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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第1章 第4讲 简单的逻辑联结词课件 理


1. 分别用“p或q”、“p且q”、“非p”填空. p且q (1)命题“6是自然数且是偶数”是____ 的形式.
p或q (2)命题“3大于或等于2”是_______的形式. 非p (3)命题“4的算术平方根不是-2”是____的形式. 2.(2011· 南京市学情调研)命题“?x∈R,x2-4x+2>0”的

否定是___________

__________. ?x∈R,x2-4x+2≤0 必要不充分 3.“p∨q是真命题”是“p∧q是真命题”的___________条
件.

4.命题“?x ? R , 2x 2 ? 2ax ? 9 ? 0”为假命题, 则实数a的取值范围是 [?3  
2, 2 ] 3

.

5.给定四个命题:①偶数都能被2整除;②实 数的绝对值大于0;③存在一个实数x,使sinx ? cosx ? 2;④若?,? 是第一象限的角,且? ? ?,则sin? ?

②④ sin?,其中既是全称命题,又是假命题的是   . 解析: ①是全称命题,又是真命题; ③是存在性命题.

复合命题的构成及真 假判断
【例1】 分别写出由下列各组命题构成的“ p ? q”、 “ p ? q”、?p”形式的复合命题,并判断 “ 真假. 3 3 ?1? p:是9的约数,q:是18的约数;

? 2 ? p:菱形的对角线相等,q:菱形的对
角线互相垂直平分; 3? p:方程x 2+x-1=0的两实根符号相同, ? q:方程x +x-1=0的两实根绝对值相等.
2

【解析】1? p ? q: 9的约数或是18的约数(真); 3是 ? p ? q: 9的约数且是18的约数(真); 3是 ?p: 3不是9的约数(假).

? 2 ? p ? q:菱形的对角线相等或互相垂直平分(真);
p ? q:菱形的对角线相等且互相垂直平分(假); ?p:菱形的对角线不相等(假).

? 3? p ? q:方程x 2+x-1=0的两实根符号相同或
绝对值相等(假); p ? q:方程x 2+x-1=0的两实根符号相同且绝对 值相等(假); ?p:方程x 2+x-1=0的两实根符号不相同(真).

真值表是对复合命题进行 真假判断的依据.

【变式练习1】 用“或”“且”“非”填空,使命题正确: 或 (1)“4≤4”是“4<4”_______“4=4”;

(2)若ab>0,则a>0______b>0, 且 且 或 _______a<0________b<0.

全称命题与存在性命题 的否定
【例2】 对于下列命题的否定形式的说法,其中正 确的有 __________ . ①p:能被3整除的整数是奇数; ?p:存在一个能被3整除的整数不是奇数;

②p:存在一个四边形四个顶点不共圆; ?p:每一个四边形的四个顶点共圆; ③p:有的三角形为正三角形; ?p:所有的三角形不都是正三角形; ④p:?x ? R,x 2+2x+2 ? 0, ?p:?x ? R,x 2+2x+2 ? 0.

【解析】①中,p是全称命题,完全叙述应为 "任意能被3整除的整数是奇数 ",它的否定应 是 " 存在一个能被3整除的整数不是奇数 ",故 ①的说法正确; ②中,p是存在性命题,则?p为"任意一个四 边形的四个顶点共圆”,即“每一个四边形的 四个顶点共圆",故②的说法正确;

③中,p是存在性命题,完整叙述为"有些三 角形是正三角形 ",也可写成 "至少有一个三 角形是正三角形 ",所以?p应为"不存在一个 三角形是正三角形”,即“所有的三角形都不 是正三角形 ",故③的说法错误; ④的说法显然是正确的

答案:①②④

要正确写出全称命题与存 在性命题的否定,首先应注意

全称量词、存在量词是什么,
然后再进行否定.

【变式练习2】

写出命题“能被8整除的数能被4整除”的
否定和否命题,并判断真假. 【解析】能被8整除的数能被4整除,显然这 是一个全称命题. 故它的否定为:存在一个能被8整除的数,但

它不能被4整除,此命题是假命题;
它的否命题为:不能被8整除的数也不能被4 整除,此命题亦为假命题.

复合命题的真假性 的综合应用
【例3】 命题p:方程x2+mx+1=0有两个不等的 负实数根,命题q:方程4x2+4(m-2)x+1 =0无实根.若“p或q”为真命题,“p且q”

为假命题,求实数m的取值范围.

??1 ? m 2 ? 4 ? 0 【解析】由p得 ? ? m ? 2. ?m ? 0 由q得? 2=16( m-2) 2-16 ? 0 ? 1 ? m ? 3. 因为“ p ? q ”真,p ? q ”假,所以p真q假, “ 或p假q真. ?m ? 2 ?m ? 2 即? 或? ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3 解得m ? 3或1 ? m ? 2.故实数m的取值范 围是 ?1, 2? ? [3,+?).

解此类题的一般步骤是先 化简所给命题,再根据复合命

题的真值表分类讨论.

【变式练习3】 已知m ? R,设p:不等式 m 2 ? 5m ? 3 ? 3;q:函数 4 f ? x ? ? x ? mx ? (m ? ) x ? 6在(??, ?)上有极值. ? 3 求使p ? q为真命题时m的取值范围.
3 2

解析:由已知不等式得

m2-5m-3≤-3①
或m2-5m-3≥3② 不等式①的解为0≤m≤5. 不等式②的解为m≤-1或m≥6. 所以,对m≤-1或0≤m≤5或m≥6时,p是正确的.

4 对函数f ? x ? ? x ? mx ? (m ? ) x ? 6求导得 3 4 2 f ? ? x ? ? 3x ? 2mx ? m ? , 3 4 2 令f ? ? x ? ? 0,即3x ? 2mx ? m ? ? 0. 3 当且仅当? ? 0时,函数f ? x ? 在(??, ?)上有极值. ?
3 2

由? ? 4m 2 ? 12m ? 16 ? 0得m ? ?1或m ? 4, 所以,当m ? ?1或m ? 4时,q是正确的. 综上,使p正确且q正确时,实数m的取值范围为 (??, 1) ? ? 4,5? ? [6, ?). ? ?

1.已知命题p:若a ? 1,则a 3 ? a 2;命题q: 1 若a ? 0,则a ? ,则在 " p或q "、 p且q "、 " a " 非p "、非q "四个命题中, "

p或q、非q 真命题是 _______________   【解析】容易判断p真,q假,由复合命

题的真值表可知p或q、非q是真命题.

2.若条件p:x ? 1或x ? 4;条件q:x ? -3或 充分不必要 x ? 4,则?p是?q的_______________条件.

【解析】?p:? x ? 4;?q:-3 ? x ? 4, 1 ?p推出?q,?q推不出?p. 所以?p是?q的充分不必要条件.

3. 已知命题p:x∈R,sinx≤1,则p: _________________________ ?x ? R,sinx ? 1.  

4.用符号" ? "与" ?" 表示下面含有量词的命题:

?1? 实数的平方大于等于0; ? 2 ? 存在一个实数对( x,y),使2x+3y+3 ? 0成立; ? 3? 勾股定理.
【解析】1? ?x ? R,x 2 ? 0. ?

? 2 ? ?( x,y),x ? R,y ? R, 2x+3y+3 ? 0. ? 3? ?a、b、c若为直角三角形的三条边,
且c为斜边,a 2+b 2=c 2 .

1? m 5.已知命题p:-2 ? ? 2;命题q: 3 集合A={x | x 2+(m+2) x+1=0,x ? R}, B=? x | x ? 0?,且A I B=?.若" p ? q " 为假,p ? q "为真,求m的取值范围. "

【解析】 p ? q "为假,p ? q "为真,则命题 " " p、q一真一假. 若p为真,则-5 ? m ? 7; 对于方程x 2+(m+2) x+1=0, ?=(m+2) 2-4=m 2+4m. 当? ? 0时,A=?,满足A ? B=?, 此时-4 ? m ? 0; 当? ? 0时,因为B=? x | x ? 0? 且A ? B=?, 所以方程x 2+(m+2) x+1=0的两根x1、x2均非正数,

? ?=m 2+4m ? 0 ? 所以 ? x1 ? x2 ? ?(m ? 2) ? 0,解得m ? 0. ?x x ? 1 ? 0 ? 1 2 综上所述,若q为真,即m ? -4. ? ?5 ? m ? 7 所以,若p真q假,则 ? , ? m ? ?4 解得-5 ? m ? -4; ?m ? ?5或m ? 7 若p假q真,则 ? ,解得m ? 7. ? m ? ?4 故m的取值范围为(-5,-4] ? [7,+?).

1.简单命题分条件和结论两部分,复合
命题是由简单命题通过“或”“且”“非”构 成的. 由简单命题的真假可以判断复合命题的真 假,反之,由复合命题的真假也能判断构成该 复合命题的简单命题的真假.如p真,q假,则

“p或q”真,“p且q”假,“非p”假;反之,若
“p或q”真,则p、q至少有一个真.

2.“或”“且”“非”这三个逻辑

联结词构成了命题间的运算,它们分别对
应着真值集合“并”“交”“补”.因此, 逻辑联结词的运算可以用集合的运算来描 述.

3.在命题关系中,特别要区分命题的否定与 否命题:命题的否定总是与原命题的真假性相对

立,是保留条件,否定结论;否命题是否定原命
题的条件仍作条件,且否定原命题的结论仍作结 论,它与原命题的真假没有必然的联系. 如命题p:已知a、b为实数,若|a|+|b|=0, 则a=b,否命题为:已知a、b为实数,若|a|+

|b|≠0,则a≠b;命题的否定为:已知a、b为实数,
若|a|+|b|=0,则a≠b.四种命题中,原命题与逆否 命题同真假,是等价命题,逆命题与否命题同真

假,也是等价命题.

4.含有一个量词(全称量词或存在
性量词)的命题的否定,一是要改写量 词,全称量词改写为存在量词,存在量

词改写为全称量词;二是要否定结论,
如 “ x∈R , x2≥0” 的 否 定 是 “ x∈R ,

x2<0”.


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