式成立.
20.解: 设点P( x, y),且y ? 0. (Ⅰ) 点P到点A(3,20)的“L路径”的最短距离 d

等于水平距离? 垂直距离,即 d ?| x - 3 | + | y - 20 | ,其中 y ? 0, x ? R.
(Ⅱ)本问考查分析解决应用问题的能力,以及绝对值的基本知识。 点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d = 水平距离之和的最小值 h + 垂直距离之 和的最小值 v。且 h 和 v 互不影响。显然当 y=1 时,v = 20+1=21; 显然当x ?[?10,14]时 , 水平距离之和 h=x – (-10) + 14 – x + |x-3| ? 24 ,且当 x=3 时,h=24.因此,当 P(3,1)时, d=21+24=45. 所以,当点 P(x,y)满足 P(3,1)时,点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.


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