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求递推数列通项公式的十种策略例析


求递推数列通项公式的十种策略例析
递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的 策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决, 亦可采用不完全归纳法的方法, 由特 殊情形推导出一般情形, 进而用数学归纳法加以证明, 因而求递推数列的通项公式问题成为 了高考命题中颇受青睐的考查内容。 笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略, 它们 是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、 不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出 通项公式的关键。 一、利用公式法求通项公式 例 1 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ,得 故数列 {

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a ?1 a n 3 3 ? ? , ,则 n 2 2 n ?1 2 n 2

a an 2 3 ? ? 1 为首,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 } 是以 1 1 2 2n 2 2 3 3 1 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2 2 a n ?1 2
n ?1

an 2
n

? 1 ? ( n ? 1)

2 3 列 { n } 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 n ? 1 ? ( n ? 1) ,进而求出数 2 2 2 { a } 列 n 的通项公式。 an an
二、利用累加法求通项公式

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 转化为

?

an
n

?

3 ,说明数 2

,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 例 2 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1
解:由 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[( n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 (n ? 1)n ? 2? ? (n ? 1) ? 1 2
所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 2 评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 转化为 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 ,进而 求出 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项公式。

例 3 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

解:由 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3n ?1 ? 1) ? (2 ? 3n ?2 ? 1) ? ? ? (2 ? 32 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3n ?1 ? 3n ?2 ? ? ? 32 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3

评注:本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 转化为 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3n ? 1 , 进而求出 (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项 公式。

例 4 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 ,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 两边除以 3 n ?1 ,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

? an 3
n

2 1 ? n ?1 , 3 3 ? 2 1 ? n ?1 , 3 3

则 故

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

?(

an 3
n

?

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1)? 1 ?2 ?2 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ? 2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ? 2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2

评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3n ? 1 转 化 为 a n ?1 a n 2 a n a n ?1 a n ?1 a n ? 2 a n ? 2 a n ?3 1 ? n ? ? n ?1 , 进 而 求 出 ( n ? n ?1 ) ? ( n ? n ?2 ) ? ( n ? ) + … n ?1 ?1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ? 2 3 n ?3 a 2 a1 a an ? 1 ) ? 1 ,即得数列 { n } 的通项公式,最后再求数列 {a n } 的通项公式。 +( 2 3 3 3 3 三、利用累乘法求通项公式 例 5 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

解:因为 a n ?1 ? 2(n ? 1)5n ? a n,a 1 ? 3 ,所以 a n ? 0 ,则 则an ?

a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n , an

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

???

a3 a2

?

a2 a1

? a1

? [2(n ? 1 ? 1)5n ?1 ] ? [2(n ? 2 ? 1)5n ?2 ]?[2 ? (2 ? 1) ? 52 ] ? [2 ? (1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2 n ?1 ? [n ? (n ? 1) ? ?? 3 ? 2] ? 5( n ?1)?( n ?2)???2?1 ? 3
所以数列 {a n } 的通项公式为

an ? 3? 2

n ?1

n ( n ?1) ?5 2

? n!
a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ,进而 an

评注:本题解题的关键是把递推关系 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n 转化为 求出

a a a n a n ?1 ? ? ? ? 3 ? 2 ? a 1 ,即得数列 {a n } 的通项公式。 a n ?1 a n ?2 a 2 a1

,a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1) 例 6 (2004 年全国 15 题)已知数列 {a n } 满足 a 1 ? 1
?1,n ? 1 ? a ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,则 {a n } 的通项 n ? n! ,n ? 2 ? ?2
解:因为 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) 所以 a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n 所以②式-①式得 a n ?1 ? a n ? na n 则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) 则 ② ①

a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) an a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 a n ?1 a n ? 2 a2

所以 a n ?

? [n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ?

n! ? a2 2



由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 ,则 a 2 ? a 1 ,又 知 a 1 ? 1 ,则 a 2 ? 1,代入③得

a n ? 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ?? n ?

n! 。 2
a n ?1 ? n ?1 (n≥2) , an

评注: 本题解题的关键是把递推关系式 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) 转化为 进而求出

a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 , 从而可得当 n≥2 时 a n 的表达式, 最后再求出数列 {a n } 的 a n ?1 a n ? 2 a2

通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式 例 7 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n ) ④

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n 代入④式,得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n ,等式两边消去

2a n ,得 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2 x ,则 x=-1,代入④式,
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则
1

a n ?1 ? 5 n ?1 an ? 5
n
n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是

以 a 1 ? 5 ? 1 为首项,以 2 为公比的等比数列,则 a n ? 5 ? 1 ? 2 n ?1 ,故 a n ? 2n ?1 ? 5n 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5n 转 化 为

a n ?1 ? 5n ?1 ? 2(a n ? 5n ) ,从而可知数列 {a n ? 5 n } 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 5 n } 的 通项公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。
例 8 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y) 将 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 代入⑥式,得 ⑥

3a n ? 5 ? 2 n ? 4 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y)
整理得 (5 ? 2x) ? 2 n ? 4 ? y ? 3x ? 2 n ? 3y 。

?5 ? 2x ? 3x ?x ? 5 令? ,则 ? ,代入⑥式,得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2)
由 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式, 得 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 0 ,则



a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 2n ? 2

?3,

故数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是以 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列, 因此 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 13 ? 3n ?1 ,则 a n ? 13 ? 3n ?1 ? 5 ? 2 n ? 2 。 评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 转 化 为

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2) ,从而可知数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是等比数列,进而求出
数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 的通项公式,最后再求数列 {a n } 的通项公式。

例 9 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:设 a n ?1 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z

? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z)



将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2a n ? 3 ? n 2 ? ?4n ? 5 ? x(n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z) ,则

2a n ? (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2a n ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z
等式两边消去 2a n ,得 (3 ? x)n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? (x ? y ? z ? 5) ? 2xn 2 ? 2yn ? 2z ,

?x ? 3 ?3 ? x ? 2x ? ? 则得方程组 ?2x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?z ? 18 ? x ? y ? z ? 5 ? 2z ? ?

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得



a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 0


a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18

? 2 , 故 数 列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为 以

a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为 首 项 , 以 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 因 此 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2 n ?1 ,则 a n ? 2 n ?4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。
评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 转 化 为

a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
2


2













{a n ? 3n ? 10n ? 18} 是等比数列,进而求出数列 {a n ? 3n ? 10n ? 18} 的通项公式,最后再 求出数列 {a n } 的通项公式。
五、利用对数变换法求通项公式 例 10 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。
n 5 解:因为 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n,a 1 ? 7 ,所以 a n ? 0,a n ?1 ? 0 。在 a n ?1 ? 2 ? 3 a n 式两边取常用 对数得 lg a n ?1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ⑩
11 设 lg a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) ○ 11 式 ,得 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ? x (n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) , 两边 消去 将 ⑩式 代入○ 5 lg a n 并整理,得 (lg 3 ? x )n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5y ,则

lg 3 ? ?x ? 4 ?lg 3 ? x ? 5x ? ,故 ? ? ?x ? y ? lg 2 ? 5y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
11 式,得 lg a 代入○ n ?1 ?

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4
12 ○

? 5(lg a n ?
由 lg a 1 ? 得 lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ) 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12 式, ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 4 16 4 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ?0, 4 16 4

lg a n ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5, lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? ?n ? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的 n? ? } 是以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 等 比 数 列 , 则 lg a n ? , 因 此 n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 4 16 4 4 16 4 1 1 1 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 ? (lg 7 ? lg 3 4 ? lg 3 6 ? lg 2 4 )5 n ?1 lg a n ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n? ? 4 16 4 4 6 4
所以数列 {lg a n ?

? lg 3 4 ? lg 316 ? lg 2 4 ? [lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )]5 n ?1 ? lg(3 4 ? 316 ? 2 4 ) ? lg(7 ? 3 4 ? 316 ? 2 4 )5 n ?1
n ? lg(3 4 1 ? 316
n ?1

n

1

1

1

1

1

n

1

1

1

1

1

1 ? 24 )

? lg(7
5

5n ?1 ?1

5n ?1 ?n ?3 4

5n ?1 ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )

? lg(7

5n ?1

5n ?4n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )





a n ? 75

?3

5n ? 4 n ?1 16

n ?1

?2

4



评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 通 过 对 数 变 换 把 递 推 关 系 式 a n ?1 ? 2 ? 3n a 5 n 转化为

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? ? 5(lg a n ? n? ? ) , 从 而 可 知 数 列 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 {lg a n ? n? ? } 是等比数列,进而求出数列 {lg a n ? n? ? } 的通项 4 16 4 4 16 4 公式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。 lg a n ?1 ?
六、利用迭代法求通项公式
( n ?1) 2 例 11 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a 3 ,a 1 ? 5 ,求数列 {a n } 的通项公式。 n ( n ?1) 2 解:因为 a n ?1 ? a 3 ,所以 n
n n

n?2 an ? a3 n ?1

n ?1

( n ?1)?2 ? [a 3 n ?2

n ?2

]3n?2

n ?1

( n ?1)?n ?2 ? a3 n ?2 ( n ? 2 )? 2 ? [a 3 n ?3
3

2

( n ? 2 ) ? ( n ?1)

n ?3

]3

2

( n ?1)?n ?2 ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

( n ? 2 )( n ?1) n ?2 ? a3 n ?3

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

??
3 ? a1 3 ? a1
n ?1

?2?3??( n ? 2 )?( n ?1)?n ?21? 2 ???? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)
n ( n ?1)

n ?1

?n!?2

2

n ( n ?1)

又 a 1 ? 5 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 5

3n ?1 ?n!?2

2



评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式 lg a n ?1 ( n ?1) 2n ? 3(n ? 1) ? 2 n ,再由 两边取常用对数得 lg a n ?1 ? 3(n ? 1) ? 2 n lg a n ,即 a n ?1 ? a 3 n lg a n
n ?1 lg a 3 lg a 2 lg a n lg a n ?1 累 乘 法 可 推 知 lg a n ? ? ? ?? ? ? lg a 1 ? lg 53 ?n!?2 lg a n ?1 lg a n ?2 lg a 2 lg a 1 n ( n ?1) 2

, 从 而

an ? 5

3n ?1 ?n!?2

n ( n ?1) 2

七、利用数学归纳法求通项公式 例 12 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 式。 解:由 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) 8 ,a 1 ? , 求数列 {a n } 的通项公 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

8(n ? 1) 8 及 a 1 ? ,得 2 2 9 (2n ? 1) (2n ? 3)

a 2 ? a1 ?

8(1 ? 1) (2 ? 1 ? 1) 2 (2 ? 1 ? 3) 2

?

8 8 ? 2 24 ? ? 9 9 ? 25 25

a3 ? a2 ?

8(2 ? 1) (2 ? 2 ? 1) 2 (2 ? 2 ? 3) 2 24 8?3 48 ? ? ? 25 25 ? 49 49

a4 ? a3 ?

8(3 ? 1) (2 ? 3 ? 1) 2 (2 ? 3 ? 3) 2 48 8?4 80 ? ? ? 49 49 ? 81 81
(2n ? 1) 2 ? 1 ,往下用数学归纳法证明这个结论。 (2n ? 1) 2

由此可猜测 a n ?

(1)当 n=1 时, a 1 ?

(2 ? 1 ? 1) 2 ? 1 8 ? ,所以等式成立。 9 (2 ? 1 ? 1) 2 (2k ? 1) 2 ? 1 ,则当 n ? k ? 1时, (2k ? 1) 2

(2)假设当 n=k 时等式成立,即 a k ?

a k ?1 ? a k ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2

? ? ? ?
?

(2k ? 1) 2 ? 1 8(k ? 1) ? 2 (2k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 [( 2k ? 1) 2 ? 1]( 2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 3) 2 ? 8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2 ? (2k ? 1) 2 (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
(2k ? 3) 2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1] 2 ? 1 ? (2k ? 3) 2 [2(k ? 1) ? 1] 2

由此可知,当 n=k+1 时等式也成立。 根据(1) (2)可知,等式对任何 n ? N * 评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项,进而猜出数列的 通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式 例 13 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 式。 解:令 b n ? 1 ? 24a n ,则 a n ? 故 a n ?1 ?

1 求数列 {a n } 的通项公 (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ),a 1 ? 1 , 16 1 2 (b n ? 1) 24

1 2 1 (b n ?1 ? 1) ,代入 a n ?1 ? (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) 得 24 16

1 2 1 1 (b n ?1 ? 1) ? [1 ? 4 ? (b 2 n ? 1) ? b n ] 24 16 24
2 即 4b 2 n ?1 ? (b n ? 3)

因为 b n ? 1 ? 24a n ? 0 ,故 b n ?1 ? 1 ? 24a n ?1 ? 0 则 2b n ?1 ? b n ? 3 ,即 b n ?1 ?

1 3 bn ? , 2 2

可化为 b n ?1 ? 3 ?

1 (b n ? 3) , 2

1 为公比的等比数 2 1 1 1 1 列 , 因 此 b n ? 3 ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 , 则 b n ? ( ) n ?2 +3 , 即 1 ? 24a n ? ( ) n ?2 ? 3 , 得 2 2 2 2 2 1 n 1 n 1 an ? ( ) ? ( ) ? 。 3 4 2 3
所以 {b n ? 3} 是以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为首项, 以 评注:本题解题的关键是通过将 1 ? 24a n 的换元为 b n ,使得所给递推关系式转化

1 3 b n ?1 ? b n ? 形式,从而可知数列 {b n ? 3} 为等比数列,进而求出数列 {b n ? 3} 的通项公 2 2 式,最后再求出数列 {a n } 的通项公式。
九、利用不动点法求通项公式 例 14 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 解:令 x ?

21a n ? 24 ,a 1 ? 4 ,求数列 {a n } 的通项公式。 4a n ? 1

21x ? 24 21x ? 24 ,得 4x 2 ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x 1 ? 2,x 2 ? 3 是函数 f (x) ? 的 4x ? 1 4x ? 1 21a n ? 24 ?2 a n ?1 ? 2 4a n ? 1 21a n ? 24 ? 2(4a n ? 1) 13a n ? 26 13 两个不动点。因为 。 ? ? ? ? a n ?1 ? 3 21a n ? 24 21a n ? 24 ? 3(4a n ? 1) 9a n ? 27 9 ?3 4a n ? 1 an ? 2 a ?2 a ?2 4?2 13 } 是以 1 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 ,所以数列 { n an ? 3 an ? 3 a1 ? 3 4 ? 3 9 an ? 2 1 13 ? 3。 ? 2( ) n ?1 ,则 a n ? 13 an ? 3 9 2( ) n ?1 ? 1 9 21x ? 24 21x ? 24 的不动点,即方程 x ? 的 4x ? 1 4x ? 1 a ? 2 13 a n ? 2 a ?2 ? ? } 为等比数 两个根 x 1 ? 2,x 2 ? 3 , 进而可推出 n ?1 , 从而可知数列 { n a n ?1 ? 3 9 a n ? 3 an ? 3 a ?2 } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 列,再求出数列 { n an ? 3
评注:本题解题的关键是先求出函数 f (x) ?

例 15 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 解:令 x ?

7a n ? 2 ,a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 2a n ? 3

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2x 2 ? 4x ? 2 ? 0 ,则 x=1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7
7a n ? 2 5a ? 5 ?1? n ,所以 2a n ? 3 2a n ? 3

因为 a n ?1 ? 1 ?

3 5 a ? 2a n ? 3 2 n 2 2 1 1 2 ? } 是以 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? ,所以数列 { a n ?1 ? 1 5a n ? 5 5 a n ? 1 5 an ?1 a n ?1 a n ?1 5 1 1 1 2 2 2n ? 8 ? ? 1 为首项, ? 1 ? (n ? 1) ? , 以 为公差的等差数列, 则 故an ? 。 a1 ? 1 2 ? 1 an ?1 5 5 2n ? 3
1

7x ? 2 3x ? 1 的不动点,即方程 x ? 的根 2x ? 3 4x ? 7 1 1 2 1 ? ? ,从而可知数列 { } 为等差数列,再求出数列 x ? 1,进而可推出 a n ?1 ? 1 a n ? 1 5 an ?1 1 { } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通项公式。 an ?1
评注:本题解题的关键是先求出函数 f (x) ? 十、利用特征根法求通项公式 例 16 式。 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2),a 1 ? a 2 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公

解 : a n ?1 ? 3a n ? a n ?1 (n ? 2) 的 相 应 特 征 方 程 为 ?2 ? 3? ? 1 ? 0 , 解 之 求 特 征 根 是

?1 ?

3? 5 3? 5 3? 5 3? 5 ,? 2 ? ? c2 ? ,所以 a n ? c1 ? 。 2 2 2 2

由初始值 a 1 ? a 2 ? 1 ,得方程组

? 3? 5 1 3? 5 1 ) ? c2 ( ) ?1 ? c1 ( ? 2 2 ? 3? 5 2 3? 5 2 ? 1 ? c1 ( ) ? c2 ( ) ? 2 2 ? ? 5?2 5 ?c1 ? ? 5 求得 ? 5?2 5 ? c2 ? ? 5 ?
从而 a n ?

5?2 5 3? 5 n 5? 2 5 3? 5 n ( ) ? ( ) 。 5 2 5 2

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出 c1,c 2 ,从而可得数 列 {a n } 的通项公式。


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