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江苏省响水中学2014-2015学年高二数学上学期阶段性测试试题


江苏省响水中学 2014—2015 学年度第一学期阶段性测试 高二数学试题
注意事项: 1.时间:160 分钟; 2.请将填空题的结果填写到答题纸的相应位置上, 完成解答题时, 请写出必要的步骤和演算 过程。 一、填空题(本大题共 70 分,每小题 5 分) 1.如图所示的平面区域(阴影部分)满足的不等式为______________. y Read x If x≤10

Then p←0.35x Else p←3.5+0.7(x-10) End If Print p

3 2
O 1 x

(第 1 题图) (第 2 题) 2.阅读右上方的伪代码: 若输入 x 的值为 12,则 p=_____________. 3.200 辆汽车经过某一雷达测速地区,时速频率分布直方 图如右图所示,则 时速不低 于 60km/h 的汽车数量 为 _________.

4.已知点 F 为抛物线 y ?

1 2 x 的焦点,点 A 坐标为(0, 4

-2) , O 为坐标原点, 则在线段 AF 上随机取一点 P, 则点 P 落在线段 FO 上的概率为___________. 5.命题: “ ?x ? R,ln x ? x ”的否定是_____________________. 6.常用逻辑用语“ x ? 2 ”是“ 不必要”或“充要”)条件.

1 1 ? ”的__________________(填“必要不充分” 、 “充分 x 2
从小到大的顺序是

, ,pq , 7.若 m ? n, p ? q 且 ( p ? m)( p ? n) ? 0,(q ? m)(q ? n) ? 0 , 则 mn
___________.

1 2xx??11 ? 1 的解集为__________. 8.不等式 ( ) 2
9.若双曲线的两准线间的距离是焦距的

3 ,则双曲线的离心率为_________. 5
1

10.若 AB 为经过抛物线 y 2 ? 4 x 焦点的弦,且 AB ? 4 ,O 为坐标原点,则 ?OAB 的面积等 于_________. 11. 椭 圆 _______. 12.如图是一个方程为

1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 满 足 a ? 3b , 若 离 心 率 为 e , 则 e 2 ? 2 的 最 小 值 为 2 e a b

x2 ? y 2 ? 1 的椭圆, 则由过上、 下顶点 4

和两焦点的四条直线围成图形的面积为_________.

13.代数式

1 2 ? 的最小值为_________. 2 sin ? cos 2 ?

14.设抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点为 F, 过 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点,则 AF+4BF 的最小值为_____________. 二、解答题(本大题共 90 分) 15.(本题满分 14 分) 已知 p :|1 ?

x ?1 |? 2, q : x 2 ? 2 x ? 1 ? a 2 ? 0(a ? 0) , ? p 是 ? q 的必要不充分条件,求实 2

数 a 的取值范围.

16.(本题满分 14 分) 如图是校园“十佳歌手”大奖赛上,七位评委为甲、乙两位选手打出的分数的茎叶图. (1)写出评委为乙选手打出分数数据的众数,中位数; (2)求去掉一个最高分和一个最低分后,两位选手所剩数据的平均数和方差,根据结果比 较,哪位选手的数据波动小? 甲 乙 7 97664 8 32 9 9 44467 3

17.(本题满分 14 分)

2

有两颗正四面体的玩具,其四个面上分别标有数字 1,2,3,4,下面做投掷这两个正四面 体玩具的试验:用(x,y)表示结果,其中 x 表示第 1 颗出现的点数(面朝下的数字) ,y 表示第 2 颗出现的点数(面朝下的数字). (1)求事件“点数之和不小于 4”的概率; (2)求事件“点数之积能被 2 或 3 整除”的概率.

18.(本题满分 16 分) 已知抛物线 C1 的顶点是双曲线 C2 : x ? 4ky ? 4 的中心,而焦点是双曲线的左顶点,
2 2

(1)当 k ? 1 时,求抛物线 C1 的方程; (2)若双曲线的离心率 e ?

6 ,求双曲线的渐近线方程和准线的方程. 2

19.(本题满分 16 分)

3

已知函数 f ( x) ?

x2 (a, b为常数) ,且方程 f ( x) ? x ? 12 ? 0 有两个实根 x1 ? 3, x2 ? 4. ax ? b

(1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式 f ( x) ?

(k ? 1) x ? k . 2? x

20.(本题满分 16 分) 已知椭圆

x2 y 2 6 1 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 P( 离心率为 , 动点 M (2, t) (t ? 0 ) . , ), 2 a b 2 2 2

(1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且截直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 所得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,证明线段 ON 的长为定值,并求出这个定值.

高二数学阶段性考试参考答案

4

1. 3x ? 2 y ? 3 ? 0 ; 2.4.9; 3.78; 4. 7. m ? p ? q ? n ; 8. ( ?

1 ; 5. ?x ? R,ln x ? x ; 6.充分不必要; 3

1 15 ,1] ; 9. ; 10.2; 13. 3 ? 2 2 ; 14.4.5; 2 3

15.解 依题意 p : ?1 ? x ? 7 , 因为 a ? 0 ,所以 q :1 ? a ? x ? 1 ? a 因为 ? p 是 ? q 的必要不充分条件,所以 p ? q, q ?? p , 所以, ?

?1 ? a ? ?1, ,所以 a ? 6 。 ?7 ? 1 ? a.

16.解 (1)众数为 4,中位数 84; (2) x甲 ? 88, x乙 ? 85, S甲2 ? 5.2, S乙2 ? 1.6 ,所以 S甲2 ? S乙2 ,所以乙的数据波动小. 17.解(1)所有的基本事件为(1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) , “点数之和不小于 4” 包含的基本事件为 (1,3) , (1,4) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4)共 13 个, 所以 P(点数之和不小于 4)=

13 16 1 15 ? 16 16

(2) “点数之积能被 2 或 3 整除”的对立事件只含一个基本事件(1,1) 所以 P(点数之积能被 2 或 3 整除)= 1 ? 答:略 18.解 (1) k ? 1 , C2 :
2

x2 ? y 2 ? 1 ,∴ a ? 2,? F1 (?2,0) 4
p ? 2,? p ? 4,? y 2 ? ?8 x. 2

设抛物线 C1 的方程为 y ? ?2 px( p ? 0) ,则 (2)依题意,得 a ? 4, b ?
2 2

1 1 c2 3 ,? c 2 ? 4 ? ,? 2 ? k k a 2

4?
所以

1 2 2 k ? 3 ,? 1 ? 2,? k ? 1 ,? C : x ? y ? 1 2 4 2 k 2 4 2
2 x 2

所以渐近线方程为 y ? ?

准线方程为 x ? ?

2 6 3

5

? 9 ? ?9, ? x ? 3a ? b ? x ? 12 ? 0 ,得 ? 19. 解 ( 1 )分别将 x1 ? 3, x2 ? 4. 代入方程 解得 ax ? b ? 16 ? ?8. ? ? 4a ? b
2

?a ? ?1, x2 所以 f ( x) ? ( x ? 2 ). ? ?x ? 2 ?b ? 2.
x2 (k ? 1 x? )k x2 ? ( k ? 1 ) x ? k ? ?0 , 即 (2) 不 等 式 即 为 , 可 化 为 ?x ? 2 2? x x?2
( x ? 2 )x ? ( 1 x? ) ( k ? ) 0 .

当 1 ? k ? 2 时,不等式解集为 (1, k ) ? (2, ??) ; 当 k ? 2 时,不等式化为 ( x ? 2)2 ( x ?1) ? 0. 不等式解集为 (1, 2) ? (2, ??) ; 当 k ? 2 时,不等式解集为 (1, 2) ? (k , ??) .

6 1 ( )2 ( )2 c 2 2 2 2 20.解 (1)由题意得 ? ,又由椭圆经过点 P,得 2 2 ? 22 ? 1 ,又 a ? b ? c a b a 2
联立解得 a2 ? 2, b ? c ? 1 ,所以椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1; 2

( 2 ) 以 OM 为 直 径 的 圆 的 圆 心 为 (1, ) , 半 径 r ?

t 2

t2 ?1 , 所 以 圆 M 的 方 程 为 4

| 3 ? 2t ? 5 | t t 2 t2 ? , 解 得 t ? 4. 所 以 所 求 圆 的 方 程 为 ( x ? 1) ? ( y ? ) ? ? 1 。 依 题 意 5 2 2 4
2

( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ;
(3)过点 F 作 OM 的垂线,垂足设为 K,由平面几何知识知 ON ? OK ? OM ,直线 OM 的方
2

2 ? y ? ? ( x ? 1) ? t 2 4 ? t 程为 y ? x ,则直线 FN 的方程为 y ? ? ( x ? 1), 由 ? ,得 xK ? 2 ,故 2 t t ? 4 t ?y ? x ? ? 2

ON ? xK
2

t2 4 ? t2 4 2 1? 4?t ? ? ? 2 ,所以线段 ON 的长为定值 2. 4 2 4 ? t2

6


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