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第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用


第4讲 正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 【2013 年高考会这样考】 1.考查正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 2.结合三角恒等变换考查 y=Asin(ωx+φ)的性质及简单应用. 3.考查 y=sin x 到 y=A sin(ωx+φ)的图象的两种变换途径. 【复习指导】 本讲复习时,重点掌握正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的“五

点”作图法,图 象的三种变换方法,以及利用三角函数的性质解决有关问题. 基础梳理 1.用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示 x 0-φ ω 0 0 π 2-φ ω π 2 A π-φ ω π 0 3π 2 -φ ω 3π 2 -A 2π-φ ω 2π 0 ωx+φ y=Asin(ωx+φ) 2.函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 3.当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈[0,+∞))表示一个振动时,A 叫做 2π 1 振幅,T= ω 叫做周期,f=T叫做频率,ωx+φ 叫做相位,φ 叫做初相. 4.图象的对称性 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象是轴对称也是中心对称图形, 具体如下: π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于直线 x=xk(其中 ωxk+φ=kπ+2,k∈Z)成轴 对称图形. (2)函数 y=Asin(ωx+φ)的图象关于点(xk,0)(其中 ωxk+φ=kπ, k∈Z)成中心对称图 形. 一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= M+m 2π = 2 ,ω 由周期 T 确定,即由 ω =T 求出,φ 由特殊点确定. 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换 再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位 |φ| 变换,平移的量是 ω (ω>0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而 言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 两个注意 作正弦型函数 y=Asin(ωx+φ)的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象, 就可根据周期性作出整个函数的图象. 双基自测 π? ? 1.(人教 A 版教材习题改编)y=2sin?2x-4? 的振幅、频率和初相分别为( ? ? 1 π A.2,π,-4 1 π C.2,π,-8 答案 A π? ? 2.已知简谐运动 f(x)=Asin(ωx+φ)?|φ|<2?的部分图象如图所示,则该简谐运动的 ? ? 最小正周期 T 和初相 φ 分别为( ). 1 π B.2,2π,-4 1 π D.2,2π,-8 ). M-m 2 ,k π A.T=6π,φ=6 π C.T=6,φ=6 解析 π B.T=6π,φ=3 π D.T=6,φ=3 π 由题图象知 T = 2(4 - 1) = 6 ? ω = 3 ,由图象过点 (1,2) 且 A = 2 ,可得 π π ?π ? sin?3×1+φ?=1,又|φ|< ,得 φ= . 2 6 ? ? 答案 C π 3.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移2个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解析式应为( A.-sin x B.sin x ). C.-cos x D.co

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