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2013届北京东城区高三数学理科一模试卷(含答案)


2013 年北京市东城区高三统一测试数学
高三数学 (理科) 2013.4

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分。考试 时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在

试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
要求的一项。

共 40 分)

一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目

(1)设集合 A ? {1, 2},则满足 A ? B ? {1, 2,3} 的集合 B 的个数是 (A) 1 (2)已知 a 是实数, (A) ?1 (B) 3 (C) 4 (D) 8

a?i 是纯虚数,则 a 等于 1? i
(B) 1 (C) 2 (D) ? 2

(3)已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于 (A) 1 (B)

5 3

(C) 2

(D) 3

(4)执行如图所示的程序框图,输出的 k 的值为 (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (5)若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

? x ? 0, ? (6)已知 x , y 满足不等式组 ? y ? 0, 当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的 ? x ? y ? s, ? ? y ? 2 x ? 4. ?
变化范围是 (A) [6,15] (B) [7,15] (C) [6,8] (D) [7,8]

1 / 11

(7)已知抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点 F 与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 7 9

x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? 2 | AF | ,则△ AFK 的面积为
(A)4 (B)8 (C)16 (D)32
1

(8)给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三 个是增函数;②若 logm 3 ? logn 3 ? 0 ,则 0 ? n ? m ? 1 ;③若函数 f ( x) 是奇函数,则

f ( x ? 1) 的图象关于点 A(1,0) 对称;④已知函数 f ( x) ? ?

?3x ?2 ,

x ? 2,

?log3 ( x ? 1), x ? 2,

则方程

f ( x) ?

1 有 2 个实数根,其中正确命题的个数为 2 (A) 1 (B) 2 (C) 3

(D) 4

2 / 11

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)若 sin ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 cos? ?

y 3

y=3x2

3 5



(10)图中阴影部分的面积等于 . (11)已知圆 C : x2 ? y 2 ? 6 x ? 8 ? 0 ,则圆心 C 的坐标为 若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则 k ? (12) 一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为

; . .

O

1

x

(13)某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次 提价 p% ,第二次提价 q % ;方案乙:每次都提价 若 p ? q ? 0 ,则提价多的方案是 .

p?q %, 2

(14)定义映射 f : A ? B ,其中 A ? {(m, n) m, n ?R}, B ? R ,已知对所有的有序正整 数对 (m, n) 满足下述条件:

, ? )] ① f (m,1) ? 1 ;②若 n ? m , f (m, n) ? 0 ;③ f (m ?1 n) ?n[ f (m, n) ?f (m, n 1
则 f (2, 2) ? , f (n, 2) ? .



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15)(本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

(16)(本小题共 13 分) 已知 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 2 ? a (n ?N ) .
n
*

(Ⅰ)求 a 的值及数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (2n ? 1)an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

3 / 11

(17)(本小题共 14 分)
? 如图,在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , E 是 AB 的中点, MA ⊥平面 ABCD ,

且在矩形 ADNM 中, AD ? 2 , AM ? (Ⅰ)求证: AC ⊥ BN ; (Ⅱ)求证: AN // 平面 MEC ; (Ⅲ)求二面角 M ? EC ? D 的大小.

3 7 . 7

N M

D

C B

A (18)(本小题共 13 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ?

E

a ? ln x ? 1 . x

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? 0,e? 上的最小值.

(19)(本小题共 13 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,动点 P 到两点 (? 3 , , ( 3 , 的距离之和等于 4 ,设 0) 0) 点 P 的轨迹为曲线 C ,直线 l 过点 E (?1, 0 ) 且与曲线 C 交于 A , B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)是否存在△ AOB 面积的最大值,若存在,求出△ AOB 的面积;若不存在,说明 理由.

4 / 11

(20)(本小题共 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

?x
i ?1

n

i

? 0;



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) , 求证:

?a x
i ?1

n

i i

1 ? (a1 ? an ) . 2

东城区 2012-2013 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准 (理科)
5 / 11

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)C (2)B (6)D (3)C (7)D (4)A (8)C

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ?

4 5

(10) 1 (13)乙

(11) (3, 0) (14) 2

?

2 4

(12) 75 ? 4 10

2n ? 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15)(共 13 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .?????????????????3 分 6 2
所以 T ? ? .???????????????????????4 分

? ? 3? ? 2k ? ? 2 x ? ? ? 2k ? , 2 6 2 ? 2? ? k? . 得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ).???????7 分 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????????????10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x ) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .????????????????????????????13 分
由 (16)(共 13 分) 解:(Ⅰ)当 n ? 1 时, S1 ? a1 ? 2 ? a .???????????????1 分 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n?1 .???????????????????3 分 因为 {an } 是等比数列, 所以 a1 ? 2 ? a ? 21?1 ? 1 ,即 a1 ? 1 . a ? ?1 .??????????????5 分

6 / 11

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? 2n?1 (n ?N* ) .?????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? (2n ?1)an ? (2n ?1) ? 2n?1 . 则 Tn ? 1?1 ? 3? 2 ? 5 ? 22 ? 7 ? 23 ? ?? (2n ?1) ? 2n?1 . ① ②

2Tn ?

1? 2 ? 3? 22 ? 5 ? 23 ? ?? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n .

①-②得 ?Tn ? 1?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 22 ? ?? 2 ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ???????9 分

? 1 ? 2(2 ? 22 ? ? ? 2n?1 ) ? (2n ?1) ? 2n ? 1 ? 4(2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n ? ?(2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????12 分
所以 Tn ? (2n ? 3) ? 2n ? 3 .???????????????????????13 分 (17)(共 14 分) 解:(Ⅰ)连结 BD ,则 AC ? BD . 由已知 DN ? 平面 ABCD , 因为 DN ? DB ? D , 所以 AC ? 平面 NDB .????????2 分 又因为 BN ? 平面 NDB , 所以 AC ? BN .????????4 分 (Ⅱ) CM 与 BN 交于 F ,连结 EF . 由已知可得四边形 BCNM 是平行四边形, 所以 F 是 BN 的中点. 因为 E 是 AB 的中点, 所以 AN // EF .??????????7 分 又 EF ? 平面 MEC , A x D C E B y F M z N

AN ? 平面 MEC ,

所以 AN // 平面 MEC . ???????????????????????9 分 (Ⅲ)由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点,可得 DE ? AB . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz ,则 D(0,0,0) , E ( 3,0,0) , C (0, 2,0) ,

M ( 3, ?1,

3 7 ). 7

???? ? ??? ? 3 7 EM ? (0, ?1, ) .????????????????10 分错误! CE ? ( 3, ?2.0) , 7
未找到引用源。 设平面 MEC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) .

7 / 11

??? ? ?CE ? n ? 0, ? 则 ? ???? 错误!未找到引用源。 ? ? EM ? n ? 0. ?
? 3 x ? 2 y ? 0, ? 所以 ? 错误!未找到引用源。 3 7 z ? 0. ?y ? 7 ? 令 x ? 2.
所以 n ? (2, 3, 未找到引用源。 又平面 ADE 的法向量 m ? (0,0,1) ,错误!未找到引用源。 所以 cos ? m, n ??

21 ) .???????????????????????12 分错误! 3

m?n 1 ? .错误!未找到引用源。 m n 2

所以二面角 M ? EC ? D 的大小是 60°. ???????????????14 分 (18)(共 13 分) 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 所以 f ?( x) ? ? 因此 f ?(2) ?

1 ? ln x ? 1 , x ? (0,??) , x

1 1 x ?1 ? ? 2 , x ? (0,??) .????????????2 分 x2 x x

1 . 4
1 . ??????????4 分 4

即曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线斜率为 又 f (2) ? ln 2 ?

1 , 2 1 2 1 ( x ? 2) , 4

所以曲线 y ? f (x) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? (ln 2 ? ) ?

即 x ? 4 y ? 4ln 2 ? 4 ? 0 .?????????????????6 分 (Ⅱ)因为 f ( x) ?

a a 1 x?a ? ln x ? 1 ,所以 f ?( x) ? ? 2 ? ? 2 . x x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a . ?????????????????8 分 ①若 a≤0 ,则 f ?( x) ? 0 , f ? x ? 在区间 ? 0, e? 上单调递增,此时函数 f ( x ) 无最小值. ②若 0 ? a ? e ,当 x ? ? 0, a ? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, a ? 上单调递减, 当 x ? ? a,e? 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? a, e? 上单调递增, 所以当 x ? a 时,函数 f ( x ) 取得最小值 ln a .????????????10 分

8 / 11

③若 a≥e ,则当 x ? ? 0,e? 时, f ?( x)≤0 ,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e? 上单调递减, 所以当 x ? e 时,函数 f ( x ) 取得最小值

a .?????????????12 分 e

综上可知,当 a≤0 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e? 上无最小值; 当 0 ? a ? e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e? 上的最小值为 ln a ; 当 a≥e 时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0,e? 上的最小值为 (19)(共 13 分) 解.(Ⅰ)由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (? 3 , , ( 3 , 为焦点,长半轴长为 2 0) 0) 的椭圆.?????????????????????????????3 分 故曲线 C 的方程为

a .?????13 分 e

x2 ? y 2 ? 1. ???????????????????5 分 4

(Ⅱ)存在△ AOB 面积的最大值. ???????????????????6 分 因为直线 l 过点 E (?1, 0 ) ,可设直线 l 的方程为 x ? my ? 1 或 y ? 0 (舍).

? x2 ? ? y 2 ? 1, 则? 4 ? x ? my ? 1. ?
整理得 (m ? 4) y ? 2my ? 3 ? 0 .?????????????7 分
2 2

由 ? ? (2m) ? 12(m ? 4) ? 0 .
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

解得

y1 ?

m ? 2 m2 ? 3 , m2 ? 4

y2 ?

m ? 2 m2 ? 3 . m2 ? 4

2 则 | y2 ? y1 |? 4 m ? 3 . 2 m ?4 1 因为 S ?AOB ? OE ? y1 ? y2 2

?

2 m2 ? 3 2 ? m2 ? 4 2 m ?3 ?

. ?????????10 分
1 m2 ? 3

设 g (t ) ? t ? , t ? m2 ? 3 , t ? 3 . 则 g (t ) 在区间 [ 3, ??) 上为增函数.

1 t

9 / 11

所以 g (t ) ?

4 3 . 3 3 3 ,当且仅当 m ? 0 时取等号,即 ( S ?AOB ) max ? . 2 2 3 .????????????????????????13 分 2

所以 S?AOB ?

所以 S?AOB 的最大值为 (20)(共 14 分) (Ⅰ)解: ?

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

1 ? ? x1 ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ???????????2 分 ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2 1 ? x1 ? ? , ? ? 2 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ??????????????????4 分 1 ?x ? . ? 2 2 ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1. 所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1.??????????????????9 分
(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) . 所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an ,

10 / 11

即 a1 +an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .???????????11 分

? ai xi ?
i ?1

n

1 n 1 n 1 ai xi ? a1 ? xi ? an ? xi ? ? 2 i ?1 2 i ?1 2 i ?1

n

? (2a ? a ? a ) x
i ?1 i 1 n

n

i

?

1 n 1 n ? ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? 2 ? ( a1 ? an xi ) 2 i ?1 i ?1
n

?
?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

1 ( a1 ? an ) .???????????????????????14 分 2

11 / 11


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