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广东省湛江一中09-10学年高一上学期期中考试(数学)


湛江一中 09-10 学年高一第一学期期中考试 数学科试题 考试时间:120 分钟 满分 150 分 命题教师:WHT

一、 选择题: (每小题 5 分,共 10 小题 ,共 50 分) 1.已知集合 A ? {x ? R | 1 ? x 2 ? 0} ,则有 (A)-1 ? A (B) 1 ? A (C) {?1,2} ? A ? {?1,1,2} (D)

{?1,1,2} ? A ? {1}

2.下列函数中哪个与函数 y ? 3 x 3 相等 (A) y ?

x2 x

(B) y ?

x2

(C) y ? ( x ) 2

(D) y ? log2 2 x

3.下列四个点中,在函数 f ( x) ? (A) (3,0)

x ?1 图象上的点是 x?3
(D) (0,-1)

(B) (4,5) (C) (5,4)

4.下列函数在(0, ? ?) 上是增函数的是
1

(A) y ? 9 ? x 2 (B) y ?| x ? 1 |

(C) y ? x 2 (D) y ?

2 x

2 5. 4 个函数: f1 ( x) ? x , x ? (?1,2) ② f 2 ( x ) ? ? 有 ①

1 1 x ③ f 3 ( x) ? 0 ④ f 4 ( x) ? 2 ? x , x 2
(D) 1

其中偶函数的个数是 (A) 4 (B)
5 6

3

(C)

2

6.已知 a ? 3 ,则 a ? 3 a 2 ? 4 a 3 等于 (A) 3 (B) 3 (C) 5 34 (D) 9

7.若 0 ? x ? y ? 1 ,则 (A)lg( y ? x) ? 0 (B)log x 0.3 ? log y 1.3 (C)log4 x ? log3 y (D)(

1 x 1 ) ? ( )y 99 99

8.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 (??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图象是

y

y
2 1 ? 2 ?1O 1 2 x ?1 ?2
(B)

y
2 1 ?1O 1 2 ?1
(C)

y
2 1 ?1O 1 2
?2
(D)

2 1 O 1 ?2
1

x

x

x

(A)

9.定义:符号 [x ] 表示不超过实数 x 的最大整数,如 [3.8] ? 3 ,[?2.3] ? ?3 ,[6] ? 6 等, 设函数 f ( x) ? x ? [ x] ,则下列结论中不正确的是 ...

1 (B) f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) (C) f ( x ? 1) ? f ( x) (D) 0 ? f ( x) ? 1 2 f ( x) ? f (? x) ? 0 成立的 x 10.设奇函数 f ( x ) 在 (0, ?) 上为增函数,且 f (1) ? 0 ,则使 ? x
(A) f (? ) ? 的取值集合是 (A) (?1 0) ? (1 ? ?) , , (C) (??, 1) ? (1 ? ?) ? , (B) (??, 1) ? (0, ? 1) (D) (?1 0) ? (0, , 1)

1 2

二、填空题每小题(每小题5分,共20分) 11. 设 全 集 U ? R , A ? {x x ? 2} , B ? {x | x ? ?1 , 或 x ? 0} , 则

B ? (CU A) ? ______________.
12.通常表明地震能量大小的尺度是里氏震级,其计算公式是 M ? lg A ? lg A0 ,其中, A

M 是被测地震的最大振幅, 0 是 的振幅, 为震级. 则 A “标准地震”
7 级地震的最大振幅是 5 级地震最大振幅的________倍.

13.求方程 ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 2 ? 0 的近似解时,记 f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ? 2 , 首先由 f (?1) ? f (0) ? 0 ,可知在区间 (?1,0) 内有零点,按“二分法”的求解方法步聚,紧 接着可推得零点所在的长度是 0.5 的区间是_________________. (注:区间 ( a, b) 的长度是

(图:被地震震毁的桥)

b ? a)
14.给定集合 A ? (0,??) 与 B ? (1,2) ,则可由对应关系 f (x) =_________(只须填写一个 符合要求的解析式即可) ,确定一个以 A 为定义域, B 为值域的函数. 三、解答题: 15. (满分 12 分)求函数 y ?

log 2009 (2 x ? 12) 的定义域.
2010

16 . ( 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f (x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ≥ 0 时 ,

f ( x) ? (1 ? x 2 ) l n1 ? x) ,图象如图所示. (
(1)画出当 x ≤0 时的图象 (2)求出函数 f (x) 的解析式

y

a
? 1 ? x0 O

?a

x0 1

x

(要求写出求解过程)

17. (满分 14 分).设函数 f ( x ) ? 1 ?

1 , x ? [0,??) x ?1

(1)用单调性的定义证明 f (x) 在定义域上是增函数; (2)设 g ( x) ? f (1 ? x) ? f ( x) ,判断 g (x) 在 [0,??) 上的的单调性(不用证明) ,并由此说明

f (x) 的增长是越来越快还是越来越慢?
18. (本题满分 14 分) 如图, 有一块半径为 2 的半圆形纸片, 计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的 形状,它的下底 AB 是⊙ O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上,设 CD ? 2 x ,梯形 ABCD 的周长为 y 。 (1)求出 y 关于 x 的函数 f (x) 解析式; (2)求 y 的最大值,并指出相应的 x 值.

D

C 2x

A

O

B

?12n(1 ? n ? 24, n ? N * ) ? * 19.(满分 14 分)某出版公司为一本畅销书定价如下: C ? n ? ? ?11n(25 ? n ? 48, n ? N ) .这 ?10n(n ? 49, n ? N * ) ? 里 n 表示定购书的数量, C (n) 是定购 n 本书所付的钱数(单位:元) (1)有多少个 n ,会出现买多于 n 本书比恰好买 n 本书所花钱少? (2)若一本书的成本价是 5 元,现有两人来买书,每人至少买 1 本,两人共买 60 本,问出版公
司至少能赚多少钱?最多能赚多少钱?

20.已知函数 y ? f (x) 的定义域为 D ,且 f (x) 同时满足以下条件: ① f (x) 在 D 上是单调递增或单调递减函数; ②存在闭区间 [a, b] ? D (其中 a ? b) ,使得当 x ? [a, b] 时, f (x) 的取值集合也是 [ a, b] . ≠

那么,我们称函数 y ? f (x) ( x ? D) 是闭函数. (1) 判断 f ( x) ? ? x 3 是不是闭函数?若是,找出条件②中的区间;若不是,说明理由. (2) 若 f ( x) ? k ?

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

(注:本题求解中涉及的函数单调性不用证明,直接指出是增还减函数即可)

湛江一中 2009—2010 学年度第一学期期中考试

高一级数学科试题解答及评分标准
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.D 9.B 10.D 二、填空题每小题(每小题5分,共20分) 11. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 2} 13. (?1,?0.5) 三、解答题: 15. (满分 12 分) 解:由题得 log 2009 (2 x ? 12) ? 0 …………?①………………………………..3 分
2010

12. 100
x 14. ( ) ? 1 , ( ) ? 1 , 1 ? ( ) ? 1 等
x x

1 2

1 3

1 2

因为 0 ?

2009 ? 1 , y ? log 2009 t 在 (0,??) 上是减函数……………………6 分 2010 2010

① 化为: ?

?2 x ? 12 ? 0 ............................................9 分 ?2 x ? 12 ? 1

13 ??????????????????????????11 分 2 13 13 所以所求函数的定义域是 {x | 6 ? x ? } (或表示成 (6, ] )........12 分 ....... 2 2
解得: 6 ? x ? 16. 解: (1)图象如图(注意与 x 轴 交点位置正确) …………………………..6 分

y

a
?1

? x0

O

x0

1

x

?a

(2)设 x ? 0 ,则 ? x ? 0 …………………………………………………….7 分 因 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f ( x) ? ? f (? x) ……………………9 分

? ?(1 ? ( ? x ) 2 ) ln(1 ? x ) ? ( x 2 ? 1) ln(1 ? x )
…………………………………………………………………………………….11 分

?(1 ? x 2 ) ln(1 ? x), x ? 0 ? 所以对 x ? R , f ( x) ? ? 2 …………………………..…..12 分 ?( x ? 1) ln(1 ? x), x ? 0 ?
17. 解: (1)设 x1 ? x2 ? 0 ………………………………………………1 分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

1 1 ) ? (1 ? ) ………………………….3 分 x1 ? 1 x2 ? 1

?

x1 ? x2 ……………………………………………………….5 分 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)

由 x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0, ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ……………………7 分 得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) …………………………….8 分 所以 f (x) 在定义域上是增函数…………………………………………10 分 (2) g ( x) ? f ( x ? 1) ? f ( x) ?

1 ………………………11 分 ( x ? 1)(x ? 2)

g (x) 在 [0,??) 是减函数…………………………………………………12 分
自变量每增加 1, f (x) 的增加值越来越小,所以 f (x) 的增长是越来越慢.…14 分 18. .解: (1)作 OH, DN 分别垂直 DC, AB 交于 H , N ,连结 OD .?????2 分 由圆的性质, H 是中点,设 OH ? h

D

H 2x

C

h ? OD2 ? DH 2 ? 4 ? x 2 ???4 分
又在 RT?AND 中, AD ?
2 2

AN 2 ? DN 2
A

? (2 ? x) ? (4 ? x ) ? 8 ? 4 x ?????6 分

N

O

B

所以 y ? f ( x) ? AB ? 2 AD ? DC ? 4 ? 2x ? 4 2 ? x ???????????7 分 其定义域是 (0,2) ????????????????????????8 分 (2) 令 t ?

2 ? x ,则 t ? (0, 2 ) ,且 x ? 2 ? t 2 ?????????10 分 2 2 所以 y ? 4 ? 2 ? (2 ? t ) ? 4t ? ?2(t ? 1) ? 10 ????????????12 分 当 t ? 1 ? x ? 1 时, y 的最大值是 10 ???????????????14 分

19.解: (1)由于 C(n)在各段上都是单调增函数,因此在每一段上不存在买多于 N 本书比 恰好买 n 本书所花钱少的问题, 一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于 n 本书比 恰好买 n 本书所花钱少的现象. C(25)=11 ? 25=275,C(23)=12 ? 23=276,∴C(25)<C(23)……..1 分 C(24)=12 ? 24=288,∴ C(25)<C(24)…………………..…………..2 分 C(49)=49 ? 10=490,C(48)=11 ? 48=528,∴ C(49)<C(48) C(47)=11 ? 47=517,∴ C(49)<C(47) C(46)=11 ? 46=506,∴ C(49)<C(46) C(45)=11 ? 45=495,∴ C(49)<C(45)……….. ……….………..……..5 分 ∴这样的 n 有 23,24,45,46,47,48 …….………..……….. ……………6 分 (2)设甲买 n 本书,则乙买 60-n 本,且 n ? 30,n ? N (不妨设甲买的书少于或等于乙 买的书) ①当 1 ? n ? 11 时,49 ? 60-n ? 59 出版公司赚得钱数 f (n) ? 12n ? 10(60 ? n) ? 5 ? 60 ? 2n ? 300 …….. …7 分 ②当 12 ? n ? 24 时,36 ? 60- n ? 48, 出版公司赚得钱数 f (n) ? 12n ? 11(60 ? n) ? 5 ? 60 ? n ? 360 ③当 25 ? n ? 30 时,30 ? 60- n ? 35, 出版公司赚得钱数 f (n) ? 11? 60 ? 5 ? 60 ? 360 ……..……….. ……..…9 分 .
*

?2n ? 300,1 ? n ? 11 ∴ f (n) ? ?n ? 360,12 ? n ? 24 ……..………………………………..... .....11 分 ? ?360, 25 ? n ? 30 ?

∴当 1 ? n ? 11 时, 302 ? f (n) ? 322 当 12 ? n ? 24 时, 372 ? f (n) ? 384 当 25 ? n ? 30 时, f (n) ? 360 …….………. .………. .………. .….. ..…..13 分 故出版公司至少能赚 302 元,最多能赚 384 元…….. .………. .……….………..14 分

20. 解: (1) f ( x) ? ? x 3 在R上是减函数,满足①;......... ..........1分

?? a 3 ? b ? 设存在区间 [ a, b] , f (x) 的取值集合也是 [ a, b] ,则 ? 3 .... ....3分 ?? b ? a ?
解得

a ? ?1, b ? 1 ,所以存在区间 [?1,1] 满足②
3

所以 f ( x) ? ? x ( x ? R) 是闭函数.…………………………………………4 分 (2) f ( x) ? k ? 由题, f ( x) ? k ? 即: ? .......... x ? 2 是在 [?2,??) 的增函数...........6 分

x ? 2 是闭函数,存在区间 [a, b] 满足②

?k ? a ? 2 ? a ? ....................... 分 .......................8 ?k ? b ? 2 ? b ?

所以 a, b 是方程 x 2 ? (2k ? 1) x ? k 2 ? 2 ? 0 的两根. 且 a ? k , b ? k ??10 分

? ? f (k ) ? 0 ? 2 2 令 f ( x) ? x ? (2k ? 1) x ? k ? 2 ,得 ?? ? 0 .......... ..........12 分 ? 2k ? 1 ? ?k ? 2
解得 ?

9 9 ? k ? ?2 ,所求的实数 k 的取值范围是 ( ? ,?2] ......... .........14 分. 4 4


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