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必修二 2.3.1直线与平面垂直的判定


必修二 2.3.1 直线与平面垂直的判定
一、选择题 1、从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为 A,B,C,如果这些斜线与平面成等角,
有如下命题: ①△ABC 是正三角形;②垂足是△ABC 的内心; ③垂足是△ABC 的外心;④垂足是△ABC 的垂心. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2、如图所示,PA⊥平面 ABC,△ABC 中 BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为(

)

A.4

B.3

C.2

D.1

3、如图所示,定点 A 和 B 都在平面 α 内,定点 P?α,PB⊥α,C 是平面 α 内异于 A 和 B 的动点,且 PC⊥AC,则△ABC 为( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定

4、空间四边形 ABCD 的四边相等,则它的两对角线 AC、BD 的关系是( A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交

)

5、直线 a⊥直线 b,b⊥平面 β,则 a 与 β 的关系是(
A.a⊥β C.a?β B.a∥β D.a?β 或 a∥β

)

6、下列命题中正确的个数是( ) ①如果直线 l 与平面 α 内的无数条直线垂直,则 l⊥α; ②如果直线 l 与平面 α 内的一条直线垂直,则 l⊥α; ③如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内没有与 l 垂直的直线;

④如果直线 l 不垂直于 α,则 α 内也可以有无数条直线与 l 垂直. A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题 7、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点,若∠B1MN 是直角,
则∠C1MN=________.

8、在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BC=CC1,当底面 A1B1C1 满足条件________时,有 AB1⊥BC1(注:
填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情况).

9、在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,

(1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________; (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________; (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是________.

三、解答题 10、 如图所示,△ABC 中,∠ABC=90° ,SA⊥平面 ABC,过点 A 向 SC 和 SB 引垂线,垂足分别是 P、
Q,求证:(1)AQ⊥平面 SBC; (2)PQ⊥SC.

11、如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为 DD1 的中点,O 为 ABCD 的中心,求证 B1O⊥ 平面 PAC.

12、如图所示,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,侧棱 PA 垂直于底面,E、F 分别是 AB,
PC 的中点,PA=AD. 求证:(1)CD⊥PD; (2)EF⊥平面 PCD.

13、如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点.
求证:CF⊥平面 EAB.

以下是答案 一、选择题 1、A [PO⊥面 ABC.
则由已知可得,△PAO、△PBO、△PCO 全等, OA=OB=OC, O 为△ABC 外心. 只有③正确.]

2、A [

? PA⊥平面ABC ?

? ?? ? AC ⊥ BC ? BC?平面ABC? ?

PA⊥BC ? ?

?BC⊥平面 PAC?BC⊥PC, ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.]

3、B [易证 AC⊥面 PBC,所以 AC⊥BC.] 4、C [取 BD 中点 O,连接 AO,CO,
则 BD⊥AO,BD⊥CO, ∴BD⊥面 AOC,BD⊥AC, 又 BD、AC 异面,∴选 C.]

5、D

6、B [只有④正确.] 二、填空题 7、90°
解析 ∵B1C1⊥面 ABB1A1, ∴B1C1⊥MN. 又∵MN⊥B1M, ∴MN⊥面 C1B1M, ∴MN⊥C1M. ∴∠C1MN=90° .

8、∠A1C1B1=90°
解析

如图所示,连接 B1C, 由 BC=CC1,可得 BC1⊥B1C, 因此,要证 AB1⊥BC1,则只要证明 BC1⊥平面 AB1C, 即只要证 AC⊥BC1 即可,由直三棱柱可知,只要证 AC⊥BC 即可. 因为 A1C1∥AC,B1C1∥BC,故只要证 A1C1⊥B1C1 即可. (或者能推出 A1C1⊥B1C1 的条件,如∠A1C1B1=90° 等)

9、(1)45° (2)30° (3)90° 解析

(1)由线面角定义知∠A1BA 为 A1B 与平面 ABCD 所成的角,∠A1BA=45° . (2)连接 A1D、AD1,交点为 O, 则易证 A1D⊥面 ABC1D1,所以 A1B 在面 ABC1D1 内的射影为 OB, ∴A1B 与面 ABC1D1 所成的角为∠A1BO, 1 ∵A1O= A1B, 2 ∴∠A1BO=30° . (3)∵A1B⊥AB1,A1B⊥B1C1, ∴A1B⊥面 AB1C1D,即 A1B 与面 AB1C1D 所成的角为 90° .

三、解答题 10、证明 (1)∵SA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,
∴SA⊥BC. 又∵BC⊥AB,SA∩AB=A, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵AQ?平面 SAB, ∴BC⊥AQ.又∵AQ⊥SB,BC∩SB=B, ∴AQ⊥平面 SBC. (2)∵AQ⊥平面 SBC,SC?平面 SBC, ∴AQ⊥SC. 又∵AP⊥SC,AQ∩AP=A, ∴SC⊥平面 APQ.∵PQ?平面 APQ,∴PQ⊥SC.

11、证明 连接 AB1,CB1,设 AB=1.
∴AB1=CB1= 2,

∵AO=CO,∴B1O⊥AC. 连接 PB1. 3 2 2 ∵OB2 1=OB +BB1= , 2 9 2 2 PB2 1=PD1+B1D1= , 4 3 OP2=PD2+DO2= , 4
2 2 ∴OB2 1+OP =PB1.∴B1O⊥PO,

又∵PO∩AC=O, ∴B1O⊥平面 PAC.

12、证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD,
∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中,CD⊥AD,且 AD∩PA=A, ∴CD⊥平面 PAD, ∴CD⊥PD.

(2)取 PD 的中点 G,连接 AG,FG. 又∵G、F 分别是 PD,PC 的中点, 1 ∴GF 綊 CD,∴GF 綊 AE, 2 ∴四边形 AEFG 是平行四边形, ∴AG∥EF. ∵PA=AD,G 是 PD 的中点, ∴AG⊥PD,∴EF⊥PD, ∵CD⊥平面 PAD,AG?平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD=D,∴EF⊥平面 PCD.

13、证明 在平面 B1BCC1 中,
∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点, ∴△BB1E≌△CBF, ∴∠B1BE=∠BCF,

∴∠BCF+∠EBC=90° ,∴CF⊥BE, 又 AB⊥平面 B1BCC1,CF?平面 B1BCC1, ∴AB⊥CF,AB∩BE=B,∴CF⊥平面 EAB.


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