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2014-2015学年河南省驻马店市高一(下)期末数学试卷(理科) Word版含解析


2014-2015 学年河南省驻马店市高一(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的代号为 A、B、C、 D 的四个选项中,主要一项是符合题目要求的。 1.设向量 =(cos25°,sin25°) , =(cos25°,sin155°) ,则 A. B. 1 C. 的值为( ) D.

2.点 A(sin2015°,cos2015°)在平面直角坐标系平面上位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

) D. 第四象限

3.要从已编号(1﹣60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) A. 1,2,3,4,5,6 B. 2,4,8,16,32,48 C. 3,13,23,33,43,53 D. 5,10,15,20,25,30 4.已知 x、y 取值如表: x 0 1 4 y 1.3 m 3m

5 5.6

6 7.4

画散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 =x+1,则 m 的值(精确到 0.1) 为( ) A. 1.5

B. 1.6

C. 1.7

D. 1.8

5.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是据某 地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出 的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )

A. 甲

B. 乙

C. 甲乙相等

D. 无法确定

6.若 tan(α+45°)<0,则下列结论正确的是( ) A. sinα<0 B. cosα<0 C. sin2α<0

D. cos2α<0

7.设函数 f(x)=sinx+cosx,把 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后图象恰好 为函数 g(x)=sinx﹣cosx 的图象,则 m 的最小值为( ) A. B. C. D.

8.若直线 y=k(x+1)与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点,且 ( ) A. B. C. ±1

2

2

=﹣ ,则实数 k 的值为

D.

9.已知直线 l 的方程 x=a,a∈R,分别交曲线 y=πsinx 和 y=πcosx 不同的两点 M,N,则线 段|MN|的取值范围是( ) A. [0,π] B. [0, π] C. [0, ] D. [0,2π] 10.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是( )

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

11.函数 y=sin(πx+φ) (φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高,A,B 是图象 与 x 轴的交点,则 tan∠APB 等于( )

A.

B.

C. 6

D. 8
2

12.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) ,其周期为 2,且 x∈(﹣1,1]时,f(x)=1+x ,函数 g(x)= 个数为( A. 8 ) B. 9 C. 10 D. 11 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,5]上的零点

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中横线上。 13.已知向量 =(2,3) , =(﹣4,1) ,则向量 在向量 方向上的投影为 .

14.为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该 小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则 样本数据中的最大值为 . 15.当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx﹣3cosx 取得最大值,则 cosθ 的值为 .

16.已知函数 g(x)=x+sinx,当 x∈R 时,函数 g(x)单调递增,定点 M(﹣1,2) ,动点 P (x, y) 满足不等式 g (y ﹣2y+3) +g (x ﹣4x+1) ≤0 恒成立, 则|PM|的取值范围
2 2



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cosα,sinα) , (0<α<π) (Ⅰ)若| (Ⅱ)若 |= (O 为坐标原点) ,求 α;

,求 sinα﹣cosα 的值.

18.已知函数 f(x)=2sin (

2

﹣x)+2

sin(π﹣x)cosx

(1)求函数 f(x)在[﹣π,π]上的单调递减区间. (2)在△ABC 中,C> ,若 f(c)=1+ ,2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C) ,求 A.

19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩 情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示) 解决下列问题:

(Ⅰ)写出 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 20.已知函数 f(θ)=﹣sin θ﹣4cosθ+4,g(θ)=m?cosθ (1)对任意的 θ∈[0, ],若 f(θ)≥g(θ)恒成立,求 m 取值范围;
2

(2)对 θ∈[﹣π,π],f(θ)=g(θ)有两个不等实根,求 m 的取值范围. 21.已知 f(x)=x +2x+1﹣sin
2

π

(Ⅰ)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求函数 f(x)有零点的概率 (Ⅱ)若 a 是从区间[0,3]中任取的一个数,b 是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数 f(x) 有零点的概率. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请
2 2

2014-2015 学年河南省驻马店市高一(下)期末数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的代号为 A、B、C、 D 的四个选项中,主要一项是符合题目要求的。 1.设向量 =(cos25°,sin25°) , =(cos25°,sin155°) ,则 A. B. 1 C. 的值为( ) D.

考点:两角和与差的余弦函数;平面向量数量积的运算. 专题:计算题. 分析:根据平面向量的数量积的运算法则, 由向量 = (cos25°, sin25°) ,= (cos25°, sin155°) 表示出 ,然后利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简后,即可求出 =cos 25°+sin25°sin155°
2

的值.

解答: 解:
2

=cos 25°+sin25°sin(180°﹣25°) 2 2 =cos 25°+sin 25°=1. 故选 B 点评:此题考查学生掌握平面向量的数量积的运算法则, 灵活运用诱导公式及同角三角函数 间的基本关系化简求值,是一道基础题. 2.点 A(sin2015°,cos2015°)在平面直角坐标系平面上位于( A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 ) D. 第四象限

考点:三角函数值的符号. 专题:三角函数的求值. 分析:利用特殊角的三角函数的值的符号,直接判断点所在象限即可. 解答: 解:cos2015°=cos(360°×6﹣145°)=cos145°=﹣ sin2015°=sin(360°×6﹣145°)=﹣sin145°=﹣ 所以点 A(sin2015°,cos2015°)在直角坐标平面上位于第三象限, 故选:C. 点评:本题考查诱导公式的应用,三角函数的值的符号的判断,考查计算能力. 3.要从已编号(1﹣60)的 60 枚最新研制的某型导弹中随机抽取 6 枚来进行发射试验,用 每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 6 枚导弹的编号可能是( ) ,

A. 1,2,3,4,5,6 C. 3,13,23,33,43,53

B. 2,4,8,16,32,48 D. 5,10,15,20,25,30

考点:系统抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据系统抽样的定义确定样本数据的组距即可得到结论. 解答: 解:根据系统抽样的定义则编号间距为 60÷6=10, 则满足条件是 3,13,23,33,43,53, 故选:C 点评:本题主要考查系统抽样的应用,根据条件求出样本间隔是解决本题的关键. 4.已知 x、y 取值如表: x 0 1 4 y 1.3 m 3m

5 5.6

6 7.4

画散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且求得回归方程为 =x+1,则 m 的值(精确到 0.1) 为( ) A. 1.5

B. 1.6

C. 1.7

D. 1.8

考点:线性回归方程. 专题:计算题;概率与统计. 分析:将 解答: 解:将 代入回归方程为 代入回归方程为 可得 可得 ,则 4m=6.7,即可得出结论. ,则 4m=6.7,解得 m=1.675,

即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7. 故选:C. 点评:本题考查线性回归方程,考查学生的计算能力,属于基础题. 5.PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是据某 地某日早 7 点至晚 8 点甲、乙两个 PM2.5 监测点统计的数据(单位:毫克/每立方米)列出 的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是( )

A. 甲 考点:茎叶图. 专题:概率与统计.

B. 乙

C. 甲乙相等

D. 无法确定

分析:根据茎叶图中的数据分布,即可得到甲乙两地浓度的方差的大小关系. 解答: 解:根据茎叶图中的数据可知,甲地的数据都集中在 0.06 和 0.07 之间,数据分别 比较稳定, 而乙地的数据分布比较分散,不如甲地数据集中, ∴甲地的方差较小. 故选:A. 点评:本题 考查茎叶图的识别和判断, 根据茎叶图中数据分布情况, 即可确定方差的大小, 比较基础. 6.若 tan(α+45°)<0,则下列结论正确的是( ) A. sinα<0 B. cosα<0 C. sin2α<0

D. cos2α<0

考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 2 分析: 由条件利用两角和的正切公式求得,tan α>1,再利用同角三角函数的基本关系, 二倍角的余弦公式求得 cos 2α= ,从而得出结论. <0,求得 tanα>1 或 tanα<﹣1,∴tan α
2

解答: 解:∵tan(α+45°)<0,∴ >1. ∴cos2α= =

<0,

故选:D. 点评:本题主要考查两角和的正切公式, 同角三角函数的基本关系, 二倍角的余弦公式的应 用,属于基础题. 7.设函数 f(x)=sinx+cosx,把 f(x)的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后图象恰好 为函数 g(x)=sinx﹣cosx 的图象,则 m 的最小值为( ) A. B. C. D.

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:化简两个函数的表达式为正弦函数的形式,按照平移的方法平移,即可得到 m 的最 小值. 解答: 解:∵函数 f(x)=sinx+cosx= 所以函数 f(x)至少向右平移 ﹣ )=g(x) , sin(x+ ) ,g(x)=sinx﹣cosx= )= sin(x﹣ + sin(x﹣ )= ) ,

个单位,可得 f(x﹣

sin(x

即 m 的最小值为:



故选:C. 点评:本题考查两角和的正弦函数以及三角函数图象的平移,考查计算能力,属于基础题.
2 2

8.若直线 y=k(x+1)与圆 x +y =1 相交于 A,B 两点,且 ( ) A. B. C. ±1

=﹣ ,则实数 k 的值为

D.

考点:直线与圆相交的性质;平面向量数量积的运算. 专题:计算题;直线与圆. 分析:先求出弦心距 d,再由题意可得 cos60°= = ,求得 k 的值.

解答: 解:弦心距 d=

由题意,

=﹣ ,可得∠AOB=120°, ,

∴cos60°= =

解得 k=±



故选:A. 点评:本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式,弦长公式的应用,属于基 础题. 9.已知直线 l 的方程 x=a,a∈R,分别交曲线 y=πsinx 和 y=πcosx 不同的两点 M,N,则线 段|MN|的取值范围是( ) A. [0,π] B. [0, π] C. [0, ] D. [0,2π] 考点:正弦函数的图象;余弦函数的图象. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:由题意可得|MN|=π|sina﹣cosa|= 范围. 解答: 解:由题意可得|MN|=π|sina﹣cosa|= π|sin(a﹣ )|, π|sin(a﹣ )|,求得线段|MN|的最值,可得它的

故线段|MN|的最小值为 0,最大值为 π, 故选:B. 点评:本题主要考查两角和差的正弦函数,正弦函数的值域,属于基础题.

10.如图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是(



A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

考点:程序框图. 专题:计算题;算法和程序框图. 分析:根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件 k<6,跳出循环,计算输出 T 的值. 解答: 解:由程序框图知:第一次循环 sin 第二次循环 sinπ=0<sin 第三次循环 sin =1>sin0=0,a=1,T=1,k=2;

=1,a=0,T=1,k=3;

=﹣1<sinπ=0,a=0,T=1,k=4; =﹣1,a=1,T=2,k=5;

第四次循环 sin2π=0>sin 第五次循环 sin

=1>sin2π=0,a=1,T=3,k=6.

不满足条件 k<6,跳出循环,输出 T=3. 故选:A. 点评:本题考查了循环结构的程序框图, 根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常 用方法. 11.函数 y=sin(πx+φ) (φ>0)的部分图象如图所示,设 P 是图象的最高,A,B 是图象 与 x 轴的交点,则 tan∠APB 等于( )

A.

B.

C. 6

D. 8

考点:正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析:求出函数的周期,与最值,过 P 作 PD⊥x 轴于 D,求出∠APD 与∠BPD 的正切,利 用两角和的正切函数求出 tan∠APB.

解答: 解:由题意可知函数的周期 T= 最大值为 1, 过 P 作 PD⊥x 轴于 D, 则 AD= ,DB= ,DP=1, 则 tan∠APD= ,tan∠BPD= ,



故 tan∠APB=tan(∠APD+∠BPD)=

=8.

故选:D.

点评:本题考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用,考查理解能力计算能力. 12.已知定义在 R 上的函数 y=f(x) ,其周期为 2,且 x∈(﹣1,1]时,f(x)=1+x ,函数 g(x)= 个数为( A. 8 ) B. 9 C. 10 D. 11 ,则函数 h(x)=f(x)﹣g(x)在区间[﹣3,5]上的零点
2

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析:通过讨论①x<0 时,画出函数 f(x)和 g(x)=1﹣ 的图象,得到 x<0 时的交点 的个数,②x≥0 时,画出函数的草图,求出函数 f(x)和 g(x)=1+sinπx 在区间[0,5]上, 有 6 个交点,即可得出结论. 解答: 解:①x<0 时,由题意,f(x)=g(x) , 画出函数 f(x) ,g(x)在[﹣3,0)上的图象,如图示:

在区间[﹣3,﹣2) , (﹣2,0)间分别有一个交点, 故函数 f(x) ,g(x)在[﹣3,0)上有 2 个交点, ②x≥0 时,在区间[0,5]上,由图象可得有 6 个交点,零点有 6 个, 综合①②共 8 个交点, 故选:A. 点评:关键是把函数有零点的问题,转化成两函数在某区间内有交点的问题,属中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在题中横线上。 13.已知向量 =(2,3) , =(﹣4,1) ,则向量 在向量 方向上的投影为 ﹣ .

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:根据投影的计算公式,所求投影为 坐标运算及根据坐标求向量长度的公式即可求出答案. 解答: 解:向量 在向量 方向上的投影为: = . ,从而根据数量积的

故答案为:



点评:考查一个向量在另一个向量方向上投影的定义, 及其计算公式, 向量夹角的余弦公式, 数量积的坐标运算. 14.为了考察某校各班参加课外小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加该 小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不相同,则 样本数据中的最大值为 10 . 考点:总体分布的估计;极差、方差与标准差. 专题:压轴题;概率与统计.

分析:本题可运用平均数公式求出平均数, 再运用方差的公式列出方差表达式, 再讨论样本 数据中的最大值的情况,即可解决问题. 解答: 解:设样本数据为:x1,x2,x3,x4,x5, 平均数=(x1+x2+x3+x4+x5)÷5=7; 2 2 2 2 2 2 方差 s =[(x1﹣7) +(x2﹣7) +(x3﹣7) +(x4﹣7) +(x5﹣7) ]÷5=4. 从而有 x1+x2+x3+x4+x5=35,① 2 2 2 2 2 (x1﹣7) +(x2﹣7) +(x3﹣7) +(x4﹣7) +(x5﹣7) =20.② 若样本数据中的最大值为 11,不妨设 x5=11,则②式变为: 2 2 2 2 (x1﹣7) +(x2﹣7) +(x3﹣7) +(x4﹣7) =4,由于样本数据互不相同,这是不可能成 立的; 若样本数据为 4, 6, 7, 8, 10, 代入验证知①②式均成立, 此时样本数据中的最大值为 10. 故答案为:10. 点评:本题考查的是平均数和方差的求法.计算方差的步骤是:①计算数据的平均数;② 计算偏差,即每个数据与平均数的差;③计算偏差的平方和;④偏差的平方和除以数据个 数.

15.当 x=θ 时,函数 f(x)=sinx﹣3cosx 取得最大值,则 cosθ 的值为 ﹣



考点:三角函数的最值. 专题:三角函数的求值. 分析:利用辅助角公式化简函数的解析式为函数 f(x)═ sinα=﹣ .由题意可得 θ+α=2kπ+ ,k∈z,即 θ=2kπ+ sin(x+α) ,其中,cosα= ,

﹣α,k∈z,再利用诱导公式

求得 cosθ 的值. 解答: 解:函数 f(x)=sinx﹣3cosx= 中,cosα= ,sinα=﹣ . ﹣α,k∈Z 时,函数 f(x)取得最大值为 ﹣α=θ, 求得 cosθ=sinα=﹣ . , ( sinx﹣ cosx)= sin(x+α) ,其

故当 x+α=2kπ+

,k∈Z,即 x=2kπ+

而由已知可得当 x=θ 时, 函数 ( f x) 取得最大值, ∴2kπ+ 故答案为:﹣ .

点评:本题主要考查辅助角公式的应用,正弦函数的最大值,属于中档题. 16.已知函数 g(x)=x+sinx,当 x∈R 时,函数 g(x)单调递增,定点 M(﹣1,2) ,动点 2 2 P(x,y)满足不等式 g(y ﹣2y+3)+g(x ﹣4x+1)≤0 恒成立,则|PM|的取值范围 [ ﹣1, +1] . 考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用.

分析:判断函数 f(x)的奇偶性和单调性,将不等式进行转化,利用点和圆的位置关系, 进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)=x+sinx(x∈R) , ∴f(﹣x)=﹣x﹣sinx=﹣(x+sinx)=﹣f(x) , 即 f(x)=x+sinx(x∈R)是奇函数, 2 2 ∵g(y ﹣2y+3)+g(x ﹣4x+1)≤0, 2 2 2 ∴g(y ﹣2y+3)≤﹣g(x ﹣4x+1)=g[﹣(x ﹣4x+1)], ∵函数 g(x)单调递增. 2 2 ∴y ﹣2y+3≤﹣(x ﹣4x+1) , 2 2 即(y ﹣2y+3)+(x ﹣4x+1)≤0, 2 2 ∴(y﹣1) +(x﹣2) ≤1, ∴不等式对应的平面区域为圆心为 C(2,1) ,半径为 1 的圆及其内部. 则|CM|= = = ,

则|PM|的最大值为 +1,最小值为 ﹣1, 即 ﹣1≤|PM|≤ +1, 即|PM|的取值范围是[ ﹣1, +1]. 故答案为:[ ﹣1, +1].

点评:本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断以及两点间的距离的取值范围,综合性较 强,运算量较大,利用数形结合是解决本题的基本思想. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知 A(2,0) ,B(0,2) ,C(cosα,sinα) , (0<α<π) (Ⅰ)若| (Ⅱ)若 |= (O 为坐标原点) ,求 α;

,求 sinα﹣cosα 的值.

考点: 平面向量数量积的运算; 同角三角函数基本关系的运用; 三角函数中的恒等变换应 用. 专题: 平面向量及应用. 分析: (Ⅰ)由条件求得 | |= + =(2+cosα,sinα) ,再根据 = ,求得 cosα 的值,可得 α 的值.

(Ⅱ)由条件利用两个向量垂直的性质求得 cosα+sinα= ,可得 sinαcosα 的值,再根据 sinα ﹣cosα= = , 计算求的结果.

解答: 解: (Ⅰ)∵A(2,0) ,B(0,2) ,C(cosα,sinα) , (0<α<π) , ∴ + =(2+cosα,sinα) ,∴| . =(cosα,sinα﹣2) ,
2 2

|=

=



求得 cosα= ,∴α= (Ⅱ)∵ ∴ =0,

=(cosα﹣2,sinα) ,



=cosα (cosα﹣2) +sinα (sinα﹣2) =cos α+sin α﹣2 (cosα+sinα) =1﹣2 (cosα+sinα)

即 cosα+sinα= ,∴1+2cosα?sinα= ,求得 sinαcosα=﹣ . ∴sinα﹣ cosα= = =

=



点评: 本题主要考查两个向量的数量积公式, 两个向量坐标形式的运算法则, 两个向量垂 直的性质,属于中档题.
2

18.已知函数 f(x)=2sin (

﹣x)+2

sin(π﹣x)cosx

(1)求函数 f(x)在[﹣π,π]上的单调递减区间. (2)在△ABC 中,C> ,若 f(c)=1+ ,2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C) ,求 A.

考点:三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: 利用诱导公式, 倍角公式及辅助角公式, 可将函数 ( f x) 的解析式化为 2sin (2x+ )

+1, (1)根据正弦函数的单调性及 x∈[﹣π,π],可得函数 f(x)在[﹣π,π]上的单调递减区间. (2)由△ABC 中,C> 进而可求出 A. 解答: 解:∵函数 f(x)=2sin ( =2cos x+2 sinxcosx =cos2x+ sin2x+1
2 2

,若 f(c)=1+

,2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C) ,先求出 C,

﹣x)+2

sin(π﹣x)cosx

=2sin(2x+ (1)由 2x+ 2x∈[ 即 x∈[

)+1, ∈[ +2kπ, +2kπ], (k∈Z)得:

+2kπ, +kπ,

+2kπ], (k∈Z) , +kπ], (k∈Z) :

又由 x∈[﹣π,π]得, 函数 f(x)在[﹣π,π]上的单调递减区间为[ (2)由(1)知 f(C)=2sin(2C+ 则 sin(2C+ 又由 C> )= ,故 2C+ , = ,解得:C= )+1=1+ , , ]和[ , ]

又∵2sinB=cos(A﹣C)﹣cos(A+C)=2sinAsinC, ∴sinB=sinAsinC, 即 sin( 即 ﹣A)=sinAsin cosA= . ,

sinA﹣

sinA,

即 cosA=0,则 A=

点评:本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用, 正弦函数的图象和性质, 解三角形, 难度中档. 19.某中学举行了一次“环保知识竞赛”,全校学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩 情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计.请 根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图 (如图所示) 解决下列问题:

(Ⅰ)写出 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 广场参加环保知识的志愿宣传活动,求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率. 考点:频率分布直方图;频率分布表;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (I)利用频率= ×100%,及 表示频率分布直方图的纵坐标即可求出

a,b,x,y; (II)由(I)可知第四组的人数,已知第五组的人数是 2,利用组合的计算公式即可求出从 这 6 人中任选 2 人的种数, 再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况, 利用互斥事件 的概率和古典概型的概率计算公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由题意可知,样本容量= 第四组的频数=50×0.08=4, ∴a=50﹣8﹣20﹣2﹣4=16. y= =0.004,x= × =0.032. =50,∴b= =0.04,

∴a=16,b=0.04,x=0.032,y=0.004. …(8 分) (Ⅱ)由题意可知,第 4 组有 4 人,第 5 组有 2 人,共 6 人.…(9 分) 从竞赛成绩是 8 (0 分) 以上 (含 80 分) 的同学中随机抽取 2 名同学有 C (10 分) 记事件 A:随机抽取的 2 名同学来自同一组,则 P(A)= = .…(13 分) . …(14 分) 表示频率分布直方图的纵坐标、频率之和 =15 种情况. …

所以,随机抽取的 2 名同学来自同一组的概率是 点评:熟练掌握频率= ×100%,及

等于 1、互斥事件的概率、组合的计算公式及古典概型的计算公式是解题的关键. 20.已知函数 f(θ)=﹣sin θ﹣4cosθ+4,g(θ)=m?cosθ (1)对任意的 θ∈[0, ],若 f(θ)≥g(θ)恒成立,求 m 取值范围;
2

(2)对 θ∈[﹣π,π],f(θ)=g(θ)有两个不等实根,求 m 的取值范围. 考点:三角函数的最值. 专题:函数的性质及应用;三角函数的求值. 分析: (1)首先将解析式变形,将对任意的 θ∈[0, cosθ+ ],若 f(θ)≥g(θ)恒成立转为

﹣4≥m 恒成立,只要求函数 f(t)=t+ ﹣4 在(0,1]上的最小值;

(2)将 θ∈[﹣π,π],f(θ)=g(θ)有两个不等实根,转为 cosθ=t,则 f(t)=t+ ﹣4 在[﹣ 1,0) ,和(0,1]上有交点,利用其单调性求 m 的范围. 2 解答: 解:∵函数 f(θ)=﹣sin θ﹣4cosθ+4,g(θ)=m?cosθ (1)对任意的 θ∈[0, ∴cosθ+ ﹣4≥m, ],若 f(θ)≥g(θ)即 cos θ﹣4cosθ+3≥mcosθ,cosθ∈[0,1],
2

∵设 cosθ=t,则 f(t)=t+ ﹣4 在(0,1]上是减函数, ∴函数 f(t)=t+ ﹣4 在(0,1]上的最小值为 f(1)=0, ∴对任意的 θ∈[0, ],若 f(θ)≥g(θ)恒成立,m 取值范围为 m≤0;
2

(2)对 θ∈[﹣π,π],f(θ)=g(θ)有两个不等实根,即 cos θ﹣4cosθ+3=mcosθ 有两个不 等实根,cosθ∈[﹣1,1], ∴cosθ=0 问题不成立,∴两边同除以 cosθ,得 cosθ+ ﹣4=m 有两个不等实根,

设 cosθ=t,则 f(t)=t+ ﹣4 在[﹣1,0) ,和(0,1]上有交点,并且此函数在两个区间上是 减函数, 又函数 f(t)=t+ ﹣4 在, (0,1]上的最小值为 f(1)=0,在[﹣1,0)的最大值为﹣1, ∴要使对 θ∈[﹣π,π],f(θ)=g(θ)有两个不等实根的 m 的范围为 m≥1 或者 m≤﹣1. 点评:本题考查了三角函数的变形以及恒成立问题的解决办法, 注意本题利用换元法将问题 转为对勾函数的最值问题.
2

21.已知 f(x)=x +2x+1﹣sin

π

(Ⅰ)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个 数,求函数 f(x)有零点的概率 (Ⅱ)若 a 是从区间[0,3]中任取的一个数,b 是从区间[0,2]中任取的一个数,求函数 f(x) 有零点的概率. 考点:几何概型;古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析: (Ⅰ)问题等价于 sin π≥0,列举可得基本事件共有 15 个,事件 A 包含 6 个

基本事件,可得概率; (Ⅱ)作出图形,由几何概型的概率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ) 函数 ( f x) =x +2x+1﹣sin 有实根,
2

π 有零点等价于方程 x +2x+1﹣sin

2

π=0

∵x +2x+1≥0,∴sin

2

π≥0
2

记事件 A 为函数 f(x)=x +2x+1﹣sin

π 有零点,

总的基本事件共有 12 个: (0,0) , (0,1) , (0,2) , (1,0) , (1,1) , (1,2) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) ,事件 A 包含 9 个基本事件: (0,0) , (1,0) , (1,1) , (2,0) , (2,1) , (2,2) , (3,0) , (3,1) , (3,2) ,9 个. ∴P(A)= =

(Ⅱ)如图,试验的全部结果所构成的区域为(矩形区域)a 是从区间[0,3]中任取的一个 数,b 是从区间[0,2]中任取的一个数, 函数表示事件 A,所构成的区域为 A={(a,b)|sin 部分. ∴P(A)= = . π≥0 且(a,b)∈Ω}即图中的阴影

点评:本题考查古典概型和几何概型,关键是首先明确概率模型,然后根据根式解答;属中 档题. 22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x +y ﹣12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜 率为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B. (Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ)是否存在常数 k,使得向量 说明理由. 考点:直线和圆的方程的应用;向量的共线定理. 专题:计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)先把圆的方程整理成标准方程,进而求得圆心,设出直线方程代入圆方程整 理后,根据判别式大于 0 求得 k 的范围, 与 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请
2 2

(Ⅱ)A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,根据(1)中的方程和韦达定理可求得 x1+x2 的表达式, 根据直线方程可求得 y1+y2 的表达式,进而根据以 与 共线可推知(x1+x2)=﹣3

(y1+y2) ,进而求得 k,根据(1)k 的范围可知,k 不符合题意. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)圆的方程可写成(x﹣6) +y =4,所以圆心为 Q(6,0) ,过 P(0,2) 且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2. 代入圆方程得 x +(kx+2) ﹣12x+32=0, 2 2 整理得(1+k )x +4(k﹣3)x+36=0. ① 2 2 2 2 直线与圆交于两个不同的点 A,B 等价于△=[4(k﹣3) ]﹣4×36(1+k )=4 (﹣8k ﹣6k) >0, 解得 ,即 k 的取值范围为 . ,
2 2

(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则

由方程①, 又 y1+y2=k(x1+x2)+4. ③ 而 所以 与



. 共线等价于(x1+x2)=﹣3(y1+y2) , . ,故没有符合题意的常数 k.

将②③代入上式,解得 由(Ⅰ)知

点评:本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用. 常需要把直线方程与圆的方程联立, 利 用韦达定理和判别式求得问题的解.


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