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信号与系统实验报告(实验一)连续时间信号的采样


实验一
一、实验目的

连续时间信号的采样

进一步加深对采样定理和连续信号傅立叶变换的理解。 实验步骤 1.复习采样定理和采样信号的频谱 采样定理 如果采样频率 Fs 大于有限带宽信号 x a (t ) 带宽 F0 的两倍,即 Fs > 2F0 (1)

则该信号可以由它的采样值 x(n) = x a

(nTs ) 重构。否则就会在 x(n) 中产生混 叠。该有限带宽模拟信号的 2F0 被称为乃魁斯特频率。 必须注意,在 x a (t ) 被采样以后, x(n) 表示的最高模拟频率为 Fs / 2 Hz(或 必须注意

ω =π ) 。
2.熟悉如何用 MATLAB 语言实现模拟信号表示 严格地说,除了用符号处理工具箱(Symbolics)外,不可能用 MATLAB 来分析 模拟信号。然而如果用时间增量足够小的很密的网格对
xa (t )

采样,就可得到一

根平滑的曲线和足够长的最大时间来显示所有的模态。这样就可以进行近似分 析。令 ?t 是栅网的间隔且 ?t << Ts ,则
xG (m) = xa (m?t )
?

(2)

可以用一个数组来仿真一个模拟信号。 不要混淆采样周期 Ts 和栅网间隔 ?t , 因为后者是 MATLAB 中严格地用来表示模拟信号的。类似地,付利叶变换关系也 可根据(2)近似为:

X a ( j?) ≈ ∑ xG (m)e ? j?m?t ?t = ?t ∑ xG (m)e ? j?m?t
m m

(3)

现在,如果 x a (t ) (也就是 xG (m) )是有限长度的。则公式(3)与离散付利 叶变换关系相似,因而可以用同样的方式以 MATLAB 来实现,以便分析采样现象。 3.根据提供的例子程序,按照要求编写实验用程序; 根据提供的例子程序,按照要求编写实验用程序; 三、实验内容 (1) 通过例一熟悉用 MATLAB 语言实现描绘连续信号的频谱的过程, 并在 MATLAB 语言环境中验证例 1 的结果; 例 1、令 x a (t ) = e
?1000 t

,求出并绘制其付利叶变换。

解:根据傅立叶变换公式有

X a ( j?) = ∫ xa (t )e? j?t dt = ∫ e1000t e? j?t dt + ∫ e?1000t e? j?t dt =
?∞ ?∞ 0



0



0.002 ? 2 1+ ( ) 1000

(4)

因为 x a (t ) 是一个实偶信号,所以它是一个实值函数。为了用数值方法估计
X a ( j?) ,必须先把 x a (t ) 用一个栅格序列 xG (m) 来近似。

利用 e

?5

≈ 0 ,注意 x a (t ) 可以用一个在 ? 0.005 ≤ t ≤ 0.005 (或等效地

[-5,5]毫秒)之间的有限长度信号来近似。 类似地从式(4) X a ( j?) ≈ 0 ,当 ? ,
?5

≥ 2π ( 2000)

我的理解:此时的 X a ( j?) ≈ 1.26 * e ) 。 也 就 是 WM = ? = 2π (2000) , 那 么 Ws = 2*WM = 2 * 2π (2000) , 所 以
T = 2π / Ws = 1 = 25 × 10 ?5 ,所以: 2(2000)

由此选:

?t = 5 × 10 ?5 <<

1 = 25 × 10 ?5 2(2000)

利用 matlab 语言对例一结果验证: %模拟信号 Dt=0.00005; t=-0.005:Dt:0.005; xa=exp(-1000*abs(t)); %连续时间傅立叶变换 Wmax=2*pi*2000; K=500; k=0:1:K; W=k*Wmax/K; Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt; Xa=real(Xa); W=[-fliplr(W),W(2:501)];%频率从-Wmax to Wmax Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)];%Xa 介于 -Wmax 和 Wmax 之间 subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('xa(t)'); title('模拟信号') subplot(2,1,2); plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000); xlabel('频率(单位:Hz)'); ylabel('Xa(jW)*1000') title('连续时间傅立叶变换')

xa1 (t ) = e

?1000 2 t

解:由傅里叶变换:

X a1 ( j?) = ∫ xa1 (t )e? j?t dt = ∫ e2000t e? j?t dt + ∫ e?2000t e? j?t dt =
?∞ ?∞ 0



0



0.001 ? 2 1+ ( ) 2000

同样由于 e?5 ≈ 0 ,得出 ?0.0025 ≤ t ≤ 0.0025 ,即[-2.5,2.5]毫秒。若 X a1 ( jw) ≈ 0 , 得出 w ≥ 4π (2000) ,即: WM = 4π (2000) , Ws = 2*WM = 2 * 4π (2000) ,所以
T= 2π 1 = = 12.5 × 10?5 ,所以取 ?t = 2 ×10 ?5 Ws 4 × 2000 12.5 × 10?5 。

MATLAB 编程如下: % 模拟信号 Dt=0.00002; t=-0.0025:Dt:0.0025; xa=exp(-1000*abs(2*t)); %连续时间傅立叶变换 Wmax=2*pi*5000; K=500; k=0:1:K; W=k*Wmax/K; Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt; Xa=real(Xa); W=[-fliplr(W),W(2:501)];%频率从-Wmax to Wmax

Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)];%Xa 介于 -Wmax 和 Wmax 之间 subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('xa(t)'); title('模拟信号') subplot(2,1,2); plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000); xlabel('频率(单位:Hz)'); ylabel('Xa(jW)*1000') title('连续时间傅立叶变换')

当 xa 2 (t ) = e

?1000 0.5t

时的分析类似,求得的傅里叶变换:

X a 2 ( j?) =

0.004 ? 2 1+ ( ) 500

同样由于 e?5 ≈ 0 ,得出 ?0.01 ≤ t ≤ 0.01 ,即[-10,10]毫秒。若 X a1 ( jw) ≈ 0 ,得出 w ≥ 2π (500) ,即: WM = 2π (500) , Ws = 2*WM = 2 * 2π (500) ,所以
T= 2π 1 = = 1×10 ?3 ,所以取 ?t = 5 × 10?5 Ws 2 ( 500 ) T。

MATLAB 编程如下:
Dt=0.00005; t=-0.01:Dt:0.01; xa=exp(-1000*abs(0.5*t)); %连续时间傅立叶变换

Wmax=2*pi*2000; K=500; k=0:1:K; W=k*Wmax/K; Xa=xa*exp(-j*t'*W)*Dt; Xa=real(Xa); W=[-fliplr(W),W(2:501)];%频率从-Wmax to Wmax Xa=[fliplr(Xa),Xa(2:501)];%Xa 介于 -Wmax 和 Wmax 之间 subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('xa(t)'); title('模拟信号') subplot(2,1,2); plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000); xlabel('频率(单位:Hz)'); ylabel('Xa(jW)*1000') title('连续时间傅立叶变换')

(2)仿照例 2 用 MATLAB 语言实现对连续信号

xa1 (t ) = e
例2 中的 x a (t ) 进行采样。

?1000 2 t

和xa 2 (t ) = e

?1000 0.5t

的采样;并验证采样定理。

为了研究采样对频域各量的影响,这里用两个不同的采样频率对例 1

a.以 Fs = 5000 样本/秒采样 x a (t ) 得到 x1 (n) 。求并画出 X 1 (e jω ) 。 b.以 Fs = 1000 样本/秒采样 x a (t ) 得到 x 2 (n) 。求并画出 X 2 (e jω ) 。

解:a.因为 x a (t ) 的带宽是 2kHz,奈魁斯特频率为 4000 样本/秒。它比所给 的采样频率 Fs 低,因此混叠将(几乎)不存在。 % 模拟信号 Dt=0.00005; t=-0.005:Dt:0.005; xa=exp(-1000*abs(t)); %离散时间信号 Ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)'); title('离散信号');hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X); xlabel('以 pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)'); title('离散时间傅立叶变换');

图 2 例 2 (a)中的曲线 )

在图 2 的上面的图中,把离散信号 x1 (n) 和 x a (t ) 叠合在一起以强调采样。 X 1 (e jω ) 表明它是一个放大了( Fs = 5000 倍)的 X a ( j?) 曲线。显然,不存在混 叠现象。 b.此时, Fs = 1000 < 4000 。因此必然会有明显的混叠出现。从图 3 可以看 得很清楚,其中 X 2 (e jω ) 的形状和 X a ( j?) 不同了,可以看出这是把互相交叠的 X a ( j?) 的复制品叠加的结果。 % 模拟信号 Dt=0.00005;t=-0.005:Dt:0.005;xa=exp(-1000*abs(t)); %离散时间信号 Ts=0.001;n=-5:1:5;x=exp(-1000*abs(n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w);X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x2(n)'); title('离散信号');hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=1 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X); xlabel('以 pi 为单位的频率');ylabel('X2(w)');title('离散时间傅立叶变换');

图 3 例 2 (b)的曲线 ) 仿照例二对问题(2)求解:

1.当 xa1 (t ) = e

?1000 2 t

时:

1)若 Fs = 5000 ,结果如下: % 模拟信号 Dt=0.00002; t=-0.0025:Dt:0.0025; xa=exp(-1000*abs(2*t)); %离散时间信号 Ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)'); title('离散信号');hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X); xlabel('以 pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)');

title('离散时间傅立叶变换');

2)若 Fs = 1000 ,结果如下: % 模拟信号 Dt=0.00002; t=-0.0025:Dt:0.0025; xa=exp(-1000*abs(2*t)); %离散时间信号 Ts=0.001;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(2*n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)'); title('离散信号');hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X);

xlabel('以 pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)'); title('离散时间傅立叶变换');

2. xa 2 (t ) = e

?1000 0.5t

1)若 Fs = 5000 ,结果如下: % 模拟信号 Dt=0.00005; t=-0.01:Dt:0.01; xa=exp(-1000*abs(0.5*t)); %离散时间信号 Ts=0.0002;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒'); ylabel('x1(n)'); title('离散信号');hold on

stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X); xlabel('以 pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)'); title('离散时间傅立叶变换');

2)若 Fs = 1000 ,结果如下: % 模拟信号 Dt=0.00005; t=-0.01:Dt:0.01; xa=exp(-1000*abs(0.5*t)); %离散时间信号 Ts=0.001;n=-25:1:25;x=exp(-1000*abs(0.5*n*Ts)); %离散时间傅立叶变换 K=500; k=0:1:K; w=pi*k/K; X=x*exp(-j*n'*w); X=real(X); w=[-fliplr(w),w(2:K+1)]; X=[fliplr(X),X(2:K+1)]; subplot(1,1,1) subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa); xlabel('t 毫秒');

ylabel('x1(n)'); title('离散信号');hold on stem(n*Ts*1000,x);gtext('Ts=0.2 毫秒');hold off subplot(2,1,2); plot(w/pi,X); xlabel('以 pi 为单位的频率'); ylabel('X1(w)'); title('离散时间傅立叶变换');

四、实验结论: 实验结论: 1.通过实验说明信号的时域与频域成反比的关系;实验中时域扩展 2 倍,则其 带宽相应压缩 2 倍,反之,频域扩展 2 倍,时域压缩 2 倍。从而证明了时域与 频域的相反关系。 2.可以求出 xa1 (t ) = e
?1000 2 t

的采样间隔为 ?t1 = 0.00002 , xa 2 (t ) = e

?1000 0.5t



采样间隔为: ?t2 = 0.00005 。


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