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河南八市2017届高三10月理科数学试卷(含解析)


理科数学
一、选择题:
1.设集合 A ? {x | x ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? (
2

) D. [ ,3]

A. (??,1] ? [3, ??) 2. i 为虚数单位,则 ( A.

B.

/>[1,3]


C.

1 ? i 2007 ) ?( 1? i
-1 C.

3 (??, ] ? [3, ??) 2

3 2

?i
? 1 3

B.

i

D.1 ) D. c ? b ? a )

3.已知 a ? 2

, b ? log 3

1 1 , c ? log 1 ,则( 2 2 3

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

4.执行如图所示的程序框图,如果输入的 N 是 5,那么输出的 p 是( A. 120 B.720 C. 1440 D.5040

5.如图, 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AB ? BC ? 2 ,AA1 ? 1 , 则 AC1 与平面 A1 B1C1 D1 所成的角的正弦值为( A. )

2 3 3

B.

2 3

C.

2 4

D.

1 3

6.如果函数 y ? 2 cos(3 x ? ? ) 的图象关于点 ( A.

?
3

那么 | ? | 的最小值为 ( , 0) 成中心对称,



?
6

3 2 ln a ln an 3n ln a1 ln a2 3 7.已知数列 {an } 满足 ? ? ??? ? (n ? N * ) ,则 a10 ? ( 3 6 9 3n 2
A. e
30

B.

?
4

C.

?

D.

?


B. e

100 3

C.

e

110 3

D. e 40

?x ? y ? 6 ? 0 ? 8.已知关于 x 的函数 f ( x) ? x 2 ? 2 bx ? a 2 , 若点 (a, b) 是区域 ? x ? 0 内的随机点, ?y ? 0 ?
则函数 f ( x) 在 R 上有零点的概率为( A. ) D.

2 3

B.

11 27

C.

1 3

5 27

9. 已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次 投篮恰有两次命中的概率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3, 4,表示命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;在以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果, 经随机模拟产生了 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 532 989 据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( A. 0.35 B. 0.25 C. 0.30 D.0.20 )

10.已知斜率为 3 的直线 l 与双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 交于 A, B 两点,若点 a 2 b2


P(6, 2) 是 AB 的中点,则双曲线 C 的离心率等于(
A. 2 11.若 S n ? sin ( ) B. 286 C. 1731 B. 3 C. 2 D. 2 2

?
7

? sin

2? n? ? ? ? sin ( n ? N * ) ,则在 S1 , S 2 , ?, S 2017 中,正数的个数是 7 7

A. 143

D.2000

12.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (0) ? 0 , f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 , f ( ) ?

x 3

1 f ( x) ,且当 2

0 ? x1 ? x2 ? 1 时,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f (
A.

1 32

B.

1 64

C.

1 128

1 ) )?( 2016 1 D. 2016

二、填空题 ? ? ? ? ? ? 13.已知向量 a 与 b 的夹角为 120? ,且 a ? (?2, ?6) ,| b |? 10 ,则 a ? b ?
14. ( x ?



3

1 16 ) 的展开式中常数项为 x

. (用数字作答)

15.已知 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若 a1 ? ?2017 ,

S 2014 S 2008 ? ? 6 ,则 2014 2008

S 2017 ?



16.多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为

cm 2 .

三、解答题
17. ?ABC 的面积是 30,内角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c , cos A ? (1)求 AB ? AC ; (2)若 c ? b ? 1 ,求 a 的值. 18.如图,矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直, BE / / CF ,

12 . 13

??? ? ????

?BCF ? ?CEF ? 90? , AD ? 3 , EF ? 2 .
(1)求证: AE / / 平面 DCF ; (2)当 AB 的长为何值时,二面角 A ? EF ? C 的大小为 60? .

19.如图是某市 10 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于 100 表示空气 质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 10 月 1 日至 10 月 13 日中的某一天到达该市,并停留 2 天. (1)求此人到达当日空气重度污染的概率; (2)设 X 是此人停留期间空气质量优良的天数,求 X 的分布列和数学期望; (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)

20.已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 (? 2, 0), F2 ( 2, 0) ,点 a 2 b2

M (1, 0) 与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 M (1, 0) 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点,设点 N (3, 2) ,记直线 AN , BN 的斜 率分别为 k1 , k2 ,求证: k1 ? k2 为定值. 21.已知函数 f ( x) ? a ?

1 ? ln x , g ( x) ? e x ? ex ? 1 . x

(1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) ? 0 恰有一个解,求 a 的值; (3)若 g ( x) ? f ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知圆 O1 和圆 O2 相交于 A, B 两点, 过 A 点圆 O1 的切线交于圆 O2 于点 E ,连接 EB 并延长 交圆 O1 于点 C ,直线 CA 交圆 O2 于点 D . (1)当点 D 与点 A 不重合时, (如图 1) ,证明: ED 2 ? EB ? EC ; (2)当点 D 与点 A 重合时, (如图 2) ,若 BC ? 2, BE ? 6 ,求圆 O2 的直径长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 l 过点 P (2, 0) ,斜率为

4 2 ,直线 l 和抛物线 y ? 2 x 相交于 A, B 两点,设线段 AB 3

的中点为 M ,求: (1)点 M 的坐标; (2)线段 AB 的长 | AB | . 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?5 x ,其中实数 a ? 0 . (1)当 a ? 3 时,求不等式 f ( x) ? 4 x ? 6 的解集; (2)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 {x | x ? ?2} ,求 a .

试卷答案
一、选择题 CCCAD 二、填空题 13、 ; 14、1820; 15、 ; 16、 。 DBBCA CC

三、解答题 17、解析:由 ,得 。



,所以



4分

又因为

,所以



12 分

18、 (1)证明:过点 可得四边形 所以 故 所以 作 为矩形,又 ,从而四边形 .因为 平面 作 平面 . 交 , 的延长线于 ,得 ,连结 平面 . , 平面 交 于 ,连结 ,

为矩形, 为平行四边形, , 平面 ,

(2)解:过点 由平面

从而 在 又因为 于是

.所以 中,因为 ,所以

为二面角 , ,从而 . 因为

的平面角. ,所以 . , , .

所以当



时,二面角 为坐标原点,以 .

的大小为 和

. 分别作为 轴, 轴和 轴,建立

方法二:如图,以点 空 间直角坐标系

设 则 , ,

, , , , 平面 平面 .因为 . , , ,从而 , ,从而 平面 , , ,所以平面 , 平面 . , . ,

(Ⅰ)证明: 所以 所以 故

(Ⅱ)解:因为 所以

解得

.所以







与平面

垂直,则





解得

.又因为

平面





所以

,得到



所以当



时,二面角

的大小为



19、解析:设

表示事件“此人于 10 月 日到达该市”



根据题意,

,且



2分

(1)设

为事件“此人到达当日空气重度污染”,则



所以



2分

(2)由题意可知,

的所有可能取值为

,且



4分

,6 分

。 所以 的分布列为:

8分



的数学期望



10 分 12 分

(3)从 10 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。 20.解:(1)依题意,由已知得 由已知易得 ,所以 ,则 , ,

所以椭圆的方程为



4分

(2)①当直线 的斜率不存在时,不妨设





为定值。

6分

②当直线 的斜率存在时,设直线 的方程为









依题意知,直线 与椭圆

必相交于两点,设





,又



8分

所以



综上,得

为定值 2.

12 分

21、解:(1)因为

,所以

。又

,所以



所以函数

在点

处的切线方程为



2分

(2)因为

,令

,得





时,





上单调递增;

当 故 ①当 ②当

时,

, 。 时,即 时,即



上单调递减;

时,最大值点唯一,符合题意; 时, 恒成立,不符合题意;

③当

时,即

时,



又 个零点,不符合题意。 综上,当 (3)若 由 所以当 当 时, 时, ,函数 , 由(2)知在 当 即 时, 。 。 时, 恰有一个解时 。

(易证当

时,

),则

有两

7分 的情况。 ,令 ,得 单调递减; 。

恒成立,只需研究 ,得

,函数

单调递增; 10 分 显然成立。 ,

,此时 ,只需

综上可得,实数 的取值范围为 22、解:(1)连接 ,在

12 分 ,如图①所示。

的延长线上取点

因为



的切线,切点为

,所以



1分

因为 因为 所以 因为 (2)当点 与点 是

,所以 内接四边形 ,所以 ,所以 重合时,直线 与 。

, 的外角, ,所以 , 3分 5分

相切。



的延长线上取点

,在

的延长线上取点

,连接 ,又

,如图②所示, ,

由线切线定理知:

所以



所以



分别为



的直径。 ,而 ,

8分 ,

由切割线定理知: 所以 所以 的直径为 。

10 分

23、解:(1)因为直线 过点

,斜率为

,设直线 的倾斜角为







所以直线 的参数方程的标准形式为:

( 为参数)

因为直线 和抛物线相交,所以将直线 的参数方程代入抛物线方程 整理得 。

中,

由根与系数的关系得



因为中点

所对应的参数为



将此值代入直线 的参数方程的标准形式中,得





(2)



24、解:(Ⅰ)当 或 由此可得 故不等式 或

时, . . 的解集为

可化为



.????????????5 分

(Ⅱ)法一:(从去绝对值的角度考虑)



,得

,此不等式化等价于



解之得



因为

,所以不等式组的解集为

,由题设可得

,故

.?10 分

法二:(从等价转化角度考虑) 由 ,得 ,此不等式化等价于 ,

即为不等式组

,解得

因为

,所以不等式组的解集为

,由题设可得

,故

?10 分


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