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函数的概念及其表示


第1讲 函数的概念及其表示

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[最新考纲]
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域, 了解映射的概念. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象 法、列表法、解析法)表示函数. 3.了解简单的分段函

数,并能简单地应用.

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知 识 梳 理

1.函数的基本概念
(1)函数的定义 一般地,设A,B是两个

非空 数集,如果按照某种确定的

对应关系f,使对于集合A中的 任意 一个数x,在集合B中都 有 唯一 确定的数f(x)与之对应;那么就称:f:A→B为从集

合A到集合B的一个函数.记作y=f(x),x∈A.

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(2)函数的定义域、值域
在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 定义域 ;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 叫做函数的 值域 . 的 (3)函数的三要素是: 定义域 、 值域 和对应关系. (4)表示函数的常用方法有: 解析法 、 列表法 和图象法.

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(5)分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因 对应关系 不同而分别用几 个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数. 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 ,其值域等于 各段函数的值域的 并集 ,分段函数虽由几个部分组成,但它 表示的是一个函数.

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2.函数定义域的求法
类型 2n f?x?,n∈N* x 满足的条件 f(x)≥0

1 与[f(x)]0 f ? x? logaf(x)

f ( x) ≠0 f ( x) >0
使实际问题有意义

四则运算组成的函数 各个函数定义域的交集 实际问题

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3.函数值域的求法
方法 配方法 性质法 单调性法 换元法 示例 y=x +x-2 y=ex y=x+ x-2
2

示例答案
? 9 ? y∈?-4,+∞? ? ?

y∈ (0,+∞) y∈ [2,+∞)

? 3 y=sin2 x+sin x+1 y∈ ? ? ,3? ?4 ? y∈(-∞,1)∪ x y= 分离常数法 x+1 (1,+∞)

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辨 析 感 悟
1.对函数概念的理解. (1)(教材习题改编)如图:

以x为自变量的函数的图象为②④.
(2)函数y=1与y=x0是同一函数.

(√)
(×)

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2.函数的定义域、值域的求法 (3)(2013· 江西卷改编)函数 y= xln(1-x)的定义域为(0,1).(×) 1 (4)(2014· 成都月考改编)函数 f(x)= 的值域为(0,1]. (√) 1+x2 3.分段函数求值 x2+1,x≤1, ? ? (5)(2013· 济南模拟改编)设函数 f(x)=?2 则 f(f(3)) ,x>1, ? ?x 13 =9. (√)

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(6)(2014·浙 江 部 分 重 点 中 学 调 研 改 编 ) 函 数 f(x) = 3 ? ?x2-x+ ,x≥0, 1 1 4 ? 若 f(a)=2,则实数 a 的值为2或-2. (√) x+1 ? 2 ,x<0 ? 4.函数解析式的求法 (7)已知 f(x)=2x2+x-1,则 f(x+1)=2x2+5x+2. (8)已知 f( x-1)=x,则 f(x)=(x+1)2. (√) (×)

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[感悟·提升] 1.一个方法 判断两个函数是否为相同函数.一是定义域是否 相同,二是对应关系即解析式是否相同(注意解析式可以等

价化简),如(2).
2.三个防范 一是求函数的定义域要使给出解析式的各个部分 都有意义,如(3); 二是分段函数求值时,一定要分段讨论,注意验证结果是否 在自变量的取值范围内,如(6); 三是用换元法求函数解析式时,一定要注意换元后的范围, 如(8).
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考点一 求函数的定义域与值域
1 【例 1】 (1)(2013· 山东卷)函数 f(x)= 1-2 + 的定义域为 x+3
x

( A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

).

x-3 (2)函数 y= 的值域为________. x+1

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解析

x ? ?1-2 ≥0, (1)由题意? ? ?x+3>0,

解得-3<x≤0.

x-3 x+1-4 4 4 (2)y= = =1- ,因为 ≠0, x+1 x+1 x+1 x+1 4 所以 1- ≠1.即函数的值域是{y|y≠1}. x+1
答案 (1)A (2){y|y≠1}

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规律方法 (1)求函数的定义域,其实质就是以函数解析式有意义

为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
(2)求函数的值域:①当所给函数是分式的形式,且分子、分母 是同次的,可考虑用分离常数法;②若与二次函数有关,可用 配方法;③当函数的图象易画出时,可以借助于图象求解.

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【训练 1】 (1)函数

? 1? y=ln?1+x?+ ? ?

1-x2的定义域为________. 的值域为

(2) (2014· 成都一诊)函数 ________.
解析

1 ? ?log2x,x≥1, f(x) = ? x ? ?2 ,x<1

? ?1+1>0, x ? ?x≠0, (1)根据题意可知, ? 2 ? ?1-x ≥0

?x+1 ? >0, x ?? ?0 ? ?-1≤x≤1

<x≤1,故定义域为(0,1].

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(2)当 x≥1 时, log1x≤0; 当 x<1 时, 0<2x<2, 故值域为(0,2)∪(-
2

∞,0]=(-∞,2).
答案 (1)(0,1] (2)(-∞,2)

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考点二 分段函数及其应用
【例 2】 (1)(2014· 东北三校联考)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)
? ?log2?4-x?,x≤0 =? ? ?f?x-1?-f?x-2?,x>0

,则 f(3)的值为

(

).

A.-1 C.1 (2)已知实数 a≠0,函数

B.-2 D.2
? ?2x+a,x<1, f(x)=? ? ?-x-2a,x≥1.

若 f(1-a)=f(1

+a),则 a 的值为________.

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解析

(1)依题意,3>0,得f(3)=f(3-1)-f(3-2)=f(2)-f(1),

又2>0,所以f(2)=f(2-1)-f(2-2)=f(1)-f(0);所以f(3)=f(1) -f(0)-f(1)=-f(0),又f(0)=log2(4-0)=2,所以f(3)=-f(0)= -2. (2)当a>0时,1-a<1,1+a>1. 此时f(1-a)=2(1-a)+a=2-a, f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a.

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3 由 f(1-a)=f(1+a),得 2-a=-1-3a,解得 a=-2. 不合题意,舍去.当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 此时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a),得-1-a=2+3a,解得 a=-4. 3 综上可知,a 的值为-4.

3 答案 (1)B (2)-4
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规律方法 (1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属
于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形 式时,应从内到外依次求值. (2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数 定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检 验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

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【 训 练

2 】

(2014·烟 台 诊 断 ) 已 知 函 数 (

f(x) = ).

πx ? ?2cos ,x≤2 000, 3 ? 则 f[f(2 013)]= x-2 008 ? 2 ,x>2 000, ? A. 3 C.1 B.- 3 D.-1

解析

f(2 013)=22 013

-2

008

=25=32,所以 f[f(2 013)]=f(32)=

32π 2π 2cos 3 =2cos 3 =-1.

答案 D
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考点三 求函数的解析式
【例 3】 (1)已知
?2 ? f?x +1?=lg ? ?

x,求 f(x)的解析式.

(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试求出 f(x) 的解析式. (3)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求 函数 f(x)的解析式.

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2 2 (1)令x +1=t,由于 x>0,∴t>1 且 x= , t-1

2 2 ∴f(t)=lg ,即 f(x)=lg (x>1). t-1 x -1 (2)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),又 f(0)=c=3. ∴f(x)=ax2+bx+3,∴f(x+2)-f(x)=a(x+2)2+b(x+2)+3-(ax2 +bx+3)=4ax+4a+2b=4x+2.
? ?4a=4, ∴? ? ?4a+2b=2, ? ?a=1, ∴? ? ?b=-1,

∴f(x)=x2-x+3.

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(3)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代替 x 得,2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x)得, 2 1 f(x)=3lg(x+1)+3lg(1-x),x∈(-1,1).
规律方法 求函数解析式常用方法 (1) 待定系数法:若已知函数的类型 ( 如一次函数、二次函数 ) , 可用待定系数法; (2)换元法:已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要

注意新元的取值范围;

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(3)方程法:已知关于 f(x)与

?1? f?x ?或 ? ?

f(-x)的表达式,可根据已知条

件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出 f(x).

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【训练3】 (1)若f(x+1)=2x2+1,则f(x)=________.
(2) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x + 1) = 2f(x) .若当 0≤x≤1 时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.
解析 (1)令 t=x+1,则 x=t-1, 所以 f(t)=2(t-1)2+1=2t2-4t+3. 所以 f(x)=2x2-4x+3. (2)当-1≤x≤0 时,有 0≤x+1≤1,所以 f(1+x)=(1+x)[1- 1 (1+x)]=-x(1+x),又 f(x+1)=2f(x),所以 f(x)=2f(1+x)= x?x+1? - 2 .

答案

(1)2x -4x+3

2

x?x+1? (2)- 2
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1.函数的定义域是函数的灵魂,它决定了函数的值域,并且它

是研究函数性质的基础.因此,我们一定要树立函数定义域
优先意识. 2.函数有三种表示方法——列表法、图象法和解析法,三者之间 是可以互相转化的;求函数解析式比较常见的方法有凑配 法、换元法、待定系数法和方程法等,特别要注意将实际问

题转化为函数问题,通过设自变量,写出函数的解析式并明
确定义域.

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教你审题1——分段函数中求参数范围问题
【典例】 (2013·新 课 标 全 国 Ⅰ 卷 ) 已 知 函 数 f(x) = ?若|f(x)|≥ax?,则 a 的取值范围是 ( A.(-∞,0] C.[-2,1] B.(-∞,1] D.[-2,0] ).

2 ? ?-x +2x,x≤0, ? ? ?ln?x+1?,x>0.

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2 ? ?-x +2x,x≤0, [审题]一审条件?: f(x)=? ? ?ln?x+1?,x>0,

转化为一元二次函数

与对数函数的图象问题.如图(1).

(1)
二审条件?:|f(x)|≥ax,由 f(x)的图象得到|f(x)|的图象如图(2).

(2)
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三审图形:观察y=ax的图象总在y=|f(x)|的下方,则当a>0时,

不合题意;当a=0时,符合题意;当a<0时,若x≤0,f(x)=-
x2+2x≤0, 所以|f(x)|≥ax化简为x2-2x≥ax, 即x2≥(a+2)x,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2. 综上-2≤a≤0. 答案 D [反思感悟] (1)问题中参数值影响变形时,往往要分类讨论,需

有明确的标准、全面的考虑;
(2)求解过程中,求出的参数的值或范围并不一定符合题意,因 此要检验结果是否符合要求.
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【自主体验】
? ?lg x,x>0, (2014· 南充期中)已知函数 f(x)=? ? ?x+3,x≤0,

则 f(a)+f(1)= ( ).

0,则实数 a 的值等于 A.-3 C.1 B.-1 或 3 D.-3 或 1

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解析

因为f(1)=lg 1=0,所以由f(a)+f(1)=0得f(a)=0.当a>0

时,f(a)=lg a=0,所以a=1. 当a≤0时,f(a)=a+3=0,解得a=-3.所以实数a的值为a=1或 a=-3,选D. 答案 D

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