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(二)三角函数的图象与性质


2013 级《高一数学》 第一学期期末复习

(二)三角函数的图象与性质
班级 学号 ___ 姓名 _

例 1. 已知函数 f ( x) ? A sin (

?
3

x ? ? ) , x ? R , A ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

. y ? f ( x) 的部分图像如图所示,

P 、 Q 分别为该图像的最高点和最低点,点 P 的坐标为 (1, A) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及 ? 的值; 2? (Ⅱ)若点 R 的坐标为 (1, 0) , ?PRQ ? ,求 A 的值. 3

例 2.已知函数

? f ? x ? ? 2sin ?? x ? ? ??? ? 0,0 ? ? ? ? ? 的最小正周期为 ? ,其图像过点 ( ,1) 4

(Ⅰ ) 求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ ) 函数 f ( x) 的图像可由 y ? sin 2 x (x∈ R)的图像经过怎样的变换而得到?

变式: 已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(?x ? ? )(0 ? ? ? π ,? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x)图象 的两相邻对称轴间的距离为

π . 2

(Ⅰ)求 f(

π )的值; 8

(Ⅱ)将函数 y=f(x)的图象向右平移

π 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 4 倍, 6

纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间.

1

例 3.已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

(Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的图象的对称轴和对称中心; (Ⅲ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围; 3

? ?

π? ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 π . 2?

? 2π ? ? ?

(Ⅳ)若方程 f ( x) ? m 在区间 ?0, ? 上有两个不同的实数解 ? , ? ,求 sin(? ? ? ) . 3

? 2π ? ? ?

2 例 4.已知: 2 f ? x ? ? 3 ? sin x ? cos x ? ? 2 cos x ? (1 ? 3), ? x ? R ? 2

(1)求函数 y ? lg f ( x) 的单调递增区间; (2)求使不等式 f ( x) ?

1 成立的 x 的集合; 2

(3)设函数 y ? f ( x) 图象位于 y 轴右侧的对称中心从左到右依次为 A1、A2、A3、A4、…、

An …、 (n ? N ? ) ,试求 A 的坐标。 4

2

(二)三角函数的图象与性质作业
班级 学号 ___ 姓名 _ ( )

1.设 a 为常数,且 a ? 1,0 ? x ? 2? ,则函数 f ( x) ? cos2 x ? 2a sin x ? 1 的最大值为 A. 2 a ? 1 B. 2 a ? 1 C. ? 2 a ? 1 D. a
2

2.如果 f ? x ? ? ? ? f ? ?x ? ,且 f ? ?x ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 可以是





A . sin 2 x B . cos x C . sin | x | 5? 2? 2? 3.设 a ? sin , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
A. a ? b ? c B. a ? c ? b C. b ? c ? a 4.若 0 ? ? ? 2? ,sin ? ? 3 cos ? ,则 ? 的取值范围是:

D . | sin x |
( D. b ? a ? c ( ) )

? ? 4? ? ? ? 3? ? D. ? , , ? ? ?3 3 ? ?3 2 ? ? 5.下列四个函数中,以π 为最小正周期,且在区间( ,π )上为减函数的是 2 1 A.y=cos2x B.y=2|sinx| C.y=( )cosx D.y=-cotx 3
A. ? B. ? C. ? 6、设 x ? [0,

?? ? ? , ? ?3 2?

?? ? ,? ? ?3 ?





?

3

], 则函数 y ? 2 cos( 2 x ?

?

6

) 的最大值为

,最小值为 .



7.函数 y ? log2 sin x ? 4 ? 3x ? x 2 的定义域为 8.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的一部分图象如下图所示,

y
4

如果 A ? 0, ? ? 0, ? ?
9.给出三个命题:

?
2

,则函数的解析式为

. 2 O

? ①函数 y ? sin( x ? )在〔0,?〕上是减函数 . 2
②终边在 y 轴上的角的集合是{a|a=

x
? 6
5? 12

k? , k ? Z |. 2

③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点. 其中正确命题的个数是 10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列函数: (1) f1 ( x) ? sin x ? cos x ; (2) f2 ( x) ? 2 sin x ? 2 ; (3) f3 ( x) ? sin x ; (4) f4 ( x) ? 2(sin x ? cos x) ; (5) f 5 ( x) ? 2 cos 其中“互为生成”函数有

x x x (sin ? cos ) , 2 2 2

(把所有可能的函数的序号都填上)
3

11.写出下列函数的单调递减区间 (1) y ? 3sin(

?
3

? 2 x)

(2)y=2sin(2x+

? 6

) (x∈[-π ,0] )

(3) y ? log 0.5 sin( 2 x ? (4) y ? tan(

?
4

)

?
6

? 2 x)

12.已知函数 f ( x) ? ? 3 sin 2 x ? sin x cos x (I)求函数 f ( x) 的最小正周期; (II)求函数 f ( x)在x ? ?0,

? ?? 的值域. ? 2? ?

13.设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?? ? ? ? 0), y ? f ( x) 图像的一条对称轴是直线 x ? (Ⅰ)求 ? ; (Ⅱ)求函数 y ? log2 [1 ? 2 f ( x)]的定义域; (Ⅲ)画出函数 y ? f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的图像。

?
8

14*.设函数 f ( x) ? a sin 2x ? b sin x ? c( x ? R) 的图象过点 P(0,1) ,且 f ( x) 的最大值是 2,最小
2

值为-2,其中 a ? 0 .

(1)求 f ( x) 表达式;

(2)若射线 y ? 2( x ? 0)与f ( x) 图象交点的横坐

标,由小到大依次为 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,? 求| xn? 2 ? x2 | 的值.

4



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