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江苏省响水中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题


江苏省响水中学 2014~2015 学年度第二学期高二年级期中考试 数学试题
考生注意: 1.试卷共 4 页,请将试卷的答案写在答题纸上; 2.试卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟。 一、填空题(每小题 5 分,计 70 分) 1.函数 f(x)=x-lnx 的单调减区间为
3 2.若 Cn ? 10 ,则 n=



;



; ▲ ;
C B A O D E F G

3.5 人站成一排,其中甲、乙两人一定要相邻的站法种数为 4.设随机变量 X ~ B(6, ), 则 P(X=3)= 5.已知 f(x)=tanx,则 f ?( ) = ▲

1 2



;

?

3



6.如图,A,B,C 三点与 D,E,F,G 四点分别在一个 以 O 为顶点的角的不同的两边上,则在 A,B,C,D, E,F,G,O 这 8 个点中任选三个点作为三角形的三个 顶点,可构成的三角形的个数为 ▲ ;

第 6 题图 ;

7.若函数 f(x)的导函数为 f ?( x ) ,且满足 f ( x) ? 3x2 ? 2 xf ?(2) ,则 f ?(5) = ▲
2 2 2 2 8.计算: C3 = ? C4 ? C5 ????? C11
3 2



(结果用数字作答) ;

9.若函数 f ( x) ? x ? x ? mx ? 1 是 R 上的单调增函数,则 m 的取值范围是 ▲ ; 10.设随机变量 X 的概率分布为 P(X=2k)=ak(a 为常数,k=1,2,3,4,5),则 P(X>6)=▲ ; 11.8 名同学合影,站成了前排 2 人,后排 6 人的队形,现摄影师要从后排 6 人中抽 2 人调整 到前排,若其他人相对顺序不变,则不同的调整方法的种数为 ▲
3 2



12.已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a) x ? a(a ? 2) x (a ? R) 在区间(-2,2)不单调,则 a 的取值 范围是 ▲ ;

1 3 x ? x 在(a,10- a 2 )上有最大值,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 3 x x x 2 * 14.记 (1 ? )(1 ? 2 ) ??? (1 ? n ) ( n ? N , n ? 2 )展开式中,x 的系数为 an , x 的系数为 bn , 2 2 2
13.函数 f ( x) ? ? 则

b2014 ? b2015 ? ▲ a2014



二、解答题(15、16、17 题每题 14 分,18、19、20 题每题 16 分,计 90 分) 15. (本小题满分 14 分)
1

已知函数 f(x)= x ? 2a ln x .
2

(1)若函数 f(x)在 x=1 处的切线的斜率为 3,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上为增函数,求 a 的取值范围。

16. (本小题满分 14 分) 将四个编号为 1,2,3,4 的相同小球放入编号为 1,2,3,4 的四个盒子中, (1)若每个盒子放一个小球,求有多少种放法; (2)若每个盒子放一球,求恰有 1 个盒子的号码与小球的号码相同的放法种数; (3)求恰有一个空盒子的放法种数。

17. (本小题满分 1 4 分) 已知 (1 ? 3x ) 的展开式中 ,各项系数和比它的二项式系数和大 992,
2 n

(1)求 n 值; (2)求展开式中系数最大项。

18. (本小题满分 16 分) 袋中有大小相同 的三个球,编号分别为 1,2,3.从袋中每次取出一个球,若取到的球的编号为
2

2,则把该球编号记下再把编号数改为 1 后放回袋中继续取球;若取到球的编号为奇数,则 取球停止,取球停止后用 X 表示“所有被取球的编号之和” 。 (1)求 X 的概率分布; (2)求 X 的数学期望及方差.

19. (本小题满分 16 分)
2 n * 已知: ? 2 x ? 1? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? an x ( n ? N ,n 为常数). n

(1)求 a0 ? a1 ? a2 ? ... ? an ;
0 1 2 2 n n (2)我们知道二项式 (1 ? x) 的展开式 (1 ? x)n ? Cn ? Cn x ? Cn x ???? ? Cn x .若该等 式两边
n



x

求 导 得 : n(1 ? x)

n ?1

1 2 3 2 n n?1 = Cn , 令 ? 2Cn x ? 3Cn x ??? ?nCn x

x=1 , 可 得

n ?1 1 2 3 n = n ? 2 .利用此方法解答以下问题: Cn ? 2Cn ? 3Cn ??? ?nCn

①求 1a1 ? 2a2 +3a3 ? ... ? nan ; ②求 12 a1 ? 22 a2 ? 32 a3 ? ... ? n2an .

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f(x)= ln x ?

m ,m? R . x
3

(1)m=2 时,求 f(x)在区间 ?1, e? 上的最大值;

f (b) ? f (a ) ? 1 恒成立,求实数 m 的取值范围。 b?a x (3)讨论函数 g(x)= f ?( x) ? 零点的个数; 3
(2)若对任意 b>a>0,

4

高二年级期中考试数学试卷参考答案 一、 填空题 1.(0,1) (注 : (0,1]一样得分) 2. 5 3. 48 4.

5 16 1 , 4) 2

5. 4

6. 42 7. 6 8.

219 9. [ , ??)

1 3

10.

3 5

11.180

12. (?8, ? ) ? (?

1 2

13. [-2,1)

14.

-

1 2
2015

二、解答题 15.解: (1)∵ f ?( x ) ? ? (2)由题 f ?( x) ? ?

2a ? 2 x ,所以有-2a+ 2=3,∴a=-1???????????7 分 x

2a ? 2 x ? 0 在[1,2]恒成立,∴a ? 1 ????????????14 分 x

4 1 16.解:由题意: (1) A4 ? 24 种 ?????4 分 (2) C4 ? 2 =8 种;???????9 分 1 2 3 (3) C4 ? C4 A3 ? 144 种??????14 分

17.解: (1)由题意: 4 ? 2 ? 992 ,所以 n=5?????????6 分
n n

r r r ?1 r ?1 ? 9 ?C5 3 ? C5 3 (2)设第 r+1 项系数最大,则 ? r r ,解得 4 ? r ? ,所以第 5 项系数最大,第 r ?1 r ?1 2 ? ?C5 3 ? C5 3

4 5 项为 C5 (3x2 )4 ,即为 405x ???????????14 分

8

(注: (2)问若直接展开得出结果,同样给分.) 18.解: (1)X 的可取值为 1,3,5. ???????2 分 则 P(X=1)=

1 1 1 2 5 1 1 1 ,P(X=3)= ? ? ? ,P(X=5)= ? ? ∴X 的概率分布为: 3 3 3 3 9 3 3 9
P X 1 3 5

1 3

5 9

1 9
????????????10 分

(2)E(X)= 1 ? ? 3 ?

1 5 1 23 ? 5? ? ????????13 分 3 9 9 9 23 2 128 2 1 2 5 2 1 V (X)= 1 ? ? 3 ? ? 5 ? ? ( ) ? ????????16 分 3 9 9 9 81
n

19. 解 :( 1 ) a0 ? a1 ? a3 ? ... ? an 即 为 ( 2 x ? 1 )的 各 项 系 数 和 , 令 x=1, 则

5

a0 ? a1 ? a3 ? ... ? an = 3n ;????????4 分
(2) 对 等 式 两 边 求 导 得 : 2n(2x ?1)n?1 ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ? ... ? nan xn?1 . 令 x=1 得

1a1 ? 2a2 +3a3 ? ... ? nan =2n. ??????????10 分
(3) 将 2n(2x ?1)n?1 ? a1 ? 2a2 x ? 3a3 x2 ? ... ? nan xn?1 两边同乘 x 得 2n(2 x ?1)n?1 x ?

a1x ? 2a2 x2 ? 3a3 x3 ? ... ? nan xn ,两边再对 x 求导: 2n[2(n ?1)(2 x ?1)n?2 x ? (2 x ?1)n?1 ] ? a1 ? 22 a2 x1 ? 32 a3 x2 ? ... ? n2an xn?1 ,令 x=1 得 12 a1 ? 22 a2 ? 32 a3 ? ... ? n2an = 4n 2 ? 2n .
????????????????16 分 20.解: (1)由 m=2 得: f ?( x) ? 又 f(1 )=2,f(e)= 1 ?

1 1 x?2 ? ? 2 ,所以 f(x)在[1,2]递减,在[2,e]递增。 x x2 x

2 <2.所以 f(x)的最大值为 2.??????4 分 e

(2)由题:f(b)-b< f(a)-a,则构造函数 F(x)=f(x)-x 在上单调递减,所以 F ?( x) ? 0 在

1 .???????10 分 4 1 3 1 3 2 (3)令 g(x)=0,则得到 m= ? x ? x ,结合 y= ? x ? x 图像得:m= 或 m ? 0 时,g(x)零点 3 3 3 2 2 个数为 1;m> 时,g(x)的零点个数为 0,0<m< 时,零点个数为 2. ??????16 分 3 3

(0, ??) 上恒成立,解得 m ?

6


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