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国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第23届)


国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题(第 23 届)

1. f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数, = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333, f(2) 并对所有 m,n 有 f(m+n) - f(m) - f(n) = 0 或 1.试求出 f(1982). 2. A1A2A3 是不等腰三角形,其三边为 a1, a2, a3

,其中 ai 是角 Ai 的对边, 设 Mi 是边 ai 的中点,Ti 是三角形的内切圆在边 ai 上的切点,记 Si 为点 Ti 关于内角 Ai 的角 平分线的对称点,求证线 M1S1, M2S2 和 M3S3 共点. 3. 考虑无限正实数序列 {xn} 满足 x0 = 1 及 x0 ≥ x1 ≥ x2 ≥ ... , a. 求证对每个这样的序列都有存在一个 n ≥ 1 使得 x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn ≥ 3.999. b. 试寻找一个这样的序列使其满足 x02/x1 + x12/x2 + ... + xn-12/xn < 4 对所有 n 成立.

4. n 使正整数,求证如果方程 x3 - 3xy2 + y3 = n 有关于整数 x,y 的一个解,则其至少 有三个解;当 n=2891 时再证明这个方程无整数解. 5. 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC、CE 上分别有分点 M、N 并且 AM/AC = CN/CE = r,如果 B、M、N 共线,试求 r 的值. 6. 设 S 是边长为 100 的正方形,L 是在 S 内部不自交的系列线段 A0A1, A1A2, A2A3, ... , An-1An 并且 A0 与 An 不重合.已知对于每一个在 S 边界上的点 P,L 中 存在一个点与 P 之间的距离不大于 1/2.求证:L 中存在两点 X、Y,X 与 Y 的距离不 大于 1,并且 L 上位于 X 和 Y 之间的部分不少于 198.


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