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2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-7


第7讲

双曲线

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 x2 y2 1.(2015· 西安调研)设双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3, 则双曲线的渐近线方程为 1 A.y=± 2x C.y=± 2x 解析 2 B.y=± 2 x D.y=± 2x ( )

因为

2b=2, 所以 b=1, 因为 2c=2 3, 所以 c= 3, 所以 a= c2-b2=

b 2 2,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x = ± a 2 x,故选 B. 答案 B x2 y2 2.(2014· 大纲全国卷)双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,焦点到渐 近线的距离为 3,则 C 的焦距等于 A.2 C.4 解析 B.2 2 D.4 2 ( )

c 1 3 由已知,得 e=a=2,所以 a=2c,故 b= c2-a2= 2 c,从而双曲线的 b 3c 渐近线方程为 y=± x = ± 3 x ,由焦点到渐近线的距离为 3 ,得 a 2 = 3,解得 c=2,故 2c=4,故选 C. 答案 C y2 3.设 F1,F2 是双曲线 x2-24=1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|= 4|PF2|,则△PF1F2 的面积等于 ( )

A.4 2 C.24 解析 ?|PF1|-|PF2|=2, 由? ?3|PF1|=4|PF2|,

B.8 3 D.48

?|PF1|=8, 可解得? ?|PF2|=6. 又由|F1F2|=10 可得△PF1F2 是直角三角形, 1 则 S△PF1F2= |PF1|×|PF2|=24. 2 答案 C x2 y2 4.(2014· 重庆卷)设 F1,F2 分别为双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双 曲线上存在一点 P 使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为 ( A. 2 解析 B. 15 C .4 D. 17 )

根据双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=2a.又(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,所

c 以 4a2=b2-3ab,即(a+b)(4a-b)=0.又 a+b≠0,所以 b=4a,所以 e=a= ?b?2 1+?a? = 1+42= 17. ? ? 答案 D x2 2 5.若点 O 和点 F(-2,0)分别为双曲线a2-y =1(a>0)的中心和左焦点,点 P 为双 → ·FP → 的取值范围为 曲线右支上的任意一点,则OP A.[3-2 3,+∞) 7 C.[-4,+∞) 解析 x2 2 ∴双曲线方程为 3 -y =1, → =(x,y),FP → =(x+2,y), 设 P 点坐标为(x,y),则OP B.[3+2 3,+∞) 7 D.[4,+∞) ( )

由条件知 a2+1=22=4,∴a2=3,

x2 ∵y = 3 -1,
2 2 → ·FP → =x2+2x+y2=x2+2x+x -1 ∴OP 3

4 4 3 7 =3x2+2x-1=3(x+4)2-4. 又∵x≥ 3(P 为右支上任意一点), → ·FP → ≥3+2 3.故选 B. ∴OP 答案 B

二、填空题 x2 6.(2014· 四川卷)双曲线 4 -y2=1 的离心率等于________. 解析 答案 x2 c 5 由双曲线方程 4 -y2=1,知 a2=4,b2=1,c2=a2+b2=5,∴e=a= 2 . 5 2

7.(2014· 北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(- 2,0),( 2,0),一个顶点是(1, 0),则 C 的方程为________. 解析 由双曲线的焦点坐标知 c= 2,且焦点在 x 轴上,由顶点坐标知 a=1,

由 c2=a2+b2,得 b2=1.所以双曲线 C 的方程为 x2-y2=1. 答案 x2-y2=1 x2 y2 y2 x2 8.已知双曲线 m-3m=1 的一个焦点是(0,2),椭圆 n - m=1 的焦距等于 4,则 n =________. 解析 - 因为双曲线的焦点(0, 2), 所以焦点在 y 轴上, 所以双曲线的方程为 y2 -3m

x2 =1,即 a2=-3m,b2=-m,所以 c2=-3m-m=-4m=4,解得 -m y2 m=-1.所以椭圆方程为 n +x2=1,且 n>0,椭圆的焦距为 4,所以 c2=n-1 =4 或 1-n=4,解得 n=5 或-3(舍去). 答案 5

三、解答题 x2 y2 9.已知椭圆 D:50+25=1 与圆 M:x2+(y-5)2=9,双曲线 G 与椭圆 D 有相同 焦点,它的两条渐近线恰好与圆 M 相切,求双曲线 G 的方程. 解 椭圆 D 的两个焦点为 F1(-5,0),F2(5,0),

因而双曲线中心在原点,焦点在 x 轴上,且 c=5. x2 y2 设双曲线 G 的方程为a2-b2=1(a>0,b>0), ∴渐近线方程为 bx± ay=0 且 a2+b2=25, 又圆心 M(0,5)到两条渐近线的距离为 r=3. ∴ |5a| =3,得 a=3,b=4, b2+a2

x2 y2 ∴双曲线 G 的方程为 9 -16=1. y2 x2 10.已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为 2x+y=0,且顶点到 2 5 渐近线的距离为 5 . (1)求此双曲线的方程; (2)设 P 为双曲线上一点,A,B 两点在双曲线的渐近线上,且分别位于第一、 → =PB → ,求△AOB 的面积. 二象限,若AP a ? ?b=2, ?a=2, (1)依题意得? 解得? |2×0+a| 2 5 ?b=1, = 5 , ? ? 5



y2 故双曲线的方程为 4 -x2=1. (2)由(1)知双曲线的渐近线方程为 y=± 2x,设 A(m,2m),B(-n,2n),其中 m-n ? → =PB → 得点 P 的坐标为? ? ?. m>0,n>0,由AP , m + n ? 2 ? 2 y 将点 P 的坐标代入 4 -x2=1,整理得 mn=1. ?π ? 设∠AOB=2θ,∵tan? -θ?=2, 2 ? ? 1 4 则 tan θ =2,从而 sin 2θ =5.

又|OA|= 5m,|OB|= 5n, 1 ∴S△AOB=2|OA||OB|sin 2θ =2mn=2.

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) x2 y2 11.(2014· 江西卷)过双曲线 C:a2-b2=1 的右顶点作 x 轴的垂线,与 C 的一条渐 近线相交于点 A.若以 C 的右焦点为圆心、 半径为 4 的圆经过 A, O 两点(O 为坐 标原点),则双曲线 C 的方程为 x2 y2 A. 4 -12=1 x2 y2 C. 8 - 8 =1 解析 x2 y2 B. 7 - 9 =1 x2 y2 D.12- 4 =1 ( )

b 由双曲线方程知右顶点为(a,0),不妨设其中一条渐近线方程为 y=ax,

因此可设点 A 的坐标为(a,b). 设右焦点为 F(c,0),由已知可知 c=4,且|AF|=4,即(c-a)2+b2=16,所以有 c (c-a)2+b2=c2,又 c2=a2+b2,则 c=2a,即 a=2=2,所以 b2=c2-a2=42- x2 y2 22=12.故双曲线的方程为 4 -12=1,故选 A. 答案 A x2 y2 12.(2015· 石家庄模拟)已知点 F 是双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是 该双曲线的右顶点, 过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点, 若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) B.(1,2) D.(2,1+ 2) ( )

b2 b2 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, a ),B(-c,- a ),E(a,0), 2 → ·EB → >0,即EA → ·EB → =(-c-a,b )· 因为△ABE 是锐角三角形,所以EA a 2 b (-c-a,- a )>0,整理得 3e2+2e>e4,∴e(e3-3e-3+1)<0, ∴e(e+1)2(e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. 答案 B

x2 y2 13.已知 F 为双曲线 C: 9 -16=1 的左焦点,P,Q 为 C 上的点.若 PQ 的长等 于虚轴长的 2 倍,点 A(5,0)在线段 PQ 上,则△PQF 的周长为________. 解析 x2 y2 由 9 -16=1,得 a=3,b=4,c=5.

∴|PQ|=4b=16>2a. 又∵A(5,0)在线段 PQ 上,∴P,Q 在双曲线的右支上, 且 PQ 所在直线过双曲线的右焦点, ?|PF|-|PA|=2a=6, 由双曲线定义知? ∴|PF|+|QF|=28. ?|QF|-|QA|=2a=6, ∴△PQF 的周长是|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44. 答案 44
1

x2 14.(2014· 湖南卷)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1:a2 y y x -b2=1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2:a2+b2=1(a2>b2
1 2 2 2 2 2

?2 3 ? ?,且以 C1 的两个顶点和 C2 的 >0)均过点 P? , 1 ? 3 ? 两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 → +OB → |=|AB → |?证明你的结论. C2 只有一个公共点,且|OA 解 (1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2,从而 a1=1,c2=1.因

y2 ?2 3 ? ?2 3?2 1 ?在双曲线 x2- 2=1 上,所以? ? - 2=1.故 b2 为点 P? , 1 1=3. b1 b1 ? 3 ? ? 3 ? 由椭圆的定义知 2a2= ?2 3?2 ? ? +(1-1)2+ ? 3 ? ?2 3?2 ? ? +(1+1)2=2 3. ? 3 ?

2 2 于是 a2= 3,b2 2=a2-c2=2,故 C1,C2 的方程分别为

y2 y2 x2 x2- 3 =1, 3 + 2 =1. (2)不存在符合题设条件的直线. ①若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x = 2或 x=- 2.

当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3),所以 → +OB → |=2 2,|AB → |=2 3. |OA → +OB → |≠|AB → |. 此时,|OA → +OB → |≠|AB → |. 当 x=- 2时,同理可知,|OA ②若直线 l 不垂直于 x 轴, y=kx+m, ? ? 设 l 的方程为 y=kx+m.由? 2 y2 x - =1, ? 3 ? 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程 m2+3 2km 的两个实根,从而 x1+x2= ,x x = . 3-k2 1 2 k2-3 3k2-3m2 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 2 . k -3 y=kx+m, ? ? 由?y2 x2 + =1, ? ?3 2 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线 l 与 C2 只有一个公共点, 所以上述方 程的判别式 Δ =16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简,得 2k2=m2-3,因此 m2+3 3k2-3m2 -k2-3 → → OA·OB=x1x2+y1y2= 2 + 2 = 2 ≠0, k -3 k -3 k -3 → 2+OB → 2+2OA → ·OB → ≠OA → 2+OB → 2-2OA → ·OB →, 于是OA → +OB → |2≠|OA → -OB → |2,故|OA → +OB → |≠|AB → |. 即|OA 综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.


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