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第2部分 4(理)立体几何与空间向量(理)


4

立体几何与空间向量(理)
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2015· 青岛市质检)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图 中的 x 的值是( )

A.2 3 C. 2 [答案] D

9 B. 2 D.3

[解析] 依题意,由三视图还原出原几何体的直观图如图所示,原几何体为四棱锥,且 1 1 其底面积为 ×2×(1+2)=3,高为 x,所以其体积 V= ×3x=3,所以 x=3. 2 3

2.(2015· 陕西理,5)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

)

A.3π C.2π+4 [答案] D

B.4π D.3π+4

[解析] 由空间几何体的三视图可知该几何体为竖着放的半个圆柱, 圆柱底面半径为 1, 高为 2,所以几何体的表面积 S=2×2+π×2+π=3π+4.故本题正确答案为 D. 3.一个棱锥的三视图如图所示,则这个棱锥的体积是( )

A.6 C.24 [答案] B [解析]

B.12 D.36

由三视图知该几何体为有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,体积 V=

1 3

×(4×3)×3=12. 4.如图,设平面 α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分别是 B、D,如果增加一个条件, 就能推出 BD⊥EF,这个条件不可能是下面四个选项中的( )

A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC 与 BD 在 β 内的射影在同一条直线上 D.AC 与 α、β 所成的角相等 [答案] D [解析] 因为 BD 是 AC 在平面 α 内的射影, 所以只需得到 AC⊥EF, 那么由三垂线定理 的逆定理可得 BD⊥EF.对于选项 A,因为 AC⊥β,EF?β?AC⊥EF?BD⊥EF.选项 B,因为 AC⊥EF,所以 BD⊥EF.对于选项 C,可得平面 ABDC⊥β,所以 BD⊥EF.对于选项 D,AC 与 α、β 所成的角相等,无法保证 AC⊥EF.综上知选 D. 5.设 m、n 是两条不同的直线,α、β 是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( A.若 m⊥n,m⊥α,n?α,则 n∥α B.若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α 或 m?α )

C.若 m⊥n,m⊥α,n⊥β,则 α⊥β D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β [答案] D [解析] 对于选项 D, 当直线 m 位于平面 β 内且与平面 α, β 的交线平行时, 直线 m∥α, 显然 m 与平面 β 不垂直,因此选项 D 不正确. 6.已知正四面体 A-BCD,设异面直线 AB 与 CD 所成的角为 α,侧棱 AB 与底面 BCD 所成的角为 β,侧面 ABC 与底面 BCD 所成的角为 γ,则( A.α>β>γ C.β>α>γ [答案] B [解析] 如图,设底面 BCD 的中心为点 O,连接 AO,BO,易知∠ABO=β,取 BC 的 中点 E,连接 AE、OE,易知∠AEO=γ,在正三角形 BCD 中,OB>OE, π 因此 0<β<γ< ,延长 BO 交 CD 于 F,则 BF⊥CD,又 AO⊥CD, 2 π ∴CD⊥平面 ABF.∴CD⊥AB,即 α= .∴α>γ>β. 2 7.如图,在△ABC 中,AB⊥AC,若 AD⊥BC,则 AB2=BD· BC;类似地有命题:在三 棱锥 A-BCD 中,AD⊥平面 ABC,若 A 点在平面 BCD 内的射影为 M,则有 S2 S △ABC=S△BCM·
△BCD.

)

B.α>γ>β D.γ>β>α

上述命题是(

)

A.真命题 B.增加条件“AB⊥AC”才是真命题 C.增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D.增加条件“三棱锥 A-BCD 是正三棱锥”才是真命题 [答案] A [解析] 因为 AD⊥平面 ABC,所以 AD⊥AE,AD⊥BC,在△ADE 中,AE2=ME· DE, 又 A 点在平面 BCD 内的射影为 M,所以 AM⊥平面 BCD,AM⊥BC,所以 BC⊥平面 ADE, 所以 BC⊥DE,将 S△ABC、S△BCM、S△BCD 分别表示出来,可得 S2 S△BCD,故选 A. △ABC=S△BCM· 8.(2015· 德州市期末)如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,AD=3,AA1 =2 6,点 P 是 B1C 的三等分点且靠近点 C,则异面直线 AP 和 DD1 所成的角为( )

π A. 6 π C. 3 [答案] C

π B. 4 5π D. 12

[解析] 如图, 过点 P 作 PN⊥BC 于点 N, 连接 AN, 则 PN∥BB1, 而 DD1∥BB1,所以 DD1∥PN,所以∠APN 就是异面直线 AP 和 DD1 所成的角.因为点 P 是 B1C 的三等分点且靠近点 C,且 AB=2,AD 1 2 6 2 =3, AA1=2 6, 所以 PN= BB1= , BN= BC=2.在 Rt△ABN 中, 3 3 3 AN 2 2 AN=2 2,在 Rt△ANP 中,tan∠APN= = = 3,所以∠APN PN 2 6 3 π = . 3 9.(2015· 浙江文,7)如图,斜线段 AB 与平面 α 所成的角为 60° ,B 为斜足,平面 α 上 的动点 P 满足∠PAB=30° ,则点 P 的轨迹是( )

A.直线 C.椭圆 [答案] C

B.抛物线 D.双曲线的一支

[解析] 考查 1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系. 由题可知,当 P 点运动时,在空间中,满足条件的 AP 绕 AB 旋转形成一个圆锥,用一 个与圆锥高成 60° 角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选 C. 10.(2015· 济南市模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质, 可得出空间内的下列结论: ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行; ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;

③垂直于同一个平面的两个平面互相平行; ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行. 则正确的结论是( A.①② C.③④ [答案] D [解析] 显然①④正确;对于②,在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行,也 可以异面或相交; 对于③, 在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行, 也可以相交(如 长方体相邻两侧面与底面). 11. (2014· 郑州市质检)如图, 四边形 ABCD 中, AB=AD=CD=1, BD= 2, BD⊥CD. 将 四边形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 A′-BCD,使平面 A′BD⊥平面 BCD,则下列结 论正确的是( ) ) B.②③ D.①④

A.A′C⊥BD B.∠BA′C=90° C.CA′与平面 A′BD 所成的角为 30° 1 D.四面体 A′-BCD 的体积为 3 [答案] B [解析] 取 BD 的中点 O,∵A′B=A′D,∴A′O⊥BD,又平面 A′BD⊥平面 BCD, 平面 A′BD∩平面 BCD=BD,∴A′O⊥平面 BCD,∵CD⊥BD,∴OC 不垂直于 BD.假设 A′C⊥BD,∵OC 为 A′C 在平面 BCD 内的射影, ∴OC⊥BD, 矛盾, ∴A′C 不垂直于 BD, A 错误; ∵CD⊥BD, 平面 A′BD ⊥平面 BCD,∴CD⊥平面 A′BD,A′C 在平面 A′BD 内的射影为 A′D,∵A′B=A′D =1, BD= 2, ∴A′B⊥A′D, A′B⊥A′C, B 正确; ∠CA′D 为直线 CA′与平面 A′BD 1 1 所成的角,∠CA′D=45° ,C 错误;VA′-BCD= S△A′BD· CD= ,D 错误,故选 B. 3 6 12.(2014· 唐山市二模)直三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有顶点都在半径为 2的球面上,AB =AC= 3,AA1=2,则二面角 B-AA1-C 的余弦值为( 1 A.- 3 1 C. 3 [答案] D 1 B.- 2 1 D. 2 )

[解析] 如图,设球心为 O,底面△ABC 外接圆的圆心为 O′,则 OA=OB=OC= 2, OO′=1,∴O′A=O′B=O′C=1,∴BC= 3,∴△ABC 为正三角形,∴二面角 B- 1 AA1-C 的平面角 BAC=60° ,∴二面角 B-AA1-C 的余弦值为 . 2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,将正确答案填在题中横线上) 13.(2015· 枣庄四校联考)在正三棱锥 P-ABC 中,M,N 分别是 PB,PC 的中点,若截 S1 面 AMN⊥平面 PBC,且三棱锥 P-ABC 的侧面积为 S1,底面积为 S2,则 =________. S2 [答案] 2 3 [解析] 取线段 BC 的中点 D, 连接 PD 交 MN 于 H, 连接 AD, AH.因为 M,N 分别是 PB,PC 的中点,所以 H 为 PD 的中点, AH⊥MN, 又平面 AMN⊥平面 PBC, 平面 AMN∩平面 PBC=MN, 所以 AH⊥平面 PBC,从而 AH 垂直且平分 PD,则 PA=AD,设 AB=a, 则 PA=AD= S1 则 =2 3. S2 14.(2015· 胶东示范校质检)如图,在平面四边形 ABDC 中,已知 AB⊥BC,CD⊥BD,AB =BC, 现将四边形 ABDC 沿 BC 折起, 使平面 ABC⊥平面 BDC, 设 E, F 分别为棱 AC,AD 的中点,若 CD=2,∠BCD=60° ,则 VA-BFE= ________. [答案] 2 3 3 3 3 3 a, 所以侧面积 S1= a2, 底面积 S2= a2, 2 2 4

[解析] 因为平面 ABC⊥平面 BDC,AB⊥BC,所以 AB⊥平面 BDC,所以 AB⊥CD, 又 CD⊥BD,AB∩BD=B,所以 DC⊥平面 ABD,因为 E,F 分别为棱 AC,AD 的中点,所以 EF⊥平面 ABD,所以 VA-BFE=VE-ABF,在 Rt△ BCD 中,CD=2,∠BCD=60° ,所以 BD=2 3,BC=4,又 AB=BC, 所以 AB=4,因为 E,F 分别为棱 AC,AD 的中点,所以 EF=1, 1 1 1 所以 VA-BFE=VE-ABF= ×1×S△ABF= · ( S ) 3 3 2 △ABD

1 1 2 3 = × ×2 3×4= . 6 2 3 15. 设 C 是∠AOB 所在平面外的一点, 若∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ, 其中 θ 是锐角, 而 OC 和平面 AOB 所成角的余弦值等于 [答案] 60° [解析] 作 CC1⊥平面 AOB 于点 C1, C1A1⊥OA 于点 A1, C1B1⊥OB 于点 B1, 连接 OC1, 则∠COC1 为直线 OC 与平面 AOB 所成的角,且 OC1 是∠AOB 的平分线, x 设 OA1=x,则 OC= , cosθ x OC1= , θ cos 2 θ 2cos2 -1 2 cosθ 3 易求得 cos∠COC1= = = , θ θ 3 cos cos 2 2 θ 3 θ 即 2cos2 - cos -1=0,解之得 2 3 2 θ 3 θ 3 cos = 或 cos =- (舍去), 2 2 2 3 θ 故 =30° ,所以 θ=60° . 2 16.如图,正方形 BCDE 的边长为 a,已知 AB= 3BC,将直角△ABE 沿 BE 边折起, A 点在面 BCDE 上的射影为 D 点,则翻折后的几何体中有如下描述: ①AB 与 DE 所成角的正切值是 2; 1 ②VB-ACE 的体积是 a3; 6 ③AB∥CD; ④平面 EAB⊥平面 ADE; ⑤直线 BA 与平面 ADE 所成角的正弦值为 3 . 3 3 ,则 θ 的值为________. 3

其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号). [答案] ①②④⑤ [解析] 由题意可得如图所示的几何体,对于①,AB 与 DE 所成角为∠ABC,在△ABC 中,∠ACB=90° ,AC= 2a,BC=a,所以 tan∠ABC= 2,故①正确;

1 1 1 对于②,VB-ACE=VA-ECB= ×a× ×a×a= a3,故②正确;③明显错误; 3 2 6 对于④,因为 AD⊥平面 BCDE,所以 AD⊥BE,又因为 DE⊥BE,所以 BE⊥平面 ADE, 可得平面 EAB⊥平面 ADE,故④正确;对于⑤,由④可知,∠BAE 即为直线 BA 与平面 ADE 所成的角,在△ABE 中,∠AEB=90° ,AB= 3a,BE=a,所以 sin∠BAE= 3 ,故⑤正确. 3

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 是等边三角形,D 是 BC 的中点.

(1)求证:直线 A1D⊥B1C1; (2)判断 A1B 与平面 ADC1 的位置关系,并证明你的结论. [解析] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 ABC,所以 AA1⊥BC, 在等边△ABC 中,D 是 BC 中点,所以 AD⊥BC, 因为在平面 A1AD 中,A1A∩AD=A, 所以 BC⊥平面 A1AD, 又因为 A1D?平面 A1AD,所以 A1D⊥BC,

在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 BCC1B1 是平行四边形,所以 B1C1∥BC,所以, A1D⊥B1C1.

(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,四边形 ACC1A1 是平行四边形,在平行四边形 ACC1A1 中连接 A1C,交 AC1 于点 O,连接 DO.故 O 为 A1C 的中点. 在三角形 A1CB 中,D 为 BC 中点,O 为 A1C 中点,故 DO∥A1B. 因为 DO?平面 ADC1,A1B?平面 ADC1, 所以,A1B∥平面 ADC1, 故 A1B 与平面 ADC1 平行. 18.(本题满分 12 分)(2015· 山西太原市模拟)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形, ∠DAB=60° , AB=2AD =2,PD⊥平面 ABCD. (1)求证:AD⊥PB; (2)若 BD 与平面 PBC 的所成角为 30° ,求四面体 P-BCD 的体积. [解析] (1)证明:在△ABD 中,∠DAB=60° ,AB=2AD=2, 由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠DAB=3, ∴AB2=AD2+BD2,∴∠ADB=90° , ∴AD⊥BD, ∵PD⊥平面 ABCD, ∴PD⊥AD, ∴AD⊥平面 PBD, ∴AD⊥PB; (2)过 D 作 DE⊥PB,垂足为 E, ∵ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC, 由(1)得 AD⊥平面 PBD,∴BC⊥平面 PBD, ∴平面 PBC⊥平面 PBD, ∴DE⊥平面 PBC, ∴BD 与平面 PBC 的所成角为∠DBE=30° , 由(1)得 BD= 3,DP=BD· tan∠DBE=1, 1 1 1 3 ∴VP-BCD= S△BCD· DP= × BD· BC· DP= . 3 3 2 6 19. (本题满分 12 分)(2014· 成都一诊)如图, PO⊥平面 ABCD, 点 O 在 AB 上, EA∥PO, 1 四边形 ABCD 为直角梯形,BC⊥AB,BC=CD=BO=PO,EA=AO= CD. 2

(1)求证:PE⊥平面 PBC; (2)直线 PE 上是否存在点 M,使 DM∥平面 PBC,若存在,求出点 M;若不存在,说明 理由. (3)求二面角 E-BD-A 的余弦值. [解析] (1)证明:∵EA∥OP,AO?平面 ABP, ∴点 A,B,P,E 共面. ∵PO⊥平面 ABCD,PO?平面 PEAB. ∴平面 PEAB⊥平面 ABCD, ∵BC?平面 ABCD,BC⊥AB,平面 PEAB∩平面 ABCD=AB, ∴BC⊥平面 PEAB,∴PE⊥BC. 由平面几何知识知 PE⊥PB,又 BC∩PB=B, ∴PE⊥平面 PBC. (2)点 E 即为所求的点,即点 M 与点 E 重合.取 PB 的中点 F,连接 EF、CF、DE,延 长 PE 交 BA 的延长线于 H,则 E 为 PH 的中点,O 为 BH 的中点,∴EF 綊 OB,

又 OB 綊 CD,∴EF∥CD,且 EF=DC, ∴四边形 DCFE 为平行四边形,所以 DE∥CF. ∵CF 在平面 PBC 内,DE 不在平面 PBC 内, ∴DE∥平面 PBC. (3)由已知可知四边形 BCDO 是正方形,显然 OD、OB、OP 两两垂直,如图建立空间直 角坐标系,设 DC=1, 1 1 则 B(0,1,0),D(1,0,0),E(0,- , ), 2 2 设平面 BDE 的一个法向量为 n1=(x,y,z), 3 1 → → BD=(1,-1,0),BE=(0,- , ), 2 2 x-y=0, → ? ? BD=0, ?n1· ? ? 即? 3 1 → ? ? BE=0, ?n1· ?-2y+2z=0. 取 y=1,则 x=1,z=3,从而 n1=(1,1,3).

取平面 ABD 的一个法向量为 n2=(0,0,1). n 1· n2 3 3 11 cos〈n1,n2〉= = = , |n1|· |n2| 11 11· 1 3 11 故二面角 E-BD-A 的余弦值为 . 11 20.(本题满分 12 分)(2015· 江西省质检)已知斜四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面是矩形, 侧面 CC1D1D 垂直于底面 ABCD,BC=2AB=DC1=2,BD1=2 3.

(1)求证:平面 AB1C1D⊥平面 ABCD; (2)点 E 是棱 BC 的中点,求二面角 A1-AE-D 的余弦值. [解析] (1)连接 CD1,设 CD1∩DC1=F,则 F 是 CD1,DC1 的中点, 因为底面 ABCD 是矩形,所以 BC⊥CD,

又平面 ABCD⊥平面 CC1D1D, 所以 BC⊥平面 CC1D1D,所以 BC⊥CD1, 由 BD1=2 3,BC=2,得 CD1=2 2,CF= 2. 1 在△DFC 中,DF= DC1=1,CD=1. 2 所以 CD2+DF2=CF2,所以 DF⊥DC, 又 BC⊥平面 CC1D1D 得 DF⊥BC,所以 DF⊥平面 ABCD,DF?平面 AB1C1D, 所以平面 AB1C1D⊥平面 ABCD; (2)由(1)可以点 D 为原点,DA,DC,DC1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直 → 角坐标系,则平面 DAE 的法向量 n=DC1=(0,0,2), 设平面 A1AE 的法向量为 m=(x,y,z), → → → → → 因为DA=(2,0,0),DE=(1,1,0),AA1=DD1=(0,-1,2),所以AE=(-1,1,0), → 由 m· AE=0 得-x+y=0, → 由 m· AA1=0 得-y+2z=0,

令 z=1,得 m=(2,2,1), 所以 cos〈m,n〉= 2 1 = , 4+4+1×2 3

1 即所求二面角的余弦值为 . 3 21.(本题满分 12 分)如图①,边长为 1 的正方形 ABCD 中,点 E、F 分别为 AB、BC 的 中点,将△BEF 剪去,将△AED、△DCF 分别沿 DE、DF 折起,使 A、C 两点重合于点 P, 得一三棱锥如图②所示.

(1)求证:PD⊥EF; (2)求三棱锥 P-DEF 的体积; (3)求 DE 与平面 PDF 所成角的正弦值. [解析] (1)依题意知图①折前 AD⊥AE,CD⊥CF, ∴折起后 PD⊥PE,PF⊥PD, ∵PE∩PF=P,∴PD⊥平面 PEF. 又∵EF?平面 PEF,∴PD⊥EF. 1 1 2 (2)依题意知图①中 AE=CF= ,∴PE=PF= ,在△BEF 中 EF= 2BE= , 2 2 2 在△PEF 中,PE2+PF2=EF2,∴PE⊥PF, 1 111 1 ∴S△PEF= · PE· PF= · · = , 2 222 8 1 1 1 1 ∴VP-DEF=VD-PEF= S△PEF· PD= × ×1= . 3 3 8 24 (3)由(2)知 PE⊥PF,又 PE⊥PD,∴PE⊥平面 PDF, ∴∠PDE 为 DE 与平面 PDF 所成的角. 在 Rt△PDE 中, ∵DE= PD2+PE2= 1 5 1 1+ = ,PE= , 4 2 2

1 PE 2 5 ∴sin∠PDE= = = . DE 5 5 2 22.(本题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,

AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5.

(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值; (3)设 N 为棱 B1C1 的中点,点 M 在平面 AA1B1B 内,且 MN⊥平面 A1B1C1,求线段 BM 的长. [解析] 如图所示 ,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原 点.依题意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2, 2 2,0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2, 5). → → (1)易得AC=(- 2,- 2, 5),A1B1=(-2 2,0,0),于是 → → AC· A1B1 4 2 → → cos〈AC,A1B1〉= = = . 3 → → 3 × 2 2 |AC|· |A1B1| 所以异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值为 2 . 3

→ → (2)易知AA1=(0,2 2,0),A1C1=(- 2,- 2, 5). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?m· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?2 2y=0. ? AA1=0. ?m· 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2). 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?n· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?-2 2x=0. ? A1B1=0. ?n· 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2). m· n 2 2 于是 cos〈m,n〉= = = , |m|· |n| 7· 7 7 3 5 从而 sin〈m,n〉= . 7 3 5 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为 . 7

(3)由 N 为棱 B1C1 的中点,得 N?

2 3 2 5? . , , 2 2 2 ? ?

2 3 2 5? → 设 M(a,b,0),则MN=? -a, , -b, 2 2? ?2 → → ? A1B1=0, ?MN· 由 MN⊥平面 A1B1C1,得? → → ? A1C1=0. ?MN·

? 2 ? ?-2 2?=0, ? ?? 2 -a?· 即? 2 ? 3 2 ? · ?- 2?+? · ?- ?? ? ? 2 -a? ? 2 -b?

2?+

5 · 5=0. 2

?a= 22, 解得? 2 ?b= 4 .

故 M?

2 2 ? 2 ? → ? 2 , ,0 ,因此BM= , ,0 , 4 ?2 ? ?2 4 ?

10 → 所以线段 BM 的长|BM|= . 4


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