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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 小题分类补偿练2 文


补偿练 2
一、选择题 1.已知函数 f (x)= A.{x|x>-1} C.{x|-1<x<1}

函数与导数

(限时:40 分钟)

的定义域为 M,g(x)=ln(1+x)的定义域为 N,则 M∩N=( 1-x B.{x|x<1} D.?

1

)
<

br />解析 ∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量 x 的取值范围, ∴由 1-x>0 求得函数的定义域 M={x|x<1}, 由 1+x>0,得 N={x|x>-1}, ∴M∩N={x|-1<x<1}. 答案 C 2.设函数 f A.-1 C.2
? (x≤0), ?2 (x)=? 则f ?log2x (x>0), ?
x

?f?1??的值是( ? ?2?? ? ? ??

)

1 B. 2 D.4

1 ?1? 解析 f ? ?=log2 =-1, 2 ?2? 1 ? ?1?? -1 ∴f ?f ? ??=f (-1)=2 = . 2 ? ?2?? 答案 B 3.函数 f (x)=ln x+x -9 的零点所在的区间为( A.(0,1) B.(1,2)
3 3

) D.(3,4)

C.(2,3)

解析 由于函数 f (x)=ln x+x -9 在(0,+∞)上是增函数,f (2)=ln 2-1<0,f (3) =ln 3>0,故函数 f (x)=ln x+x -9 在区间(2,3)上有唯一的零点. 答案 C 4.f(x)是 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f (x)=x +ln(1+x),则当 x<0 时,f(x)=( A.-x -ln(1-x) C.x -ln(1-x)
3 3 3 3

)

B.x +ln(1-x) D.-x +ln(1-x)
3 3

3

解析 当 x<0 时,-x>0,f (-x)=(-x) +ln(1-x), ∵f (x)是 R 上的奇函数, ∴x<0 时,f (x)=-f (-x)=-[(-x) +ln(1-x)], ∴f (x)=x -ln(1-x). 答案 C
1
3 3

5.已知函数 f

? ?x ,x∈[0,+∞), (x)=? 3 在区间(-∞,+∞)上是增函数,则常 2 ? ?x +a -3a+2,x∈(-∞,0)

2

数 a 的取值范围是( A.(1,2) C.[1,2]
2 3

) B.(-∞,1]∪[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞)
?x ,x∈[0,+∞), ? ? ?x +a -3a+2,x∈(-∞,0),
2

解析 由于 f (x)=?

且 f (x)在区间(-∞,+∞)上是增函数, 则当 x≥0 时,y=x 显然递增; 当 x<0 时,y=x +a -3a+2 的导数为 y′=3x ≥0,则递增;由 f (x)在 R 上单调递增, 则 0 ≥0 +a -3a+2,即 a -3a+2≤0,解得 1≤a≤2. 答案 C 6.已知 f (x)是定义在 R 上的奇函数,且在(0,+∞)内有 1 007 个零点,则 f (x)的零点共 有( ) B.2 013 个 D.2 015 个
2 3 2 2 3 2 2 2

A.1 007 个 C.2 014 个

解析 因为已知 f (x)是定义域为 R 的奇函数,故函数的图象关于原点对称,再由函数在 (0,+∞)内有 1 007 个零点,可得函数在(-∞,0)内也有 1 007 个零点,再根据 f (0) =0,可得函数的零点个数为 1 007+1 007+1=2 015. 答案 D 7.定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (-x)=-f (x),f (x)=f (x+4),且 x∈(-1,0)时,

f (x)=2x+ ,则 f (log220)=(
A.1 4 B. 5 C.-1

1 5

) 4 D.- 5

解析 ∵定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (-x)=-f (x), ∴函数 f (x)为奇函数, 又∵f (x)=f (x+4). ∴函数 f (x)为周期为 4 的周期函数, 又∵log232>log220>log216, ∴4<log220<5, 5? ? ∴f (log220)=f (log220-4)=f ?log2 ? 4

?

?

5? 4? ? ? =-f ?-log2 ?=-f ?log2 ?, 4 5? ? ? ?

2

4? 1 ? x 又∵x∈(-1,0)时,f (x)=2 + ,∴f ?log2 ?=1, 5? 5 ? 故 f (log220)=-1. 答案 C

x 1 8.已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐标为( 4 2
A.3 B.2 C.1 1 D. 2

2

)

解析 令切点坐标为(x0,y0),且 x0>0, 1 3 ∵y′= x- , 2 x 1 3 1 ∴k= x0- =- ,∴x0=2. 2 x0 2 答案 B 9.设函数 f (x)=xe ,则( A.x=1 为 f (x)的极大值点 B.x=1 为 f (x)的极小值点 C.x=-1 为 f (x)的极大值点 D.x=-1 为 f (x)的极小值点 解析 f ′(x)=e +xe =(1+x)e , 当 x>-1 时,f ′(x)>0,函数 f (x)递增, 当 x<-1 时,f ′(x)<0,函数 f (x)递减, 所以当 x=-1 时,f (x)有极小值. 答案 D 10.已知函数 f (x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数,函数 g(x)=x -aln 为增函数,则 a 的值等于( A.1 B.2
2 2 2

x

)

x

x

x

x 在(1,2)上

) C.0 D. 2

解析 ∵函数 f (x)=x -ax+3 在(0,1)上为减函数, ∴ ≥1,得 a≥2. 2 又∵g′(x)=2x- ,依题意 g′(x)≥0 在 x∈(1,2)上恒成立,得 2x ≥a 在 x∈(1,2) 上恒成立,有 a≤2,∴a=2. 答案 B 11.已知定义在 R 上的函数 f (x)满足 f (-3)=f (5)=1,f ′(x)为

a

a x

2

f (x)的导函数,且导函数 y=f ′(x)的图象如图所示,则不等式 f
3

(x)<1 的解集是( A.(-3,0) B.(-3,5) C.(0,5)

)

D.(-∞,-3)∪(5,+∞) 解析 由图可知函数 f (x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.因为 f (- 3)=f(5)=1,故不等式 f (x)<1 的解集为(-3,5),故选 B. 答案 B 12.已知定义域为 R 的奇函数 f (x)的导函数为 f ′(x),当 x>0 时,f ′(x)+

f(x) >0, x
)

1 ?1? ? 1? ? 1? 则 a, 若 a= f ? ?, b=-2f (-2), c=?ln ? f ?ln ?, b, c 的大小关系正确的是( 2 ?2? ? 2? ? 2? A.a<c<b C.a<b<c B.b<c<a D.c<a<b

解析 设 h(x)=xf (x),∴h′(x)=f (x)+x·f ′(x), ∵y=f (x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴h(x)是定义在实数集 R 上的偶函数, 当 x>0 时,h′(x)=f (x)+x·f ′(x)>0, ∴此时函数 h(x)单调递增. 1 ?1? ?1? ∵a= f ? ?=h? ?,b=-2f (-2)=2f(2)=h(2), 2 ?2? ?2?

c=?ln ? f ?ln ?=h?ln ?=h(-ln 2)=h(ln 2), 2 2 2

? ?

1?

?

? ?

1?

?

? ?

1?

?

1 又 2>ln 2> ,∴b>c>a. 2 答案 A 二、填空题 13.已知函数 f (x)=?
?-e ?

(x≤0), 若 f(a)=-1,则实数 a 的值为________. ? ?x-2(x>0),
a+1

x+1

解析 若 a≤0,则-e 所述,a=±1. 答案 ±1

=-1,解得 a=-1;若 a>0,则 a-2=-1,解得 a=1.综上

14.已知幂函数 f (x)=x-m

2-2m+3

(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则

f(2)的值为________.
解析 因为幂函数 f (x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,所以-m -2m+3>0,解得
2 2

-3<m<1,因为 m∈Z,所以 m=-2 或-1 或 0.因为幂函数 f (x)为偶函数,所以-m

4

-2m+3 是偶数,当 m=-2 时,-m -2m+3=3,不符合,舍去;当 m=-1 时,-m - 2m+3=4;当 m=0 时,-m -2m+3=3,不符合,舍去. 所以 f (x)=x ,故 f (2)=2 =16. 答案 16 15.设 a 为实数,函数 f (x)=x +ax +(a-3)x 的导函数为 f ′(x),且 f ′(x)是偶函数, 则曲线 y=f (x)在点(2,f (2))处的切线方程为________. 解析 ∵f (x)=x +ax +(a-3)x, ∴f ′(x)=3x +2ax+(a-3),∵f ′(x)是偶函数, ∴3(-x) +2a(-x)+(a-3)=3x +2ax+(a-3),解得 a=0, ∴f (x)=x -3x,f ′(x)=3x -3, 则 f (2)=2,k=f ′(2)=9, 即切点为(2,2),切线的斜率为 9, ∴切线方程为 y-2=9(x-2),即 9x-y-16=0. 答案 9x-y-16=0 16.设边长为 1 m 的正三角形薄铁皮,沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形, (梯形的周长) 记 S= ,则 S 的最小值是________. 梯形的面积 解析 如图所示,设 AD=x m(0<x<1),则 DE=AD=x m, ∴梯形的周长为 x+2(1-x)+1=3-x(m),又 S△ADE= ∴梯形的面积为
2 2 3 2 2 2 2 3 2 3 2 4 4 2

2

2

3 2 2 x (m ), 4

3 3 2 2 - x (m ), 4 4

4 3 x -6x+9 ∴S= × (0<x<1), 2 3 1-x -8 3 (3x-1)(x-3) 1 ? 1? ∴S′= × ,令 S′=0,得 x= 或 3(舍去),当 x∈?0, ?时, 2 2 3 (1-x ) 3 ? 3?

? ? S′<0,S 递减;当 x∈? ,1?时,S′>0,S 递增.故当 x= 时,S 的最小值是
1 ?3

?

1 3

32 3 . 3

答案

32 3 3

5


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