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高二文科数学导数练习题


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作业 A
1.已知 f(x)的定义域为[0,1],且当 x∈[0,1]时 f′(x)>0,则下列关系式一定成立的是( A.f(0)<0 B.f(1)>0 (C C.f(1)>f(0) ). D.(e,+∞) ). D.f(1)&l

t;f(0) 解析 f′(x)>0(x∈[0,1]),f(x)在[0,1]上是增函数,∴f(1)>f(0).答案 C 2.函数 f(x)=xln x 的单调减区间为 1 ? A.? ?e,+∞? 1? B.? ?-∞,e? 1? C.? ? 0, e ? ).

3. 设 f′(x)是 f(x)的导函数, y=f′(x)图象如图, 则 y=f(x)图象可能是(C

4.对于函数 y=1+3x-x3 来说,有 A.极小值-1,极大值 1 C.极小值为-2,极大值 2

( D ).

B.极小值-2,极大值 3 D.极小值为-1,极大值 3

5. 若 f(x)的定义域为(a, b), f′(x)在(a, b)内的图象如图所示, 则 f(x)在(a, b)内极小值的个数为( A.1 个 为( B ). A.0,2 B.0,3
3 2

B

).

B.2 个
3 2

C.3 个

D.4 个

6.已知函数 f(x)=ax +bx +(c-3a-2b)x+d 过点(0,3),且函数在 x=1 处有极值,则 c,d 的值分别 C.1,2 D.1,3 (C ).

7.三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d 的图象如图,则它的导函数 f′(x)的图象最可能是

3 5? 8.已知函数 f(x)=x3-3x+3,当 x∈? ?-2,2?时,函数 f(x)的最小值为( C ). 33 A. 8 1 A.a= 3 B.-5 C.1 89 D. 8 ( C D.a<0 ). 1 C.a≤ 96

9.函数 f(x)=ax3-2x 在[2,8]上是减函数,则 B.a=0

10.函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________,增区间为________. 答案 (-1,11) (11,+∞)和(-∞,-1)
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11.函数 f′(x)的图象如图所示,则 f(x)的减区间为________,增区间为________. 答案 (0,2)和(-∞,-1) (-1,0)和(2,+∞). x2+a 12.已知函数 f(x)= 在 x=1 处取得极值,则 a=________. 答案 x+1 答案 a>2 或 a<-1. 14.f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m=__32______. 15.若函数 f(x)=x3+ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围为________.答案 (-∞,0) 16.将正数 a 分解为两个正数的和,使这两个正数的立方和为最小,则这两个正数分别为________和 a a ________. 2 2 17.设气球以每秒 36π cm3 的常速注入气体,假设气体压力不变,那么在 8 秒末气球半径的增加速度 为________.答案 1 cm/s 4 3

13.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1 有极大值和极小值,则 a 的范围为________..

18.求下列函数的单调区间: (1)f(x)=x3-x; (2)f(x)=ex-x+1. 解 (1)f′(x)=3x2-1,由 f′(x)>0 知 x> 由 f′(x)<0 知- 3 3 或 x<- . 3 3

3 3 3 3 3 3 <x < ,所以 f(x)的增区间为?-∞,- ?和? ,+∞?,减区间为?- , ?. 3 3 3? ?3 3? ? ? ? 3

(2)f′(x)=ex-1,由 f′(x)>0 知 x>0,由 f′(x)<0 知 x<0. 所以 f(x)的增区间为(0,+∞),减区间为(-∞,0). ex 19.(2011· 安徽高考)设 f(x)= ,其中 a 为正实数. 1+ax2 4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点. 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围. 解 对 f(x)求导得 1+ax2-2ax f′(x)=ex .① ?1+ax2?2 4 (1)当 a= 时,令 f′(x)=0,则 4x2-8x+3=0, 3 3 1 解得 x1= ,x2= . 2 2 结合①,可知 x f′(x) f(x)

?-∞,1? 2? ?


1 2 0 极大值

?1,3? ?2 2?


3 2 0 极小值

?3,+∞? ?2 ?


3 1 所以,x1= 是极小值点,x2= 是极大值点. 2 2 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,则 f′(x)在 R 上符号不变,结合①式与条件 a>0,知 ax2-2ax+1≥0 在
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R 上恒成立). ∴Δ=4a2-4a≤0,∴0 <a≤1. 1 20.设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x),若 y=f′(x)的图象关于直线 x=- 对称,且 f′(1)= 2 0.(1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解 (1)f(x)=2x3+ax2+bx+1, a a2 f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+ )2+b- , 6 6 1 a 1 又 f′(x)图象关于 x=- 对称,∴- =- ,∴a=3. 2 6 2 又 f′(1)=0,∴2+a+b+1=0,∴b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1. f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2). 由 f′(x)=0 得 x1=1,x2=-2. 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0,当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0,当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. ∴f(x)在(-∞,-2)上递增,在(-2,1)上递减,(1,+∞)上递增. ∴当 x=-2 时,f(x)取得极大值 f(-2)=21,当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)=-6. 21. 用总长 14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的一边比另一边长 0.5 m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 解 设容器底面短边长为 x m,则另一边长为(x+0.5)m, 14.8-4x-4?x+0.5? 高为 =(3.2-2x)(m). 4 由 3.2-2x>0 和 x>0,得 0<x<1.6. 设容器的容积为 y m3, 则有 y=x(x+0.5)(3.2-2x)(0<x<1.6). 整理,得 y=-2x3+2.2x2+1.6x. ∴y′=-6x2+4.4x+1.6. 令 y′=0,有-6x2+4.4x+1.6=0,即 15x2-11x-4=0. 4 解得 x1=1 或 x2=- (不合题意,舍去). 15 从而在定义域(0,1.6)内,只有在 x=1 处使得 y′=0. 因此,当 x=1 时,y 取得最大值且 ymax=-2+2.2+1.6=1.8(m3),这时高为 3.2-2×1=1.2(m).

作业 B
1.下列各选项中的函数,在定义域上为减函数的是( C A.f(x)=x3+x B.f(x)= 1 x C.f(x)=sin x-x ). D.f(x)=-x2x ). D.f(0)+f(2)>2f(1)

2.对于 R 上的可导函数 f(x)来说,若(x-1)f′(x)>0,则必有(D A.f(0)+f(2)<2f(1) B.f(0)+f(2)≤2f(1)
3

C.f(0)+f(2)≥2f(1)

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3.设函数 f(x)=ax +bx+c(a,b,c∈R).若 x=-1 为函数 f(x)ex 的一个极值点,则下列图象不可能 为 y=f(x)的图象是( D ).

4.(2011· 福建高考)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等 于( D ). A.2 A.-37 B.3
3 2

C.6

D .9 C.-5 D.以上都不对 ( A ).

5. 已知 f(x)=2x -6x +m(m 为常数)在[-2,2]上有最大值 3, 那么此函数在[-2,2]上的最小值是( A ). B.-29 6.已知函数 f(x)=x3-px2-qx 的图象与 x 轴切于(1,0)点,则 f(x)的 4 A.极大值为 ,极小值为 0 27 4 C.极大值为- ,极小值为 0 27
3

4 B.极大值为 0,极小值为 27 4 D.极大值为 0,极小值为- 27

7.某公司生产一种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位的产品,成本增加 100 元,若总收入 x ? ?-900+400x,0≤x≤390, R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 则当总利润最大时, 每年生产产品的单位数是 ?90 090,x>390, ? ( D). A.150 B.200 C.250 D.300

8.如图,将边长为 1 的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个 无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的容积最大时底面边长为 1 A. 3 2 B. 3 C.1 4 D. 3 ( B ).

9.若函数 f(x)=x3-px2+2m2-m+1 在区间(-2,0)上单调递减,且在区间(-∞,-2)及(0,+∞)内 单调递增,则实数 p=________. 答案 -6 ax2-1 10.函数 f(x)= 在(0,+∞)上递增,则 a 的范围为________. 答案 [0,+∞) x 11.函数 f(x)=x+2cos x(-π<x<π)的单调递减区间是________;单调递增区间________;极小值点是 π 5π? ? π? ?5π ? 5π π ________;极大值点是________.答案 ? ?6, 6 ? ?-π,6?和? 6 ,π? 6 , 6 8 8? 12.若函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b 仅在 x=0 处存在极值,则 a 的取值范围为________. ? ?-3,3? 13.函数 f(x)=x3-mx2+m-2 的单调递减区间是(0,3),则 m=________.答案
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14.如图为函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d 的图象,f′(x)为函数 f(x)的导函数,则不等式 x· f′(x)<0 的解 集为________.解析 由图可知,函数 f(x)的增区间为(-∞,- 3),( 3,+∞),减区间为(- 3, 3), 即当 x<- 3或 x> 3时 f′(x)>0,当- 3<x< 3时,f′(x)<0.
?x>0, ?x<0, ? ? 故 x· f′(x)<0 等价于? 或? 解得 x∈(0, 3)∪(-∞,- 3). ? ? ?f′?x?<0 ?f′?x?>0,

答案 (0, 3)∪(-∞,- 3) 15.建造一个总体积一定的圆柱形锅炉,若两个底面的材料每单位面积的造价为 a 元,侧面的材料每 单位面积的造价为 b 元,当造价最低时,锅炉的直径与高的比值为________.答案 b a

16 .将边长为 1 的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 S = ?梯形的周长?2 32 3 ,则 S 的最小值是________. 3 梯形的面积 2 17.已知函数 f(x)=x2+ +aln x(x>0),若 f(x)在[1,+∞)上单调递增,求 a 的取值范围. x 2 2 a 解 由 f(x)=x2+ +aln x,得 f′(x)=2x- 2+ . x x x 若函数为[1,+∞)上的单调增函数, 则 f′(x)≥0 在[1,+∞)上恒成立, 2 a 2 2 即不等式 2x- 2+ ≥0 在[1, +∞)上恒成立, 也即 a≥ -2x2 在[1, +∞]上恒成立. 令 φ(x)= -2x2, x x x x 2 上述问题等价于 a≥φ(x)max,而 φ(x)= -2x2 在[1,+∞)上单调递减, x 则 φ(x)max=φ(1)=0,于是 a≥0 为所求. 18.(创新拓展)设函数 f(x)=x3-3ax+b(a≠0). (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间. 解 (1)f′(x)=3x2-3a,因为曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处与直线 y=8 相切,
?f′?2?=0, ?3?4-a?=0, ?a=4, ? ? ? 所以? ?? ?? ? ? ? ?f?2?=8 ?8-6a+b=8 ?b=24.

(2)因为 f′(x)=3(x2-a)(a≠0), 当 a<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(-∞,+∞)上单调递增. 当 a>0 时,由 f′(x)=0?x=± a, 当 x∈(-∞,- a)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 当 x∈(- a, a)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减, 当 x∈( a, +∞)时, f′(x)>0, 函数 f(x)单调递增. 所以当 a>0 时, f(x)的单调增区间为(-∞, - a),
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( a,+∞),减区间为(- a, a). 19.(2011· 全国卷)已知函数 f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x+12a-4(a∈R). (1)证明:曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2); (2)若 f(x)在 x=x0 处取得极小值,x0∈(1,3),求 a 的取值范围. (1)证明 f′(x)=3x2+6ax+3-6a. 由 f(0)=12a-4,f′(0)=3-6a 得曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线方程为 y=(3-6a)x+12a-4, 由此知曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线过点(2,2). (2)解 由 f′(x)=0 得 x2+2ax+1-2a=0. ①当- 2-1≤a≤ 2-1 时,f(x)没有极小值; ②当 a> 2-1 或 a<- 2-1 时,由 f′(x)=0 得 x1=-a- a2+2a-1, x2=-a+ a2+2a-1, 故 x0=x2.由题设知 1<-a+ a2+2a-1<3. 当 a> 2-1 时,不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 无解; 5 当 a<- 2-1 时,解不等式 1<-a+ a2+2a-1<3 得- <a<- 2-1. 2 5 ? 综合①②得 a 的取值范围是? ?-2,- 2-1?. 20.(创新拓展)已知函数 f(x)=x3+2bx2+cx-2 的图象与 x 轴交点处的切线方程是 y=5x-10. (1)求函数 f(x)的解析式; 1 (2)设函数 g(x)=f(x)+ mx,若 g(x)的极值存在,求实数 m 的取值范围,以及函数 g(x)取得极值时对应 3 的自变量 x 的值. 解 (1)由已知,切点为(2,0),故有 f(2)=0,

即 4b+c+3=0.① 又 f′(x)=3x2+4bx+c, 则 f′(2)=12+8b+c=5,即 8b+c+7=0.② 联立①②,解得 b=-1,c=1. 所以函数的解析式为 f(x)=x3-2x2+x-2. 1 (2)因为 g(x)=x3-2x2+x-2+ mx, 3 1 1 令 g′(x)=3x2-4x+1+ m=0,当函数有极值时,方程 3x2-4x+1+ m=0 有实数解,所以 Δ=4(1 3 3 -m)≥0,得 m≤1. 2 2 当 m=1 时,g′(x)=0 有实数根 x= ,在 x= 左右两侧均有 g′(x)>0,故函数 g(x)无极值; 3 3 1 1 当 m<1 时,g′(x)=0.有两个实数根 x1= (2- 1-m),x2= (2+ 1-m). 3 3 当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表: x (-∞,x1) x1
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(x1,x2)

x2

(x2,+∞)

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g′(x) g(x)



0 极大值



0 极小值



所以当 m∈(-∞,1)时,函数 g(x)有极值,且 1 当 x= (2- 1-m)时,g(x)有极大值; 3 1 当 x= (2+ 1-m)时,g(m)有极小值 3 21.已知函数 f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中 t∈R. (1)当 t=1 时,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)当 t≠0 时,求 f(x)的单调区间. 解 (1)当 t=1 时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f′(x)=12x2+6x-6,f′(0)=-6.所以曲线 y=f(x) 在点(0,f(0))处的切线方程为 y=-6x,即 6x+y=0. t (2)f′(x)=12x2+6tx-6t2,令 f′(x)=0 得 x=-t 或 x= . 2 t? t t t ? ①当 t<0 时, f′(x)>0 得 x>-t 或 x< , f′(x)<0 得 <x<-t.f(x)在? 在? ?-∞,2?上递增, ?2,-t?上递减, 2 2 在(-t,+∞)上递增. t? t t ②当 t>0 时,f′(x)>0 得 x> 或 x<-t,f′(x)<0 得-t<x< .f(x)在(-∞,-t)上递增,? ?-t,2?上递减, 2 2

? t ,+∞?上递增. ?2 ?
1 1 22.(创新拓展)设 f(x)=- x3+ x2+2ax. 3 2 2 ? (1)若 f(x)在? ?3,+∞?上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0<a<2 时,f(x)在[1,4]上的最小值为- ,求 f(x)在该区间上的最大值. 3 解 1?2 1 (1)f′(x)=-x2+x+2a=-? ?x-2? +4+2a.

2? 2 2 2 1 当 x≥ 时,f′(x)的最大值为 f′? ?3?=9+2a,由9+2a>0,得 a>-9. 3 2 1 ,+∞?上存在单调递增区间时,a 的取值范围为?- ,+∞?. 所以 f(x)在? ?3 ? ? 9 ? 1- 1+8a 1+ 1+8a (2)令 f′(x)=0 得 x1= ,x2= , 2 2 所以 f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上递减,在(x1,x2)上递增.当 0<a<2 时,x1<1<x2<4, ∴f(x)在[1,4]上的最大值为 f(x2), 27 又 f(4)-f(1)=- +6a<0,即 f(4)<f(1). 2 40 16 ∴f(x)在[1,4]上的最小值为 f(4)=8a- =- , 3 3 10 ∴a=1,x2=2.从而 f(x)在[1,4]上的最大值为 f(2)= . 3
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23.请你设计一个包装盒.如图所示,ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的 四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得 A,B,C,D 四个点重合于图中的点 P,正好形成一个 正四棱柱形状的包装盒.E,F 在 AB 上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设 AE=FB= x(cm). (1)某广告商要求包装盒的侧面积 S(cm2)最大,试问 x 应取何值? (2)某厂商要求包装盒的容积 V(cm3)最大, 试问 x 应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.



60-2x 设包装盒的高为 h cm,底面边长为 a cm.则 a= 2x,h= = 2(30-x),0<x<30. 2

(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1 800, ∴当 x=15 时,S 取得最大值. (2)V=a2h=2 2(-x3+30x2), V′(x)=6 2x(20-x). 由 V′=0 得 x=0(舍)或 x=20. 当 x∈(0,20)时,V′(x)>0,当 x∈(20,30)时,V′(x)<0. 所以当 x=20 时,V 取得极大值,也是最大值. h 1 1 此时 = .即包装盒的高与底面边长之比为 . a 2 2 24.(创新拓展)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形, 80π 左右两端均为半球形按照设计要求容器的容积为 立方米, 且 l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积 3 有关,已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半圆形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.该容器 的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r. 解 (1)设容器的容积为 V. 4 V- πr3 3 4 80 80 4 4 20 ? 2 -r .由于 l≥2r,∴0<r≤2. 则 V=πr2l+ πr3,又 V= π,∴l= = 2- r= ? 2 ? 3 3 πr 3r 3 3? r 4 20 ? 2 2 -r ×3+4πr c. 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr ? ? 3? r 160π 即 y=4π(c-2)r2+ ,该函数定义域为{r|0<r≤2}. r 160π 8π?c-2? 3 20 20 (2)由(1)知 y′=8π(c-2)r- 2 = (r - ),0<r≤2.由于 c>3,所以 c-2>0,当 r3- = r r2 c-2 c-2 0 时,r=
3

20 . c-2
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(3)当 0 <

3

20 9 <2,即 c> 时, 2 c-2

? 时,y′<0,r∈? ? ?

3

时,y′>0. 20 ,2? c-2 ?

? ?

∴r=3 当
3

20 时,y 取得极小值,也取得最小值. c-2 20 9 ≥2,即 3<c≤ 时,r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减. 2 c-2

9 9 ∴r=2 时,y 取得最小值.总之,当 3<c ≤ 时,建造费用最小时 r=2;当 c > 时,建造费用最小时 2 2 r=
3

20 . c-2

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