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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第22届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 22 届)

1. P 是三角形 ABC 内部一点,D、E、F 分别是从 P 点向边 BC、CA、AB 所引垂线的 垂足.试找出 BC/PD + CA/PE + AB/PF 式达到最小值的所有 P 点. 2. 取 r 满足 1 ≤ r ≤ n,并考虑集合{1, 2, ... , n}的所有 r 元子集,每个子集都 有一个

最小元素.设 F(n,r)是所有这些最小元素的算术平均值.求证:F(n,r) = (n+1)/(r+1). 3. 设 m、n 是属于{1, 2, ... , 1981}的整数并且满足(n2 - mn - m2)2 = 1.试计算 m2 + n2 的最大值.

4. 设 n>2,问 a. n 为何值时, 存在一个由 n 个连续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其它 n-1 个元素最小公倍数的因子? b. n 为何值时,恰好值存在一个满足条件的集合?

5. 三个都通过点 O 的等半径的圆位于一个给定三角形的内部, 并且每个圆都相切于这个 三角形的两条边.求证:这个三角形的内心、外心、O 点三点共线. 6. 函数 f(x, 对于任何非负整数 x, 都满足 f(0, = y + 1, f(x+1, = f(x, y), y y) 0) 1), f(x+1, y+1) = f(x,f(x+1,y)).试计算 f(4,1981)的值.


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