当前位置:首页 >> 高中教育 >>

2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-4


第4讲

直线与圆、圆与圆的位置关系

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟)
一、选择题 1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b) A.在圆上 C.在圆内 解析 答案 由 B ( )
2

(

)

B.在圆外 D.以上都有可

能 1 <1,得 a2+b2>1,∴点 P 在圆外. a +b2

2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为 A.x+ 3y-2=0 C.x- 3y+4=0 解析 B.x+ 3y-4=0 D.x- 3y+2=0 3 =- 3, 1-2

易知圆心 C 坐标为(2,0),则 kCP=

3 所以所求切线的斜率为 3 .故切线方程为 3 y- 3= 3 (x-1),即 x- 3y+2=0. 答案 D 3.(2015· 宝鸡模拟)已知圆 O1:(x-a)2+(y-b)2=4,O2:(x-a-1)2+(y-b-2)2 =1(a,b∈R),则两圆的位置关系是 A.内含 解析 B.内切 C.相交 ( D.外切 )

由 O1:(x-a)2+(y-b)2=4 得圆心坐标为(a,b),半径为 2;由 O2:

(x-a-1)2+(y-b-2)2=1 得圆心坐标为(a+1,b+2),半径为 1,所以两圆圆 心之间的距离为|O1O2|= 12+22= 5,因为|2-1|=1< 5<2+1=3,所以两

圆相交,故选 C. 答案 C

4.过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方 程为 A.2x+y-3=0 C.4x-y-3=0 解析 B.2x-y-3=0 D.4x+y-3=0 ( )

1 如图所示:由题意知:AB⊥PC,kPC=2,∴kAB

=-2,∴直线 AB 的方程为 y-1=-2(x-1),即 2x+ y-3=0. 答案 A

5. 若直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 则 k, b 的值分别为 1 A.k=2,b=-4 1 C.k=2,b=4 解析 1 B.k=-2,b=4 1 D.k=-2,b=-4 ( )

因为直线 y=kx 与圆(x-2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对

称,则 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,且 2x+y+b=0 过圆心,所以解得 k= 1 2,b=-4. 答案 A

二、填空题 6.(2015· 青岛质量检测)直线 y=2x+1 被圆 x2+y2=1 截得的弦长为________. 解析 为 d= 答案 圆 x2+y2=1 的圆心 O(0,0),半径 r=1.圆心 O 到直线 y=2x+1 的距离 1 5 2 2 2= 5 ,故弦长为 2 r -d =2 2 +(-1)
2

1 4 5 1- = . 5 5

4 5 5

2 2 7.(2014· 武汉调研)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4}分为两

部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为________. 解析 当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时, 符合条件. 圆心 O 与 P 点连

线的斜率 k=1, 所以直线 OP 垂直于 x+y-2=0. 答案 x+y-2=0

8.(2014· 重庆卷)已知直线 x-y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相 交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为________. 解析 由 x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,

∴圆 C 的圆心坐标为(-1,2),半径为 3. 由 AC⊥BC,知△ABC 为等腰直角三角形, |-1-2+a| 3 2 3 2 所以 C 到直线 AB 的距离 d= 2 ,即 2 2= 2 , 1 +(-1) 所以|a-3|=3,即 a=0 或 a=6. 答案 0或6

三、解答题 9.已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0.若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的 线段长为 4 3,求 l 的方程. 解 如图所示,AB=4 3,D 是 AB 的中点,CD⊥AB,

AD=2 3,圆 x2+y2+4x-12y+24=0 可化为(x+2)2 +(y-6)2=16,圆心 C(-2,6),半径 r=4,故 AC=4, 在 Rt△ACD 中,可得 CD=2. 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k,则直线 l 的方程 为 y-5=kx,即 kx-y+5=0, 由点 C 到直线 AB 的距离公式,得 3 解得 k=4. 此时直线 l 的方程为 3x-4y+20=0; 当直线 l 的斜率不存在时,方程为 x=0, 则 y2-12y+24=0,∴y1=6+2 3,y2=6-2 3, ∴|y2-y1|=4 3,故 x=0 满足题意; |-2k-6+5| =2, k2+(-1)2

∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0 或 x=0. 10.已知直线 l:y=kx+1,圆 C:(x-1)2+(y+1)2=12. (1)试证明:不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的最短弦长. 法一 (1)证明 ?y=kx+1, 由? 2 2 ?(x-1) +(y+1) =12,

消去 y 得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0, 因为 Δ=(2-4k)2+28(k2+1)>0, 所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 设直线与圆交于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 则直线 l 被圆 C 截得的弦长|AB|= 1+k2|x1-x2| =2 8-4k+11k2 =2 1+k2 11- 4k+3 , 1+k2

令 t=

4k+3 ,则 tk2-4k+(t-3)=0, 1+k2

3 当 t=0 时,k=-4,当 t≠0 时,因为 k∈R, 所以 Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且 t≠0, 故 t= 4k+3 的最大值为 4,此时|AB|最小为 2 7. 1+k2 (1)证明 圆心 C(1, -1)到直线 l 的距离 d= |k+2| , 圆 C 的半径 R=2 3, 1+k2

法二

k2+4k+4 11k2-4k+8 R2-d2=12- = ,而在 S=11k2-4k+8 中, 1+k2 1+k2 Δ =(-4)2-4×11×8<0, 故 11k2-4k+8>0 对 k∈R 恒成立, 所以 R2-d2>0,即 d<R,所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识, 知|AB|=2 R -d =2
2 2

8-4k+11k2 ,下同法一. 1+k2

法三

(1)证明

因为不论 k 为何实数,直线 l 总过点 P(0,1),而|PC|= 5<2 3

=R,所以点 P(0,1)在圆 C 的内部,即不论 k 为何实数,直线 l 总经过圆 C 内 部的定点 P.所以不论 k 为何实数,直线 l 和圆 C 总有两个交点. (2)解 由平面几何知识知过圆内定点 P(0,1)的弦,只有和 PC(C 为圆心)垂直 时才最短,而此时点 P(0,1)为弦 AB 的中点,由勾股定理,知|AB|=2 12-5= 2 7, 即直线 l 被圆 C 截得的最短弦长为 2 7.

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) 11.已知圆 C1:(x-a)2+(y+2)2=4 与圆 C2:(x+b)2+(y+2)2=1 相外切,则 ab 的最大值为 6 A. 2 解析 3 B.2 9 C.4 D.2 3 ( )

由两圆相外切可得圆心(a,-2),(-b,-2)之间的距离等于两圆半径之

9 9 和,即(a+b)2=9=a2+b2+2ab≥4ab,所以 ab≤ ,即 ab 的最大值是 (当且仅 4 4 当 a=b 时取等号),故选 C. 答案 C ( )

12.圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 1 的点有 A.1 个 C.3 个 解析 B.2 个 D.4 个 |9+12-11| =2, 5

因为圆心到直线的距离为

又因为圆的半径为 3,所以直线与圆相交,由数 形结合知, 圆上到直线的距离为 1 的点有 3 个. 答案 C

13.已知两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0,C2:x2+y2+2x+2y-8=0,则以两 圆公共弦为直径的圆的方程是________________. 解析 圆 C1 的圆心为(1,-5),半径为 50,圆 C2 的圆心为(-1,-1),半径

为 10,则两圆心连线的直线方程为 2x+y+3=0,由两圆方程作差得公共弦方 程为 x-2y+4=0,两直线的交点(-2,1)即为所求圆的圆心,由垂径定理可以 求得半径为 5,即所求圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5. 答案 (x+2)2+(y-1)2=5

14.(2014· 新课标全国Ⅰ卷)已知点 P(2,2),圆 C:x2+y2-8y=0,过点 P 的动直 线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,线段 AB 的中点为 M,O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求 l 的方程及△POM 的面积. 解 (1)圆 C 的方程可化为 x2+(y-4)2=16,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.

→ =(x,y-4),MP → =(2-x,2-y). 设 M(x,y),则CM → ·MP → =0,故 x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即 由题设知CM (x-1)2+(y-3)2=2. 由于点 P 在圆 C 的内部,所以 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)由(1)可知 M 的轨迹是以点 N(1,3)为圆心, 2为半径的圆.由于|OP|=|OM|, 故 O 在线段 PM 的垂直平分线上,又 P 在圆 N 上,从而 ON⊥PM. 1 因为 ON 的斜率为 3,所以 l 的斜率为-3,故 l 的方程为 x+3y-8=0.又|OM| 4 10 4 10 1 4 10 4 10 =|OP|=2 2, O 到 l 的距离为 5 , 所以|PM|= 5 , S△POM=2× 5 × 5 16 16 = 5 ,故△POM 的面积为 5 .


相关文章:
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面...
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-6_高中教育_教育专区。第6讲 抛物线 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1 1.(...
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面...
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-探究课六_高中教育_教育专区。(建议用时:45 分钟) x2 y2 1.椭圆a2+b2=1(a>b>0)与...
...北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-2
2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-2_高中教育_教育专区。第2讲 两条直线的位置关系基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择...
...北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-6
2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-6_高中教育_教育专区。第6讲 抛物线 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1 1.(...
...北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-7
2016届 数学一轮(理科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-7_高中教育_教育专区。第7讲 双曲线 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 x2 y...
...2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 ...
【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-2_高中教育_教育专区。第2讲 两条直线的位置关系 基础巩固题组 (建议用时:40 ...
...2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 ...
【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-5_高中教育_教育专区。第5讲 椭圆 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择...
...2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 ...
【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-探究课六 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。【创新设计】2016届 数学...
...2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 ...
【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-3_高中教育_教育专区。第3讲 圆与圆的方程 基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) ...
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面...
2016届 数学一轮(文科) 北师大版 课时作业 第九章 平面解析几何-阶段回扣练9_高中教育_教育专区。阶段回扣练 9 平面解析几何 (建议用时:90 分钟) 一、选择题...
更多相关标签:
高考文科数学立体几何 | 文科立体几何高考题 | 文科立体几何 | 文科立体几何大题 | 高中文科数学立体几何 | 高三文科立体几何大题 | 立体几何解题技巧文科 | 2016高考文科立体几何 |