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2014揭阳一模理数揭阳市2014届高三3月第一次模拟考试(理数)


揭阳市 2014 届高中毕业班第一次高考模拟考试 数 学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座 位号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他

答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定区 域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若复数 z 满足: iz ? 3 ? 4i ,则 z ? A.1 2.设函数 f ( x) ? B.2 C. 5 D.5

1 的定义域为 M ,函数 g ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 N ,则 1? x A. M ? N ? (?1,1] B. M ? N ? R C. CR M ? [1, ??) D. CR N ? (??, ?1)

3.设平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? ,则“ a / / ? , b / / ? ” 是“ ? / / ? ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数是偶函数,且在 [0,1] 上单调递增的是 A. y ? sin( x ?
2
1

1

2 正视图

1

0.5

2 侧视图

0.5

?
2

)

B. y ? 1 ? 2cos 2 x
2

图(1)

C. y ? ? x D. y ?| sin(? ? x) | 5.一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的 体积为 A. 16 ? ? B. 12 ? 4? C. 12 ? 2? D. 12 ? ? 6.如图(2)所示的程序框图,能使输入的 x 值与输出的 y 值 相等的 x 值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 图象上的任意一点,
2

俯视图

开始 输入x x≤2? 是 否 否

y=x2

x≤5?
是 y=2x-3

点 Q(2a, a ? 3) ( a ? R ),则| PQ | 的最小值为 A.

y=

1 x

8 5 ?2 5

B.

5

C. 5 ? 2

D.

7 5 ?2. 5

输出y 结束

图(2)

1

8.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P ( A) ,用 n( A) 表示 有限集 A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合 A,都有 A ? P( A) ;②存在集合 A, 使得 n[ P( A)] ? 3 ;③用 ? 表示空集,若 A ? B ? ?, 则 P( A) ? P( B) ? ? ;④若 A ? B, 则

P( A) ? P( B) ;⑤若 n( A) ? n( B) ? 1, 则 n[ P( A)] ? 2 ? n[ P( B)]. 其中正确的命题个数为
A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9 . 若点 (a, 27) 在函数 y ? 3 的图象上,则 tan
x

? 的值 a

频率/组距

x
0.0150

为 . 10.根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆机 0.0100 动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布直方图如 0.0050 图(3)所示.该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速 0.0025 度为 60 km/h~120 km/h,则该时段内过往的这 100 辆机 动车中属非正常行驶的有 辆,图中的 x 值为 . 0

b 满足 | a |? 1,| b |? 3 , 11. 已知向量 a 、 且3 ( a 2) ?b

? ?

?

?

?

?

? ? ? 则 a 与 b 的夹角为 ? a ,

40

60

80 100 120 140 图(3)

(km/h)



12.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 中, a1a2 ? ?2 .则当 a 3 取最大值时,数列 {an } 的公差

d?



13.从 [0,10] 中任取一个数 x,从 [0, 6] 中任取一个数 y,则使 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概率 为 .

(二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.( 坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 已 知 直 线 l : ?

? x ? 1? t ( t 为参数且 t ? R )与曲线 ? y ? 3 ? 2t
.

? x ? cos ? C:? ( ? 是参数且 ? ? ? 0,2? ? ), 则直线 l 与曲线 C 的交点坐标为 ? y ? 2 ? cos 2?
15.(几何证明选讲选做)如图(4),AB 是半圆的直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E, 且 E 是 OB 的中点,则 BC 的长为 .

2

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin x. sin x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域和最小正周期; (2)若 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 求 f (? ?

?
12

) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 图(5)是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于 100 表 示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 2 月 1 日至 2 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天.

(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (2)设 ? 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 ? 的分布列与数学期望. 18. (本小题满分 14 分) 如图(6),四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,侧棱 SA⊥底面 ABCD, 过 A 作 AE 垂直 SB 交 SB 于 E 点,作 AH 垂直 SD 交 SD 于 H 点,平面 AEH 交 SC 于 K 点,且 AB=1,SA=2. (1)设点 P 是 SA 上任一点,试求 PB ? PH 的最小值; (2)求证:E、H 在以 AK 为直径的圆上; (3)求平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值.

3

19. (本小题满分 14 分)
2 已知正项数列 {an } 满足: an ? (n2 ? n ?1)an ? (n2 ? n) ? 0(n ? N? ) ,数列 {bn } 的前 n

项和为 Sn ,且满足 b1 ? 1 , 2Sn ? 1 ? bn (n ? N? ) . (1) 求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)设 cn ?

(2n ? 1)bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T2 n ? 1 . an

20. (本小题满分 14 分) 如图(7)所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆 E 上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心 O, 且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在椭圆 E 上是否存点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ? 若存在,有几个(不必求出 Q 点的坐标) ,若不存在,请说明理由. (3)过椭圆 E 上异于其顶点的任一点 P,作 ? O : x ? y ?
2 2

4 的两条 3 1 1 ? 2 2 3m n

切线,切点分别为 M、 N, 若直线 MN 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 m、n, 证明: 为定值.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 1(a ? 0). (1)当 a ? 1 且 x ? 1 时,证明: f ( x) ? 3 ?

4 ; x ?1

(2)若对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ?
n ?1 1 时,证明: ? f (i) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . 2 i ?2

4

参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:DCBD DCCB 解析:5.由三视图知,此组合体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体、中心去除一个半 径为 1 的圆柱,故其体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1 ?1 ? 12 ? ?
2

? ? x 2 , ( x ? 2) ? 6.由框图知,x 与 y 的函数关系为 y ? ? 2 x ? 3, (2 ? x ? 5) ,由 y ? x 得 ?1 ? .( x ? 5) ?x
2 若 x ? 2 ,则 x ? x ? x ? 0 或 x ? 1 ,若 2 ? x ? 5 ,则 2 x ? 3 ? x ? x ? 3 ,若 x ? 5 ,显

1 然 ? x ,故满足题意的 x 值有 0,1,3,故选 C. x
7.如图示,点 P 在半圆 C 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上,过圆心 C 作直线的垂线,垂足为 A,则 | PQ |min ?| CA | ?2 ? 5 ? 2 ,故选 C.

y x-2y-6=0 x A

o

C

8.由 P ( A) 的定义可知①、④正确,又若 A ? B ? ?, 则 P( A) ? P( B) ? {?} ,设 n(A) ?n, 则 n( P( A)) ? 2 , 所以②错误,⑤正确,故选 B。
n

二、填空题:9. 3 ;10.15、0.0175;11.

? 1 2 3 ;12.-3;13. ;14. (1,3); 15. . 2 6 3

解析:10.由直方图可知,这 100 辆机动车中属非正常行驶的有 (0.0025+0.005) ? 20 ?100=15 (辆) ,x 的值 = [1 ? (0.0025 ? 0.0050 ? 0.0100 ? 0.0150) ? 20] ? 20 ? 0.0175 . 11.由 (3a ? 2b) ? a 得 (3a ? 2b) ? a ? 3| a |2 ?2a ? b ? 0

?

?

?

?

? ?

?

? ?

? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 3 ? ? 3 3 ? ? a ? b ? | a |2 ? ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , cos ? a, b ?? ? ?? a, b ?? . 2 2 2 6 2 3
12. 设 数 列 ?an ? 的 公 差 为 d , 由 a1a2 ? ?2 得 a1 (a1 ? d ) ? ?2 ? d ? ?

2 ? a1 , 则 a1

5

a3 ? a1 ? 2d ? ?(

4 4 4 4 ? a1 ) , 因 a1 ? 0, 故 ? a1 ? 2 ? a1 ? 4 , 当 且 仅 当 ? a1 , 即 a1 a1 a1 a1

a1 ? 2 “=”成立,这时 a3 取得最大值,由 a1 ? 2 得 a2 ? ?1 ,所以 d ? ?3 。
13.如右图,使 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 是图中阴影部分,故所求的概率

1 ( 1+4) ?3 S阴影 4 ? 2 ? 1 P? = = 60 60 2
14.把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 ,把曲线 C 的参数方程化为普通方程得

? y ? 1 ? 2 x 2 (?1 ? x ? 1) 解得交点坐标为(1,3) 【或将 y ? 1 ? 2x2 (?1 ? x ? 1) ,由方程组 ? ?2 x ? y ? 5
曲 线 C 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程 得 y ? 1 ? 2x (?1 ? x ? 1) 后 将 ?
2

? x ? 1? t 代入解得 ? y ? 3 ? 2t

t ? 0 ,进而得点坐标为(1,3) 】
0 15 . ? DE 为 OB 的 中 垂 线 且 OD=OB , ? ?OBD 为 等 边 三 角 形 , ?COD ? 60 ,

OD ?

2 3 4 3 2 3 2 3 , BC ? OC ? OB ? ? ? . 3 3 3 3

三.解答题: 16.解: (1)由 sin x ? 0 ,解得 x ? k? ( k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? k? ( k ? Z )} ------------------------2 分

? f ( x) ?
-4 分

sin 2 x ? ? ? ? 2sin x ? 2 cos x ? 2sin x ? 2 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 2 sin( ? x). -sin x 4 4 4

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ? 2? -----------------------------------6 分 1

(2)解法 1:由 f (? ) ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2cos ? sin ? ? 0, ---------------------8 分

?? ?[0, ? ] 且 sin ? ? 0 ,? ? ?
∴ f (? ?

?
2

. ------------------------------------10 分

?
12

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. ------------------------------------12 分 4 12 6

解法 2:由 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 得 sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 得 sin ? ? (1 ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? (sin ? ? 1) ? 0 ,-----8 分
2 2

6

? sin ? ? 0
∴ f (? ?

∴ sin ? ? 1 ,又?? ?[0, ? ] ,? ? ?

?
2

. ---------------------------------10 分

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. ------------------------------------12 分 12 4 12 6

?

17.解:设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”( i =1,2,…,12). 依题意知, P( Ai ) ?

1 ,且 Ai ? Aj ? ?(i ? j ) .---------------------------------------2 分 12

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A 1 ? A2 ? A 3?A 7 ?A 12 , 所以 P( B) ? P( A 1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? P ( A7 ) ? P ( A 12 ) ? 1?A 2 ?A 3?A 7 ?A 12 ) ? P ( A 即此人到达当日空气质量重度污染的概率为

5 . 12

5 .--------------------------------------5 分 12

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3 且------------------------------------6 分 P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? ,-------------------7 分 12 4

2 1 ? ,-------------------------------8 分 12 6 2 1 ? ,-------------------------------9 分 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? ,--------------10 分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

5 12

1 6

1 6

-----------------------------------------------------------------11 分

故 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .-------------------------------12 分 4 12 6 6 4

S

18. (1)将侧面 SAB 绕侧棱 SA 旋转到与侧面 SAD 在同一平面内,如右图示, 则当 B、P、H 三点共线时, PB ? PH 取最小值,这时, PB ? PH 的 最小值即线段 BH 的长,--------------------------------------------1 分
P H

设 ?HAD ? ? ,则 ?BAH ? ? ? ? , 在 Rt ?AHD 中,∵ AH ?

B

A

D

SA ? AD 2 AH 2 ? ? ,∴ cos ? ? ,--------------------2 分 SD AD 5 5

7

在三角形 BAH 中,有余弦定理得:

4 2 2 17 ? (? )? BH 2 ? AB2 ? AH 2 ? 2 AB ? AH cos(? ? ? ) ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5
∴ ( PB ? PH )min ? BH ?

85 .------------------------------------------------------------4 分 5

(2)证明:∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,又 EA ? 平面 SAB,∴EA⊥BC,-------------------------------6 分 又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面 SBC ,-------------------------------------------------------7 分 又 EK ? 平面 SBC,∴EA⊥EK, -------------------------------------------------------8 分 同理 AH⊥KH,∴E、H 在以 AK 为直径的圆上---------------------------------------9 分 (3)方法一:如图,以 A 为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空 间直角坐标系如右图示,----------------------------------------------------------------------------10 分 则 S(0,0,2) ,C(1,1,0) ,由(1)可得 AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面 AEKH,

??? ? SC ? ( 1,1, ? 2 ) 为平面 AEKH 的一个法向量,-------------------11 分

??? ? AS ? ( 0 , 0 , 2 ) 为平面 ABCDF 的一个法向量,-------------------12 分
设平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 ? , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AS ? SC | 4 6 ----------------13 分 则 cos ? ?| cos ? AS ? SC ?|? | ??? ? ??? ? ? ? . 3 | AS | ? | SC | 2 6

∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值

6 ---14 分 3

【方法二: 由 ?SAB ? ?SAD 可知 又∵ EH ? 面 AEKH,

SE SH ? ,故 EH / / BD , SB SD

BD ? 面 AEKH, ∴ BD / / 面 AEKH. ------------------------10 分
设平面 AEKH ? 平面 ABCD=l,∵ BD / / 面 AEKH, ∴ l / / BD -------------------------------------------------------------11 分 ∵BD⊥AC,∴ l ⊥AC, 又 BD⊥SA,∴BD⊥平面 SAC,又 AK ? 平面 SAC, ∴BD⊥AK, ∴ l ⊥AK, ∴ ? CAK 为平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的一个平面角,--------------13 分
8

cos ?CAK ? cos ?CSA ?

2 6 ? 3 6
6 .------------------------14 分】 3

∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为

2 2 19.解: (1)由 an ? (n2 ? n ?1 ) an ?( n2 ? n ) ? 0 ,得 ? ? an ? (n ? n) ? ? (an ? 1) ? 0 . ---------2 分

由于 ?an ? 是正项数列,所以 an ? n2 ? n .---------------------------------3 分 由 2Sn ? 1 ? bn 可得当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减得 bn ? ?bn?1 ,------------5 分 ∴数列 {bn } 是首项为 1,公比 ?1 的等比数列,?bn ? (?1)n?1. ----------------------------------7 分 (2)∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 ---------------------------------8 分 ? (?1)n?1 ? an n(n ? 1)
4n ? 1 4n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1) ? (4n ? 1)(2n ? 1) ? ? 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1)(2n ? 1)

方法一:∴ c2 n ?1 ? c2 n ?

?

2 1 1 --------------------------------------------------------------11 分 ? ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ? ? ? (c2 n ?1 ? c2 n ) ? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 1 ? 1? ? 1. ---------------------------------------------------------------------------------------14 分 2n ? 1
【方法二:∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 1 1 ? (?1)n?1 ? ? (?1)n?1 ? ( ? ) -----------------11 分 an n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ?T2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ? ? ? c2 n ?1 ? c2 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? 1 2 2 3 3 4 4 5 ?( 1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? 1? ? 1. ----------------------------------------------14 分】 2n ? 1 2n 2n 2n ? 1 2n ? 1

20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0), 设椭圆 E 的方程为

x2 y2 ? 2 ? 1 -----------------------2 分 4 b

由椭圆的对称性知|OC|=|OB| 又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,---------------------4 分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ?

4 3

9

∴所求的椭圆 E 的方程为

x2 3 y 2 ? ? 1 ----------------------------------------------5 分 4 4

(2)解法一:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x 0 ? 1? ? ? y 0 ? 1? ? ? x 0 ? 2 ? ? y 0 2 ? 6x 0 ? 2y 0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即点 Q 在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上,-----------------------------------------------------------7 分 ∴点 Q 即直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 E 的交点, ∵直线 3x ? y ? 2 ? 0 过点 (

2 2 , 0 ) ,而点椭圆 ( , 0 ) 在椭圆 E 的内部, 3 3

∴满足条件的点 Q 存在,且有两个.------------------------------------------------------9 分 【解法二:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 ,--------①-------------------------------------------------7 分
2 2 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,-----------------② 2 由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0 ? 9x0 ? 2 ? 0 ,-----③

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个.---------------9 分】 (3)解法一:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是 ? O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP , ∴O、M、P、N 四点在同一圆上,------------------------------------------10 分 且圆的直径为 OP,则圆心为 ( 其方程为 ( x ?

x1 y1 , ), 2 2

x1 2 y x 2 ? y12 ) ? ( y ? 1 )2 ? 1 ,------------------------------11 分 2 2 4

即 x2 ? y 2 ? x1x ? y1 y ? 0 -----④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在 ? O 上, ∴M、N 坐标也满足方程 ? O : x ? y ?
2 2

4 ---------------⑤ 3

⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ?

4 ,------------------------------12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,----------------------------------13 分 3 y1 3x1
10

∴ x1 ? ∴(

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.-----------------------------------14 分 3m 3n 3m n 4

【解法二:设点 P( x1 , y1 ),M( x2 , y2 ),N( x3 , y3 ), 则 k PM ? ?

1 kOM

??

x2 , ----------10 分 y2

直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ?

4 x2 ( x ? x2 ), 化简得 x2 x ? y2 y ? ,--------------④ 3 y2 4 ,---------------⑤-------------------11 分 3

同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ?

4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 1 3 1 3 ? 3 ?
∴直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

4 ,------------------------------------------------------12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,--------------------------------------------13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 , ? 2 ? =定值. 即 ---------------------------------------------14 分】 2 3m 3n 3m n 4

21.(1)证明:要证 f ( x) ? 3 ? 令 m( x) ? ln x ?

4 4 ? 2 ? 0 ,--------------------1 分 ,即证 ln x ? x ?1 x ?1

4 1 4 ( x ? 1)2 ? 2, 则 m?( x) ? ? ? ? 0. ------------3 分 x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2

∴ m( x) 在 (1, ??) 单调递增,? m( x) ? m(1) ? 0 ,

4 4 ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? 3 ? 成立.----------------------4 分 x ?1 x ?1 x ?1 , ---------------------------------------5 分 (2)解法一:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 a ? ln x ? ln x ?
令 h( x ) ?

x ?1 , h?( x) ? ln x

ln x ? 1 ? (ln x) 2

1 x , ---------------------------------------------------------6 分

11

由(1)知 ln x ? 1 ?

1 1 4 ( x ?1)2 ? 1? ? ? ? 0, -----------------------------------8 分 x x x ? 1 x( x ? 1)

? h?( x) ? 0, 函数 h( x) 在 (1, e) 单调递增,当 x ? (1, e) 时, h( x) ? h(e) ? e ? 1,
? a ? e ? 1 .----------------------------------------------------------9 分
【解法二:令 h( x) ? a ln x ? 1 ? x ,则 h '( x) ?

a a?x ?1 ? ,-------------------5 分 x x

当 a ? e 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x) 在 (1, e) 上是增函数,有 h( x) ? h(1) ? 0 ,------6 分 当 1 ? a ? e 时,∵函数 h( x) 在 (1, a ) 上递增,在 ( a, e) 上递减, 对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 ,即 a ? e ? 1 .---------------7 分 当 a ? 1 时,函数 h( x) 在 (1, e) 上递减,对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 , 而 h(e) ? a ? 1 ? e ? 0 ,不合题意,-----------------------------------------------------------8 分 综上得对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立, a ? e ? 1 .------------------------9 分】 【解法三:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 由于

1 ln x ? , ---------------5 分 a x ?1

ln x 表示两点 A( x,ln x), B(1,0) 的连线斜率,-----------------6 分 x ?1 ln x 由图象可知 y ? 在 (1, e) 单调递减, x ?1 ln x ln e 1 ? ? , --------------------------------8 分 故当 x ? (1, e) 时, x ?1 e ?1 e ?1 1 1 ?0 ? ? 即 a ? e ? 1 -------------------------------------------------9 分】 a e ?1
(3)当 a ?
n ?1 i ?2 n ?1 1 1 1 时, f ( x) ? ln x ? 1. 则 ? f (i ) ? ln(n ? 1)!? n , 2 2 2 i ?2 n ?1 i ?2

要证

? f (i) ? 2(n ? 1 ?

n ? 1) ,即证 ? ln i ? 2n ? 4 ? 4 n ? 1 --------------------10 分
4 ,又 n?2

由(1)可知 ln(n ? 1) ? 2 ?

n ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 1 ? n ? 1 ? n ,?
∴ ln(n ? 1) ? 2 ?

4 4 ? , -------------11 分 n?2 n ?1 ? n

4 ? 2 ? 4( n ? 1 ? n ), n ?1 ? n
12

∴ ln 2 ? ln3 ? ?? ln(n ?1) ? 2n ? 4[( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ? ?? ( n ?1 ? n )]

=2n ? 4 ? 4 n ? 1 ,-------------------------------------------13 分


? f (i) ? 2(n ? 1 ?
i ?2

n ?1

n ? 1) 得证.------------------------------------------14 分

13


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