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必修4第三章 三角恒等变换 测试题


第三章测试
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题 给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.sin105° cos105° 的值为( 1 A.4 3 C. 4 ) 1 B.-4 3 D.- 4

1 1 1 解析 原式=2sin210° =-2sin30° =-4.

答案 B )

1 π π 2.若 sin2α=4,4<α<2,则 cosα-sinα 的值是( 3 A. 2 3 C.4 解析 3 B.- 2 3 D.-4 1 3 (cosα-sinα)2=1-sin2α=1-4=4.

π π 又4<α<2, ∴cosα<sinα,cosα-sinα=- 答案 B ) 3 B. 4 3 3 =- 4 2.

3.sin15° sin30° sin75° 的值等于( 1 A.4

1 C.8 解析 sin15° sin30° sin75° =sin15° cos15° sin30° 1 1 1 1 1 =2sin30° sin30° =2×2×2=8. 答案 C

3 D. 8

4.在△ABC 中,∠A=15° ,则 A. 2 3 C. 2

3sinA-cos(B+C)的值为( 2 B. 2 D. 2

)

解析 在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=π, 3sinA-cos(B+C) = 3sinA+cosA 3 1 =2( 2 sinA+2cosA) =2cos(60° -A)=2cos45° = 2. 答案 A )

1 1 5.已知 tanθ=3,则 cos2θ+2sin2θ 等于( 6 A.-5 4 C.5 4 B.-5 6 D.5

cos2θ+sinθcosθ 1+tanθ 6 解析 原式= = = . cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 答案 D )

6.在△ABC 中,已知 sinAcosA=sinBcosB,则△ABC 是(

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 π 解析 ∵sin2A=sin2B,∴∠A=∠B,或∠A+∠B=2. 答案 D )

2 3 7.设 a= 2 (sin17° +cos17° ),b=2cos213° -1,c= 2 ,则( A.c<a<b C.a<b<c B.b<c<a D.b<a<c

2 2 解析 a= 2 sin17° + 2 cos17° =cos(45° -17° )=cos28° , b=2cos213° -1=cos26° , 3 c= 2 =cos30° , ∵y=cosx 在(0,90° )内是减函数, ∴cos26° >cos28° >cos30° ,即 b>a>c. 答案 A

8.三角形 ABC 中,若∠C>90° ,则 tanA· tanB 与 1 的大小关系为 ( ) A.tanA· tanB>1 C.tanA· tanB=1 B. tanA· tanB<1 D.不能确定

解析 在三角形 ABC 中,∵∠C>90° ,∴∠A,∠B 分别都为锐 角. 则有 tanA>0,tanB>0,tanC<0. 又∵∠C=π-(∠A+∠B),

tanA+tanB ∴tanC=-tan(A+B)=- <0, 1-tanA· tanB 易知 1-tanA· tanB>0, 即 tanA· tanB<1. 答案 B
? ? ? ?

π? π? ? ? 9.函数 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?是( A.周期为 π 的奇函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π 的奇函数 D.周期为 2π 的偶函数 π? π? ? ? 解析 f(x)=sin2?x+4?-sin2?x-4?
? ? ? ?

)

π? ?π ? ? =cos2?4-x?-sin2?x-4?
? ? ? ? ? ? ? ?

π? π? ? ? =cos2?x-4?-sin2?x-4? π? ? =cos?2x-2?
? ?

=sin2x. 答案 A )
?1+ 2 ? ?

10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是( A.[-2,2] C.?
? ?1- 2

B.? 1+ 2 ? ? 2 ?

2

,2?
?

?

2



? 1 3? D.?-2,2? ?

解析

y=cos2x+cosxsinx=

1+cos2x 1 +2sin2x 2

? 1 2? 2 2 =2+ 2 ? sin2x+ cos2x? 2 ? 2 ?

1 2 π =2+ 2 sin(2x+4).∵x∈R, 1+ 2 π? ? ∴当 sin?2x+4?=1 时,y 有最大值 2 ; ? ? 1- 2 π? ? 当 sin?2x+4?=-1 时,y 有最小值 2 . ? ? ∴值域为?
? ?1- 2

2

1+ 2? , 2 ?. ?

答案

C )

24 θ 11.已知 θ 为第二象限角,sin(π-θ)=25,则 cos2的值为( 3 A.35 3 C.± 5 4 B.5 4 D.± 5

24 24 解析 由 sin(π-θ)=25,得 sinθ=25. 7 ∵θ 为第二象限的角,∴cosθ=-25. θ ∴cos2=± 答案 C 1+cosθ 2 =± 7 1-25 2 3 =± 5.

12 3 12.若 α,β 为锐角,cos(α+β)=13,cos(2α+β)=5,则 cosα 的 值为( 56 A.65 56 16 C.65或65 ) 16 B.65 D.以上都不对

12 解析 ∵0<α+β<π,cos(α+β)=13>0, π 5 ∴0<α+β<2,sin(α+β)=13. 3 ∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=5>0, π 4 ∴0<2α+β<2,sin(2α+β)=5. ∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)] =cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β) 3 12 4 5 56 =5×13+5×13=65. 答案 A

二、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.将答案填在 题中横线上) 1+tanα 1 13.若 =2012,则cos2α+tan2α=______. 1-tanα 1+sin2α 1 解析 cos2α+tan2α= cos2α sin2α+cos2α+2sinαcosα = cos2α-sin2α tan2α+1+2tanα ?tanα+1?2 1+tanα = = = =2012. 1-tan2α 1-tan2α 1-tanα 答案 2012 1 14.已知 cos2α=3,则 sin4α+cos4α=________. 1 解 ∵cos2α=3, 8 ∴sin22α=9.

∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α 1 1 8 5 =1-2sin22α=1-2×9=9. 5 答案 9 sin?α+30° ?+cos?α+60° ? 15. =________. 2cosα 解析 ∵ sin(α + 30° ) + cos(α + 60° ) = sinαcos30° + cosαsin30° +

cosαcos60° -sinαsin60° =cosα, cosα 1 ∴原式=2cosα=2. 1 答案 2 π π 16.关于函数 f(x)=cos(2x-3)+cos(2x+6),则下列命题: ①y=f(x)的最大值为 2; ②y=f(x)最小正周期是 π;
? π 13π? ③y=f(x)在区间?24, 24 ?上是减函数; ? ?

π ④将函数 y= 2cos2x 的图像向右平移24个单位后,将与已知函 数的图像重合. 其中正确命题的序号是________. π? π? ? ? 解析 f(x)=cos?2x-3?+cos?2x+6?
? ? ? ?

π?? π? ?π ? ? =cos?2x-3?+sin?2-?2x+6??
? ? ? ? ? ? ? ??

π? π? ? ? =cos?2x-3?-sin?2x-3?
? ? = 2· ? 2 π? π?? ? 2 ? ?2x- ?- sin?2x- ?? cos 3? 2 3?? ? ? ? 2

π π? ? = 2cos?2x-3+4?
? ? ?

π? ? = 2cos?2x-12?,
?

∴y=f(x)的最大值为 2,最小正周期为 π,故①,②正确.
? π 13π? ? π 13π? π 又当 x∈?24, 24 ?时,2x-12∈[0,π],∴y=f(x)在?24, 24 ?上 ? ? ? ?

是减函数,故③正确. π? π? ? ? 由④得 y= 2cos2?x-24?= 2cos?2x-12?,故④正确.
? ? ? ?

答案

①②③④

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(10 分)已知向量 m=?cosα-
? ? π ? 为共线向量,且 α∈?-2,0?. ? ? ? ? 2 ?,n=(sinx,1),m 与 n ,- 1 3 ?

(1)求 sinα+cosα 的值; sin2α (2)求 的值. sinα-cosα 解
? ?

(1)∵m 与 n 为共线向量, 2? ?×1-(-1)×sinα=0, 3?

∴?cosα-

2 即 sinα+cosα= 3 . 2 (2)∵1+sin2α=(sinα+cosα)2=9, 7 ∴sin2α=-9.

16 ∴(sinα-cosα)2=1-sin2α= 9 .
? π ? 又∵α∈?-2,0?,∴sinα-cosα<0. ? ?

4 ∴sinα-cosα=-3. ∴ sin2α 7 =12. sinα-cosα

3π? ? π? ? 2-2sin?α+ 4 ?cos?α+4? 1+tanα ? ? ? ? 18.(12 分)求证: = . 4 4 cos α-sin α 1-tanα π π? ? π? ? 2-2sin?α+4+2?cos?α+4?
? ? ? ?

证明 左边= ?cos2α+sin2α??cos2α-sin2α? π? ? 2-2cos2?α+4?
? ?



cos α-sin α π? ? 1-cos?2α+2?
? ?

2

2



cos α-sin α

2

2

1+sin2α ?sinα+cosα?2 = 2 = cos α-sin2α cos2α-sin2α = cosα+sinα 1+tanα = . cosα-sinα 1-tanα

∴原等式成立. 19.(12 分)(2010· 北京)已知函数 f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
?π? (1)求 f?3?的值; ? ?

(2)求 f(x)的最大值和最小值. 解
?π? 2π π π (1)f?3?=2cos 3 +sin23-4cos3 ? ?

? 1? ? 3? 1 =2×?-2?+? ?2-4×2 ? ? ?2 ?

3 9 =-1+4-2=-4. (2)f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx 2? 7 ? =3cos2x-4cosx-1=3?cosx-3?2-3,
? ?

∵x∈R,cosx∈[-1,1], ∴当 cosx=-1 时,f(x)有最大值 6; 2 7 当 cosx=3时,f(x)有最小值-3. π? ? ?π 3π? 2 20.(12 分)已知 cos?x-4?= 10 ,x∈?2, 4 ?.
? ? ? ?

(1)求 sinx 的值; π? ? (2)求 sin?2x+3?的值.
? ?



?π 3π? (1)解法 1:∵x∈?2, 4 ?, ? ? ? ?

π ?π π? ∴x-4∈?4,2?, π? ? 于是 sin?x-4?=
? ?

π? 7 2 ? 1-cos2?x-4?= 10 .
? ? ? ? ?

π? π? ?? sinx=sin??x-4?+4?
?? ?

π? π π? π ? ? =sin?x-4?cos4+cos?x-4?sin4
? ?

7 2 2 2 2 = 10 × 2 + 10 × 2 4 =5. 解法 2:由题设得

2 2 2 cos x + sin x = 2 2 10 , 1 即 cosx+sinx=5. 又 sin2x+cos2x=1, 从而 25sin2x-5sinx-12=0, 4 3 解得 sinx=5,或 sinx=-5,
?π 3π? 4 因为 x∈?2, 4 ?,所以 sinx=5. ? ? ?π 3π? (2)∵x∈?2, 4 ?,故 ? ?

cosx=- 1-sin2x=- 24 sin2x=2sinxcosx=-25. 7 cos2x=2cos2x-1=-25. π? ? ∴sin?2x+3?
? ?

?4? 3 1-?5?2=-5. ? ?

π π =sin2xcos3+cos2xsin3 24+7 3 =- 50 . 21.(12 分)(2011· 北京)已知函数 π? ? f(x)=4cosxsin?x+6?-1.
? ?

(1)求 f(x)的最小正周期;
? π π? (2)求 f(x)在区间?-6,4?上的最大值和最小值. ? ?



π? ? (1)因为 f(x)=4cosxsin?x+6?-1
? ? ? 3 ? 1 ? -1 sin x + cos x 2 ? 2 ?

=4cosx?

= 3sin2x+2cos2x-1= 3sin2x+cos2x π? ? =2sin?2x+6?
? ?

所以 f(x)的最小正周期为 π. π π π π 2π (2)-6≤x≤4,所以-6≤2x+6≤ 3 , π π π 当 2x+6=2时,即 x=6,f(x)取得最大值 2; π π π 当 2x+6=-6时,即 x=-6,f(x)取得最小值-1. 7π? 3π? ? ? 22.(12 分)(2011· 四川)已知函数 f(x)=sin?x+ 4 ?+cos?x- 4 ?,x
? ? ? ?

∈R. (1)求 f(x)的最小正周期和最小值; 4 4 π (2)已知 cos(β-α)=5,cos(β+α)=-5,0<α<β≤2,求证:[f(β)]2 -2=0. 解 7π 3π π? ? ? ? (1)∵f(x)=sin?x+ 4 -2π?+sin?x- 4 +2?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

π? π? π? ? ? ? =sin?x-4?+sin?x-4?=2sin?x-4?, ∴T=2π,f(x)的最小值为-2. 4 (2)证明:由已知得 cosβcosα+sinβsinα=5, 4 cosβcosα-sinβsinα=-5.

两式相加,得 2cosβcosα=0, π π ∵0<α<β≤2,∴β=2. π ∴[f(β)]2-2=4sin24-2=0.


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