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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第三节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理


第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 知识梳理 一、二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,设有直线 Ax+By+C=0(B 不为 0)及点 P(x0,y0),则 (1)若 B>0,Ax0+By0+C>0,则点 P 在直线的上方,此时不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域; (2)若 B>0,Ax0+By0+C<0,则点 P 在直线的下方,此时不等式 Ax+By+C<0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域(注:若 B 为负,则可先将其变为正). 由此可知,二元一次不等式 Ax+By+C>0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域. 我们把直线画成虚线以表示区域不含边界直线. 当我们在坐 标系中画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直 线画成实线. 由于对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它们的坐标(x,y)代入 Ax+By +C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点 (x0,y0),从 Ax0+By0+C 的正负情况, 即可判断 Ax+By+C>0 表示直线哪一侧的平面区域. 特殊地, 当 C≠0 时,直线不过原点,通常把原点作为特殊点. 二、线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题. 满足线性约束条件的解(x,y)叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域(类似 函数的定义域),使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解. 线性规划问题一般用图解法,其步骤如下: (1)根据题意,设出变量 x,y; (2)找出线性约束条件; (3)确定线性目标函数 z=f(x,y); (4)画出可行域(即各约束条件所示区域的公共区域); (5)利用线性目标函数作平行直线系 f(x,y)=t(t 为参数); (6)观察图形,找到直线 f(x,y)=t 在可行域上使 t 取得所求最值的位置,以确定最优 解,给出答案. 生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题. 基础自测 3x+y-6≥0, ? ? 1.(2013·天津卷)设变量 x,y 满足约束条件?x-y-2≤0, ? ?y-3≤0, 2x 的最小值为( ) A.-7 B.-4 C.1 D.2 则目标函数 z=y- 第 1 页 共 5 页 解析:可行域如图阴影部分(含边界), 令 z=0,得直线 l0:y-2x=0,平移直线 l0 知, 当直线 l 过 A 点时,z 取得最小值. ? ?y=3, 由? 得 A(5,3). ?x-y-2=0, ? 所以 z 最小=3-2×5=-7,故选 A. 答案:A x≥0, ? ? 2.设 x,y 满足约束条件?y≥x, ? ?4x+3y≤12, A.5 B.6 C.8 则 2y+2 的最大值是( x+1 ) D.10 解析:画出可行域如图, y+1 的几何意义是点 M(-1,-1)与可行域内的点 P(x,y)连 x+1 =5, 4- - 线的斜率,当点 P 移动到点 N(0,4)时,斜率最大,最大值为 0- - 2y+2 ∴ =2×5=10.故选 D. x+1 答案:D x+2y≥2, ? ? 3.(2013·汕头一模)已知变量

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