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3.2 导数的计算 教案(人教A版选修1-1)


3.2

导数的计算

3.2.1 几个常用函数的导数

3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

(教师用书独具)

●三维目标 1.知识与技能 (1)熟练掌握基本初等函数的导数公式; (2)掌握导数的四则运算法则. 2.过程与方法 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 3.情感、态度与价值观 通过学习本节课,培养学生对问题的认知能力.由于利用定义求函数的导数非常复杂, 本节课直接给出了几个基本初等函数的导数公式表和导数的运算法则. 学生不用推导而直接 去求一些简单函数的导数,认识事物之间的普遍联系,达到学有所用,在训练中也有加深了 学生对学习数学的兴趣,激发学生将所学知识应用于实际的求知欲,培养浓厚的学习兴趣. ●重点、难点 重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则. 难点:基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.

(教师用书独具)

●教学建议

本节内容是应用导数公式和四则运算法则解决求导数问题, 记住公式和法则是应用的前 提,通过出示不同类型的例题与习题,进行反复的训练与强化是突破重点、难点的关键. ●教学流程 创设问题情境,引出问题:有没有更简洁的求导方法? 引导学生通过导数的定义推导出几个常用函数的导数公式. 通过引导学生回答所提问题导出导数的运算法则. 通过例1及其变式训练,使学生掌握用求导公式求初等函数的导数. 通过例2及其变式训练,使学生掌握用求导公式和导数的运算法则求导. 复习回顾导数的几何意义,完成例3及其变式训练,解决导数的应用问题. 归纳整理,进行课堂小结,整体认识本节课所学知识. 完成当堂双基达标,巩固所学知识并进行反馈矫正. ? ? ? ? ? ? ?

(对应学生用书第 52 页)

1.了解导数公式的推导过程、理解导数的四则运算法则.(难 课标解读 点) 2.掌握几种常见函数的导数公式.(重点) 3.能够运用导数公式和求导法则进行求导运算.(重点)

基本初等函数的导数公式 【问题导思】 1.用导数的定义求导数的步骤是怎样的? 【提示】 ①求函数值的变化量; ②求平均变化率; ③取极值,得导数. 2.我们发现,用导数的定义求导数很复杂,能不能总结出常用函数的求导公式呢?

【提示】 能. 基本初等函数的导数公式

原函数 f(x)=c f(x)=xα(α∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x

导函数 f′(x)=0 f′(x)=α· xα
-1

f′(x)=cos_x f′(x)=-sin_x

续表 原函数 f(x)=ax f(x)=ex f(x)=logax f(x)=ln x 导函数 f′(x)=axln_a(a>0 且 a≠1) f′(x)=ex 1 f′(x)= (a>0 且 a≠1) xln a 1 f′(x)= x

导数的运算法则 【问题导思】 一个函数可以求其导数,那么两个函数加、减、乘、除能求导吗? 【提示】 能. 设两个函数 f(x),g(x)可导,则 和的 导数 差的 导数 积的 导数 商的 导数 [f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) [f(x)-g(x)]′=f′(x)-g′(x) [f(x)+g(x)]′=f′(x)+g′(x)

? f?x? ?′=f′?x?g?x?-f?x?g′?x?(g(x)≠0) ?g?x?? [g?x?]2

(对应学生用书第 53 页)

用求导公式求函数的导数 求下列函数的导数 (1)y=x8 (4)y=2x 1 (2)y= 4 x 3 (3)y= x

(5)y=log2x (6)y=cos x

【思路探究】 (1)以上函数分别是什么类型的函数? (2)这种函数的求导公式是怎样的? 【自主解答】 (1)y′=(x8)′=8x8 1=8x7.


1 - - (2)y′=( 4)′=(x 4)′=-4x 5. x 1 1 1 1 2 3 (3)y′=( x)′=(x )′= x -1= x- . 3 3 3 3 3 (4)y′=(2x)′=2xln 2. 1 (5)y′=(log2x)′= . xln 2 (6)y′=(cos x)′=-sin x.

1.基本初等函数的求导公式是求导数基本依据,一定要记清形式,学会使用公式求导. 1 n 2.对于形如 y= p,y= x的函数一般先转化为幂函数的形式,再用幂函数的求导公式 x 求导. 3.要区分指数函数、对数函数的求导公式,以免在运用时混淆.

求下列函数的导数; (1)y=10;(2)y=x10; 1 3 (3)y= x2;(4)y= ; 3 2 x (5)y=3x;(6)y=log3x.

【解】 (1)y′=(10)′=0 (2)y′=(x10)′=10x10 1=10x9.


2 2 2 2 1 2 (3)y′=(x )′= x -1= x- = . 3 3 3 3 3 3 3 x 2 2 2 2 5 2 (4)y′=(x- )′=- x- -1=- x- =- . 3 3 3 3 3 3 5 3 x (5)y′=(3x)′=3xln 3. 1 (6)y′=(log3x)′= . xln 3 用求导公式和导数运算法则求导 求下列函数的导数: (1)f(x)=(x+2)(x-3);(2)f(x)=lg x-3x; (3)f(x)= 1 1 sin x + ;(4)f(x)= . 1+sin x 1- x 1+ x

【思路探究】

【自主解答】 (1)∵f(x)=x2-x-6, ∴f′(x)=(x2-x-6)′=2x-1. (2)f′(x)=(lg x)′-(3x)′= 1 -3xln 3. x· ln 10

1+ x+1- x 1 1 2 (3)y= + = = , 1- x 1+ x ?1- x??1+ x? 1-x -2?1-x?′ 2 2 ∴y′=( )′= = . 2 1-x ?1-x? ?1-x?2 sin x 1 (4)∵f(x)= =1- , 1+sin x 1+sin x 1 ∴f′(x)=1′-( )′ 1+sin x -?1+sin x?′ cos x =- = . ?1+sin x?2 ?1+sin x?2

1.应用导数运算法则求函数的导数的技巧: (1)求导之前,对三角恒等式先进行化简,然后再求导,这样既减少了计算量,又可少 出错. (2)利用代数恒等变形可以避开对商的形式求导.

(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展 开成多项式,再求导. 2.应用导数运算法则求函数的导数的原则: 结合函数解析式的特点先进行恒等变形,把一个函数化成几个基本初等函数的加、减、 乘、除运算,再套运算法则.

求下列函数的导数: (1)y=x5-3x3-5x2+6; (2)y=(2x2+3)(3x-2); x-1 (3)y= ; x+1 x x (4)y=-sin (1-2cos2 ). 2 4

【解】 (1)y′=(x5-3x3-5x2+6)′ =(x5)′-(3x3)′-(5x2)′+6′ =5x4-9x2-10x. (2)法一 y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′ =4x(3x-2)+3(2x2+3)=18x2-8x+9. 法二 ∵y=(2x2+3)(3x-2)=6x3-4x2+9x-6, ∴y′=18x2-8x+9. x-1 ?x-1?′?x+1?-?x-1??x+1?′ (3)法一 y′=( )′= x+1 ?x+1?2 = ?x+1?-?x-1? 2 = . ?x+1?2 ?x+1?2

x-1 x+1-2 2 法二 ∵y= = =1- , x+1 x+1 x+1 ∴y′=(1- 2 2 )′=(- )′ x+1 x+1

2′?x+1?-2?x+1?′ 2 =- = . ?x+1?2 ?x+1?2 x x x x 1 1 1 1 (4)y=-sin (1-2cos2 )=-sin (-cos )= sin x,y′=( sin x)′= (sin x)′= cos x. 2 4 2 2 2 2 2 2 导数的应用 在抛物线 y=-x2 上求一点,使之到直线 4x+3y-8=0 的距离最小. 【思路探究】 (1)平行于直线 4x+3y-8=0 且与抛物线相切的直线与抛物线 y=-x2 的切点是否满足题意? (2)该切点的坐标如何求出? 【自主解答】 如图所示,由题意知作与 4x+3y-8=0 平行的直线 l,当 l 与 y=-x2 相切时,切点 P 到直线 4x+3y-8=0 的距离最小.

2 设切点为(x0,-x2 0),又 y′=(-x )′=-2x,

4 2 4 ∴-2x0=- ,∴x0= ,y0=-x2 0=- , 3 3 9

2 4 ∴点 P( ,- ), 3 9 2 4 即抛物线 y=-x2 上的点( ,- )到直线的距离最小. 3 9

利用导数的四则运算法则和基本初等函数的求导公式, 结合导数的几何意义, 可以求解 一些与距离、面积有关的几何问题,解题的关键是正确运用曲线的切线. 已知点 P 是曲线 y=x2-ln x 上一点,求点 P 到直线 y=x-2 的最小距离. 【解】 过 p 作 y=x-2 的平行直线,且与曲线 y=x2-ln x 相切,设 P(x0,x2 0-ln x0), |1-1-2| 1 1 则 k=y′|x=x0=2x0- =1, ∴x0=1 或 x0=- (舍去), ∴p 的坐标为(1,1), ∴dmin= x0 2 1+1 = 2.

(对应学生用书第 54 页)

因公式记忆不准确致误 求函数 y=sin x-cos x 的导数. 【错解】 y′=(sin x)′-(cos x)′=cos x-sin x 【错因分析】 (cos x)′=-sin x,错解中因漏掉负号致误. 【防范措施】 应熟记基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则, 以防因记忆不 牢而致误. 【正解】 y′=(sin x)′-(cos x)′=cos x+sin x.

本堂课的主要内容是利用基本初等函数的求导公式和导数的运算法则求导数的运算.在运 算中,熟记有关的求导公式是关键,但对运算法则更应熟练掌握,特别是对商的运算,应 与 积 的 运 算 予 以 区 别 记 忆 , 同 时 也 要 注 意 它 们 之 间 的 联 系 .

(对应学生用书第 54 页)

1 1.已知函数 f(x)= ,则 f′(-3)等于( x A.4 1 B. 9 C.- 1 4

)

1 D.- 9

1 1 1 1 【解析】 ∵( )′=- 2,∴f′(-3)=- =- . x x 9 ?-3?2 【答案】 D 2.下列各式中正确的是( A.(ln x)′=x C.(sin x)′=cos x ) B.(cos x)′=sin x 1 - - D.(x 5)′=- x 6 5

1 5 - - - 【解析】 ∵(ln x)′= ,(cos x)′=-sin x,(x 5)′=-5x 5 1=- 6,∴A、B、D 均 x x 不正确;C 正确. 【答案】 C 3.下列求导正确的是( 1 1 A.(x+ )′=1+ 2 x x )

1 B.(log2x)′= xln 2 1 C.(3x+ln 3)′=3x· ln 3+ 3 D.(x2cos x)′=-2xsin x 1? 1 ?1? 【解析】 ? ?x+x?′=1+? x?′=1-x2,A 不正确. (3x+ln 3)′=(3x)′+(ln 3)′=3xln 3,C 不正确. (x2cos x)′=2xcos x-x2sin x,D 不正确. 【答案】 B x 4.求曲线 y= 在点(1,-1)处的切线方程. x-2 -2 x 【解】 y′=( )′= . x-2 ?x-2?2 ∴k=y′|x=1=-2 ∴ 切 线 方 程 为 0. y + 1 = - 2(x - 1) , 即 2x + y - 1 =

(对应学生用书第 107 页)

一、选择题 1.(2013· 普宁高二检测)设函数 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=( A.e2 B.e ln 2 C. 2 D.ln 2 )

【解析】 ∵f′(x)=ln x+1,∴f′(x0)=ln x0+1=2. ∴lnx0=1,x0=e. 【答案】 B 2.(2013· 广元高二检测)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为( A.x+3y-3=0 C.3x+y-1=0 【解析】 y′=ex+xex+2,∴y′|x=0=3=k. ∴曲线在点(0,1)处的切线方程为 y-1=3x,即 3x-y+1=0. 【答案】 B )

B.3x-y+1=0 D.x-3y+3=0

3.设曲线 y=ax2 在(1,a)处的切线与直线 2x-y-6=0 平行,则 a 等于( 1 A.1 B. 2 1 C.- 2 D.-1

)

【解析】 y′=2ax,∴在点(1,a)处切线的斜率 k=y′|x=1=2a. 由题意可得 2a=2,∴a=1.故选 A. 【答案】 A x 4.函数 y= 的导数是( 1-cos x )

1-cos x-sin x 1-cos x-xsin x A. B. 1-cos x ?1-cos x?2 1-cos x-sin x 1-cos x+xsin x C. D. ?1-cos x?2 ?1-cos x?2 x′?1-cos x?-x?1-cos x?′ 1-cos x-xsin x 【解析】 y′= = . ?1-cos x?2 ?1-cos x?2 【答案】 B sin θ 3 3cos θ 2 5π 5.设函数 f(x)= x+ x +tan θ,其中 θ∈[0, ],则导数 f′(1)的取值范围 3 2 12 是( ) A.[-2,2] C.[ 3,2] 【解析】 f′(x)=x2sin θ+ 3xcos θ, π ∴f′(1)=sin θ+ 3cos θ=2sin(θ+ ), 3 5π π 2 ∵θ∈[0, ],∴sin(θ+ )∈[ ,1], 12 3 2 ∴f′(1)∈[ 2,2]. 【答案】 D 二、填空题 6.设函数 f(x)=x3-2x2+x+5,则 f′(1)=________. 【解析】 ∵f′(x)=3x2-4x+1,∴f′(1)=3×12-4×1+1=0. 【答案】 0 7. (2013· 张家港高二检测)设函数 f(x)=(x-a)(x-b)(x-c), (a, b, c 是两两不等的常数), 则 a b c + + =________. f′?a? f′?b? f′?c? 【解析】 ∵f′(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a),代入即得 a b c + + f′?a? f′?b? f′?c? B.[ 2, 3] D.[ 2,2]

= = =

a b c + + ?a-b??a-c? ?b-c??b-a? ?c-a??c-b? -a?b-c?-b?c-a?-c?a-b? ?a-b??b-c??c-a? -ab+ac-bc+ab-ac+bc =0. ?a-b??b-c??c-a?

【答案】 0 8. (2013· 重庆高二检测)设曲线 y=xn 1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标


为 xn,令 an=lg xn,则 a1+a2+…+a99 的值为________. 【解析】 ∵f′(1)=n+1,∴y=xn n y=0,得 xn= , n+1 ∴an=lg n-lg(n+1), ∴a1+a2+…+a99=lg 1-lg 100=-2. 【答案】 -2 三、解答题 9.求下列函数的导数. x x (1)y=x-sin · cos ; 2 2 (2)y= 1 · cos x. x
+1

在点(1,1)处的切线方程为 y=(n+1)(x-1)+1.令

x x 1 【解】 (1)∵y=x-sin · cos =x- sin x, 2 2 2 1 ∴y′=1- cos x. 2 (2)y′=? 1

? x

· cos x?′=?

?

1? 1 ′cos x+ (cos x)′ ? x? x

1 1 1 3 1 x- ?′cos x- sin x=- x- cos x- sin x =? 2 ? ? 2 2 x x cos x+2xsin x cos x 1 =- sin x=- . 3- 2 x x 2x x aln x b 10.已知函数 f(x)= + ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 x+2y-3=0, x+1 x 求 a,b 的值. x+1 ? a? ? x -ln x? b 【解】 (1)f′(x)= - 2. x ?x+1?2

f?1?=1, ? ? 1 由于直线 x+2y-3=0 的斜率为- , 且过点(1,1), 故? 1 2 ? ?f′?1?=-2,
? ?a=1, 解得? ? ?b=1.

b=1, ? ? 即?a 1 ? ?2-b=-2.

所以 a=1,b=1. b 11.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)求证曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为 定值,并求此定值. 7 【解】 (1)7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 当 x=2 时,y= . 2

?2a-2=2, b 又 f′(x)=a+ ,于是? x b 7 ?a+4=4,
2

b 1

解得?

?a=1, ? ? ?b=3.

3 故 f(x)=x- . x 3 (2)【证明】 设点 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2可知曲线 y=f(x)在点 P(x0, x 3 3 3 y0)处的切线方程为 y-y0=(1+ 2)(x-x0),即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 x0 6 6 令 x=0,得 y=- ,从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ).令 y=x,得 y x0 x0 =x=2x0,从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1 ? 6? - · 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 · |2x |=6. 2 ? x0? 0

故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 围成的三角形的面积为定值,此定值为 6.

(教师用书独具)

设 f0(x)=sin x, f1(x)=f′0(x), f2(x)=f′1(x), …, fn+1(x)=f′n(x), n∈N, 则 f2 011(x)=( A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x

)

【解析】 f1(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=(-cos x)′=sin x,f5(x)=(sin x)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,fn+4(x)=fn(x),可知周期为 4. ∴f2 011(x)=f3(x)=-cos x. 【答案】 D 已知 f1(x)=sin x+cos x, 记 f2(x)=f1′(x), f3(x)=f2′(x), …, fn(x)=fn-1′(x)(n∈N*, n≥2), π π π 则 f1( )+f2( )+…+f2 011( )=________. 2 2 2 【解析】 f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x). 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, π π π ∴f1( )+f2( )+…+f2 011( ) 2 2 2 π π π π =f1( )+f2( )+f3( )=-f4( ) 2 2 2 2 π π =cos -sin =-1. 2 2 【答案】 -1



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