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2013年上海市高三七校联考数学试卷(理科)


2013 年上海市高三七校联考 数学试卷(理科) 2013 年 3 月 6 日
(完卷时间 120 分钟
?
4

满分 150 分)

一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求将最终结果直接填写答题纸上相 应的横线上,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 若 2cos(? ?

x) ? sin(? ? x) ? 0 ,则 tan( 2. 线性方程组

? x) ?
.

.

?2x x??2 yy ? 33 ? 00 ? ?

的增广矩阵是

z B 3. 已知复数 z ? 1 ? i 的共轭复数是 z , z、 在复平面内对应的点分别是 A、 , O 为坐标原 点,则 ?AOB 的面积是 .

1 . 3 b c B C 5. 设 a,, 分别是锐角 ?ABC 中角 A, , 所对的边,若 a ? 2c sin A ,则角 C ? 6. 设等差数列 {an } 的公差为正,若 a2 ? 1 a1a2a3 ? ?3 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? . , ? ? ? ? ? ? 7. 已知向量 a ? (2, , ? (?4, ,若 (a ? 2b ) //(a ? ?b ) ,则 ? ? . 3) b 7) 2 2 n ?1 7 8. 若 lim(1 ? a ? a ? ? ? a ) ? ,则二项式 ( x ? a)10 的展开式中, x 的系数是 n ?? 3
4. 若函数 f ( x) ? 8x 的图像经过点 ( , a ) ,则 f ?1 (a ? 2) ? 9. 如图的程序框图运行后输出的结果是 . 10. 一个盒子装有六张卡片,上面分别写着如下六个函数:
开始
n ?1, ? 0 S
S ? S ? log 2 n ?1 n?2
n ? n ?1

.

.

2x ? 1 x , f1 ( x) ? x3 , f2 ( x) ? 5 , f3 ( x) ? 2 , f 4 ( x) ? x 2 ?1 ? f5 ( x) ? sin( ? x) , f6 ( x) ? x cos x .从中任意拿取 2 张 2
卡片,则两张卡片上写着的函数相加得到的新函数为奇函 数的概率是 . 11. 已知 f ( x) ?

Sn ? ?5
是 输出n



21? x ? 21? x ? arcsin x 的最大值和最小值分别 结束 2 x ? 2? x 第 9 题图 是 M 和 m ,则 M ? m ? . x2 y 2 12. 设 F1、 2 分别为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0 t ? 0) 的左、右焦点,过 F1 且倾斜角为 30? 的 F , a ta 直线与双曲线的右支相交于点 P ,若 | PF2 |?| F F2 | ,则 t ? . 1
13. 函数 f M ( x) 的定义域为 R ,且定义如下: f M ( x) ? ? 1

?x ?

x?M x?M
(其中 M 是实数集 R 的

?x ? B 非空真子集),若 A ? {x | |x ?1| ? 2}, ? { x | ?1 ? x ? 1} ,则函数 2 f A? B ( x) ? 1 P 的值域为 . F ( x) ? f A ( x) ? f B ( x) ? 1 Q 14. 如图所示,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长 为 2 的菱形, Q ? 棱 PA , AC ? BD ? O .有下列命题: D ①若 Q 是 PA 的中点,则 PC // 平面 BDQ ; A O B ②若 PB ? PD ,则 BD ? CQ ; C 第 14 题图 ③若 ?PAC 是正三角形,则 PO ? 平面 ABCD ; ? ④若 PA ? PC,PB ? PD ? 3 , ?ABC ? 60 ,则四棱锥 P ? ABCD 的体积为 2 2 .
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其中正确的命题是 . 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应的正确代号用 2B 铅笔涂黑, 选对得 5 分,不选、选错或者选出的代号超过一个,一律得零分. 15. 若抛物线 x2 ? 2 py( p ? 0) 上不同三点的横坐标的平方成等差数列, 那么这三点 ( ) A.到原点的距离成等差数列 B.到 x 轴的距离成等差数列 C.到 y 轴的距离成等差数列 D.到焦点的距离的平方成等差数列 16. 若 f ( x) ? sin x 在区间 (a,b)(a ? b) 上单调递减,则 x ? (a,b) 时, A. sin x ? 0 B. cos x ? 0 C. tan x ? 0 D. tan x ? 0 b b 17. 若实数 a、 满足 a ? 0, ? 0 ,且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补.记 ( )

b ? (a, ) ? a 2 ? b2 ? a ? b ,那么“ ? (a, ) ? 0 ”是“ a 与 b 互补”的 b
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件

( ) D.既非充分也非必要条件

b c 18. 已知实数 a、、 (a ? 0) 满足

a b c ? ? ? 0(m ? 0) ,对于函数 m ? 2 m ?1 m
( )

f ( x) ? ax2 ? bx ? c , af (
A. af (

m )?0 m ?1

m ) 与 0 的大小关系是 m ?1 m m )?0 )?0 B. af ( C. af ( m ?1 m ?1

D.与 m 的大小有关

三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分)每题均需写出详细的解答过程. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分.

? ? ? a n ? (sin B, A) , p ? (b ? 2, ? 2) . sin ?? ? (1)若 m // n ,求证: ?ABC 为等腰三角形; ?? ? ? ? (2)若 m ? p ,边长 c ? 2 ,角 C ? ,求 ?ABC 的面积. 3

B C b c 设 ?ABC 的角 A, , 所对的边分别是 a,, ,向量 m ? (a, ) , b

??

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20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8 分. 空气污染指数(API)是一种用于反映和评价空气质量的数量, 我国计入空气污染指数的 项目暂定为:总悬浮颗粒物( PM 10 )、 SO2 和 NO2 .其计算公式为

I 大 ? I小 C 其中 I 为某污染物的污染指数, 为该污染物的浓度; 大 ( I 大 ) (C ? C小 ) ? I小 , C C大 ? C小 和 C小 ( I小 )分别是 API 分级限值表(附表)中最贴近 C ( I )值的两个限值.根据这个公式分别 I?
计算各污染物的 API 分指数;选取 API 分指数最大值为全市 API,且该项污染物即为该市空 气中的首要污染物. (1)若某地区的 PM 10 、 SO2 和 NO2 日均值分别为 0.215 毫克/立方米,0.105 毫克/立方米 和 0.080 毫克/立方米,求空气污染指数 API,并指出首要污染物; (2)已知某地的首要污染物为 SO2 ,PM 10 和 NO2 的 API 分指数分别为 122 和 67 , 政府对相 关企业进行限排,减少 SO2 和 PM 10 的污染,使得首要污染物变成了 PM 10 ,且其分指数不 超过 80 , SO2 的 API 分指数低于 NO2 的 API 分指数,求限排后 SO2 和 PM 10 浓度的范围. 附表:API 分级限值表 污染指数限值 污染物浓度(毫克/立方米)(日均值) 污染物浓度(小时均值) API PM 10 CO SO2 O3 NO2 50 100 200 300 400 500 0.050 0.150 0.800 1.600 2.100 2.620 0.080 0.120 0.280 0.565 0.750 0.940 0.050 0.150 0.350 0.420 0.500 0.600 5 10 60 90 120 150 0.120 0.200 0.400 0.800 1.000 1.200

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第(1)小题满分 7 分,第(2)小题满分 7 分.

0) 如图,已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F ,过点 P(2, 且斜率为 k1 的直线交抛物线于
BF N A( x1,1 ) , B( x2,2 ) 两点,直线 AF、 分别与抛物线交于点 M 、 . y y A y ??? ??? ? ? (1)证明 OA ? OB 的值与 k1 无关,并用 y1,y2 表示 k1 ; N k1 (2)记直线 MN 的斜率为 k2 ,证明 为定值. k2 0 F P
M B
第 21 题图

x

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22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分. 已知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax(a ? 0) . (1)当 a ? 2 时,解关于 x 的不等式 ?3 ? f ( x) ? 5 ; (2)对于给定的正数 a ,有一个最大的正数 M (a) ,使得在整个区间 [0, (a)] 上,不等式 M

| f ( x) |? 5 恒成立. 求出 M (a) 的解析式; (3)函数 y ? f ( x) 在 [t, ? 2] 的最大值为 0 ,最小值是 ?4 ,求实数 a 和 t 的值. t

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分. 一青蛙从点 A0 ( x0, 0 ) 开始依次水平向右和竖直向上跳动,其落点坐标依次是 y

y Ai ( xi,i )(i ? N ? ) ,(如图所示, A0 ( x0, 0 ) 坐标以已知条件为准), Sn 表示青蛙从点 A0 到 y 点 An 所经过的路程.
(1)若点 A0 ( x0, 0 ) 为抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 准线上 y 一点,点 A 、 A2 均在该抛物线上,并且直线 A A2 经 1 1 过该抛物线的焦点,证明 S2 ? 3 p . (2)若点 An ( xn, n ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上, y A2 A0 A1 O
第 23 题图

y



A4 A3

1 1 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,并且 A0 ( , ) , 2 2 试写出 lim S n (请简要说明理由);
2
n ???

x

(3)若点 An ( xn, n ) 要么落在 y ? x 所表示的曲线上,要么落在 y ? 2 x 所表示的曲线上,并 y

1) 且 A0 ( , ,求 Sn 的表达式.

1 2

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