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2015年1月上海市静安区高三数学(文理科)一模试卷及参考答案


2015 年 1 月上海市静安区高三数学(文理合卷)一模试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.文:1.计算: lim

n2 ? n ? ?? 12n 2 ? 7

.

理:已知集合 M ? y

y ? 2 x, x ? 0 , N ? x y ? lg(2 x ? x 2 ) ,则 M ? N ? 2.文:同理 1 理:设 (1 ? x) 8 ? a0 ? a1 x ? ? ? a7 x 7 ? a8 x 8 ,则 a0 ? a1 ? ? ? a7 ? a8 ?

?

?

?

?

.

.

3.文:已知等差数列 ?an ? 的首项为 3,公差为 4,则该数列的前 n 项和 Sn ? ________. 理:不等式 1 ?

7 ? 0 的解集是 2x ? 1

. 种

4.文:一个不透明袋中有 10 个不同颜色的同样大小的球,从中任意摸出 2 个,共有 不同结果.(用数值作答) 与底面 ABCD 所成角的大小为 是 .

理:如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 PA ? 底面 ABCD , PA ? 1 ,底面 ABCD 是正方形, PC

? ,则该四棱锥的体积 6

P A D C

5.文:不等式

x?4 ? 0 的解集是 2x ? 1

.

B

理 : 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 an ? 2 2?n ? 2 n?1 ( 其 中 n ? N * ) ,则该数列的前

n 项和

Sn ?
6.文:同理 2

.

理:已知两个向量 a , b 的夹角为 30°, a ? 3 , b 为单位向量, c ? t a ? (1 ? t )b , 若 b ? c =0, 则t = .

7.文:已知圆锥底面圆的半径为 1,侧面展开图是一个圆心角为 是 .

2? 的扇形,则该圆锥的侧面积 3

5 (其中 x ? 0) ,则 x ? . 4 8. 文: 已知角 ? 的顶点与直角坐标系的原点重合, 始边在 x 轴的正半轴上, 终边在射线 y ? ?2 x ( x ? 0) 上,则 sin 2? ? .
理:已知 f ( x) ? x x ? 1 ? 1, f (2 x ) ?
第 1 页 共 10 页

理: 已知△ ABC 的顶点 A(2,6) 、 则△ ABC 的内角 ?BAC 的大小是 B(7,1) 、 C (?1,?3) , (结果用反三角函数值表示) 9.文:同理 6 理:若 ? 、 ? 是一元二次方程 2 x 2 ? x ? 3 ? 0 的两根,则

.

1

?

?

1

?

=

.

10.文:已知两条直线的方程分别为 l1 : x ? y ? 1 ? 0 和 l 2 : 2 x ? y ? 2 ? 0 ,则这两条直线的夹角大小 为 .(结果用反三角函数值表示)

理:已知 tan ? 、 tan ? 是方程 x 2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根, ? 、 ? ? (?

? ?

, ) ,则 ? ? ? = 2 2
.

.

11.文:同理 10 理:直线 l 经过点 P ( ?2,1) 且点 A(?2,?1) 到直线 l 的距离等于 1,则直线 l 的方程是 12.文:同理 11 理:已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? 1 ,则

y?2 的取值范围是 x

.

13.文:同理 12 理:一个无穷等比数列的首项为 2,公比为负数,各项和为 S ,则 S 的取值范围是 . 14.文:同理 13 理:两名高一年级的学生被允许参加高二年级的学生象棋比赛,每两名参赛选手之间都比赛一次, 胜者得 1 分,和棋各得 0.5 分,输者得 0 分,即每场比赛双方的得分之和是 1 分. 两名高一年级的学生共得 8 分,且每名高二年级的学生都得相同分数,则有 名高二年级 的学生参加比赛.(结果用数值作答) 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.在下列幂函数中,是偶函数且在 (0,?? ) 上是增函数的是 ( ) A. y ? x ?2 ; B. y ? x
? 1 2 1 2



C. y ? x 3 ;

D. y ? x 3 y 1 3 N 1 2 1 1 1 M 1 2 3 A 1

16 . 已 知 直 线 l1 : 3x ? (k ? 2) y ? 6 ? 0 与 直 线

l 2 : kx ? (2k ? 3) y ? 2 ? 0 ,记 D ?
两条直线 l1 与直线 l 2 平行的(

3 ? (k ? 2) . D ? 0是 k 2k ? 3
)

A.充分不必要条件; B.必要不充分条件 ; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件

-4 -3 -2 -1 -1 P -2 1 -3

Q 1

4

x 1

17.已知 i 为虚数单位,图中复平面内的点 A 表示复数 z ,则表示复数

z 的点是 ( 1? i

)

第 2 页 共 10 页

A. M

B. N

C. P

D. Q ) D.8 个

18.到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( A.1 个; B.4 个; C.7 个;

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在锐角 ?ABC 中,a、b、c 分别为内角 A、B、C 所对的边长,且满足 (1)求?B 的大小; (2)若 b ?

sin A 3 ? . a 2b

7 , ?ABC 的面积 S?ABC ?

3 3 ,求 a ? c 的值. 4

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. 某地的出租车价格规定:起步费 a 元,可行 3 公里,3 公里以后按每公里 b 元计算,可再行 7 公里; 超过 10 公里按每公里 c 元计算(这里 a 、 b 、 c 规定为正的常数,且 c ? b ) ,假设不考虑堵车和红绿 灯等所引起的费用,也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况,即每一次乘车的车费 由行车里程唯一确定. (1)若取 a ? 14 , b ? 2.4 , c ? 3.6 ,小明乘出租车从学校到家,共 8 公里,请问他应付出租车费多 少元?(本小题只需要回答最后结果) (2)求车费 y (元)与行车里程 x (公里)之间的函数关系式 y ? f ( x) .

第 3 页 共 10 页

21.文:(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2,点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM ? 平面
ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于点 N .

(1)求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小; (结果用反三角函数值表示) (2)求三棱锥 P ? BMN 的体积. B1 P A B M N C A1 C1 D1

D

理:(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图,长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB ? AD ? 2 , AA1 ? 4 ,点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 上的 动点(不包括端点). PM ? 平面 ABCD 交 AD 于点 M , MN ? BD 于点 N . (1)设 AP ? x ,将 PN 长表示为 x 的函数; (2)当 PN 最小时,求异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小. (结果用反三角函数值表示) A1 B1 C1 D1

P

A B

M N C

D

第 4 页 共 10 页

22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) (其中 a ? 1 ). (1)判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由; (2)文:求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f 理:判断
?1

( x) ;

f (m) ? f (n) (其中 m, n ? R 且 m ? n ? 0 )的正负号,并说明理由; m?n

(3) 若两个函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭区间 [ p, q ] 上恒满足 F ( x) ? G( x) ? 2 ,则称函数 F ( x) 与 G ( x) 在闭 区间 [ p, q ] 上是分离的. 试判断 y ? f ( x) 的反函数 y ? f
?1

( x) 与 g ( x) ? a x 在闭区间 [1,2] 上是否分离?若分离,求出实数 a 的

取值范围;若不分离,请说明理由.

23.(本题满分 16 分) 文:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 7 分. 理:本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满分 7 分. 在数列 ?a n ? 中,已知 a 2 ? 1 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ? (1)文:求 a 1 ; 理:求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)文:求数列 ?a n ? 的通项公式; 理:求 lim

n(an ? a1 ) .(其中 n ? N * ) 2

Sn n2

n ? ??



(3)设 lg bn ?

,问是否存在正整数 p 、 q (其中 1 ? p ? q ) ,使得 b1 , b p , bq 成等比数列? 3n 若存在,求出所有满足条件的数组 ( p , q ) ;否则,说明理由.
第 5 页 共 10 页

an ? 1

静安区 2014 学年第一学期高三年级高考数学模拟文理合卷参考答 案
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结 果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.理: (0,2) ;文:

1 ; 12

2. 理: 2 8 ? 256 ;文: (0,2) 4. 理:

3. 理: ( ,4) ;文: 2n 2 ? n ;
n 5. 理: 4(2 ?

1 2

1 ;文:45 2

1 1 ) ;文: ( ,4) ; n 2 2
1? 2 ;文: 3? ; 2
10. ?

6. 理:?2,文: 2 8 ? 256 8. arccos

7. 理: x ? log 2 9. 理: ?

5 4 ;文: ? 5 5

3 10 2? 1 ;文: arccos (或 arctan ) 10 3 3 1 11. 理: 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 或 ? 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 ; 文: ? 3

1 ;文:?2; 3

12.理: [?2,2] ;

文:

3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0 或 ? 3x ? y ? 1 ? 2 3 ? 0
2 14. 理: nk ? 8 ? Cn ? 2 .7 或者 14;文: 1 ? S ? 2

13. 理: 1 ? S ? 2 ;文: [?2,2] ;

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答案纸的 相应编号上,填上正确的答案,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.D ; 16.B ; 17. D ;18.C

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内 写出必要的步骤 . 19.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)根据正弦定理

sin A 3 sin B 3 a b ? ? ,得 ,所以 sin B ? ,………(4 分) ? a 2 b b 2 sin A sin B

又由角 B 为锐角,得 B ? (2) S ?ABC ?

?
3

;…………………………(6 分)

3 1 3 ,所以 ac ? 3 ,…………………………(8 分) ac sin B ,又 S?ABC ? 4 2

根据余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得

a 2 ? c 2 ? b 2 ? 2ac cos B ? 7 ? 3 ? 10 ,…………………………(12 分)
第 6 页 共 10 页

所以 (a ? c) 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac =16,从而 a ? c =4.…………………………(14 分)

20.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分. (1)他应付出租车费 26 元;……………………………( 4 分)

(0 ? x ? 3) ?a, ? (2) y ? ?bx ? a ? 3b (3 ? x ? 10) ?cx ? a ? 7b ? 10c ( x ? 10) ?

, 

………………( 6 分) ………………( 10 分) ………………(1 4 分)

文 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. (1) 因为点 P 为面 ADD1 A1 的对角线 AD1 的中点. PM ? 平面 ABCD , 所以 PM 为△ ADD1 的中位线, 得 PM ? 1, 又 MN ? BD ,所以 MN ? ND ?

2 2 MD ? ………………( 2 分) 2 2

因为在底面 ABCD 中,MN ? BD, AC ? BD , 所以 MN // AC , 又 A1C1 // AC , ? PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角,………………( 6 分) 在△ PMN 中,? PMN 为直角, tan ?PNM ? 2 ,所以 ?PNM ? arctan 2 。 即异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小为 arctan 2 。………………………( 8 分) (2) BN ? 2 2 ?

2 ,………………………(9 分) 2

1 1 VP? BMN ? ? ? PM ? MN ? BN ,………………………( 12 分) 3 2
计算得三棱锥 P ? BMN 的体积为

1 。………………………( 14 分) 4

理 21.(本题满分 14 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. (1)在△ APM 中, PM ? 其中 0 ? x ? 2 5 ; 在△ MND 中, MN ?

2 5x 5x , AM ? ; 5 5

………………………( 2 分)

………………………( 3 分)

2 5 (2 ? x) , …………………………( 4 分) 2 5

在△ PMN 中, PN ?

9 2 2 5 x ? x ? 2 , x ? (0,2 5 ) ……………………………( 6 分) 10 5
第 7 页 共 10 页

(2)当 x ?

2 5 4 ? (0,2 5 ) 时, PN 最小,此时 PN ? .……………………………(8 分) 9 3

因为在底面 ABCD 中,MN ? BD, AC ? BD , 所以 MN // AC , 又 A1C1 // AC , ? PNM 为异面直线 PN 与 A1C1 所成角的平面角,…………………( 11 分)

2 2 ,所以 ?PNM ? arctan , 4 4 2 1 异面直线 PN 与 A1C1 所成角的大小 arctan (或 arcsin 等)……………( 14 分) 4 3 22.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分.
在△ PMN 中,? PMN 为直角, tan ?PNM ? (1)因为 x 2 ? 1 ? x ? x ? x ? 0 ,所以函数 y ? f ( x) 的定义域为实数集 R ;………………………… ( 1 分) 又 f ( x) ? f (?x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x 2 ) ? 0 , 所以函数 y ? f ( x) 是奇函数.…………………………(4 分) (2)因为 a ? 1 ,所以 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 [0,?? ) 上递增,以下给出证明:任取 0 ? x1 ? x 2 , 设 u1 ? x1 ? 1 ? x1 , u 2 ? x 2 ? 1 ? x 2 ,则 u1 ? u 2 ?
2 2

x1 ? x 2
2

2

2 2

x1 ? 1 ? x 2 ? 1


? ( x1 ? x 2 )

=

( x1 ? x2 )(

x1 ? x2 x1 ? 1 ? x2 ? 1
2 2

? 1) ? 0





0 ? u1 ? u 2





0?

u1 ?1 u2



f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? log a

u1 ? 0 .……………………( 6 分) u2

又 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 为奇函数,所以 f (?n) ? ? f (n) 且 f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 在 (??,?? ) 上 递增. 所以 m ? n ? m ? (?n) 与 f (m) ? f (n) ? f (m) ? f (?n) 同号, 所以,当 a ? 1 时,

f (m) ? f (n) ?0. m?n

f (m) ? f (n) ? 0 .……( 8 分) m?n 1 1 (3) f ?1 ( x ) ? a x ? , x ? R …………………………( 10 分) 2 2a x
1 x 1 1 1 a ? x ? a x ? 2 在区间 [1,2] 上恒成立,即 a x ? x ? 2 , 2 2 2a a
第 8 页 共 10 页

或ax ?

1 ? 4 在区间 [1,2] 上恒成立,…………………………( 12 分) ax

令 ax ? t 因为 a ? 1 , a x ? t ?[a, a 2 ] , t ? 在 t ?[a, a 2 ] 递增,所以 (t ? ) min ? a ? 所以, a ? (2 ? 3,??) .…………………………( 16 分) 文:(1)同理 22(1) ; (2)由

1 t

1 t

1 ? 4 ,解得 a ? 2 ? 3 ; a

x 2 ? 1 ? x ? 0 且 当 x ? ?? 时

x 2 ? 1 ? x ? 0 , 当 x ? ?? 时

x 2 ? 1 ? x ? ?? 得

f ( x) ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 的值域为实数集。
解 y ? loga ( x 2 ? 1 ? x) 得 f (3)
?1

( x) ?

1 x 1 a ? , x ? R ……( 8 分) 2 2a x

1 x 1 1 1 a ? x ? a x ? 2 在区间 [1,2] 上恒成立,即 a x ? x ? 2 , 2 2 2a a
1 ? 4 在区间 [1,2] 上恒成立,…………………………( 11 分) ax

或ax ?

令 ax ? t 因为 a ? 1 , a x ? t ?[a, a 2 ] , t ? 在 t ?[a, a 2 ] 递增,所以 (t ? ) min ? a ? 所以, a ? (2 ? 3,??) .…………………………( 16 分) 23.文(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满 分 7 分.

1 t

1 t

1 ? 4 ,解得 a ? 2 ? 3 ; a

n(an ? a1 ) (a ? a1 ) ,令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ? 0 ,所以 a1 ? 0 ;………( 3 分) 2 2 2(a2 ? a1 ) 或者令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 (2)当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
(1)因为 S n ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,…………(7 分) ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 , 所 以 an?1 ? n 当 n ? 1,2 时 也 成 立 , 所 以 a n ? n ? 1 , ( n ? N * )………………………( 9 分) 理 23.(本题满分 16 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 3 分,第 3 小题满 分 7 分.
第 9 页 共 10 页

n(an ? a1 ) 2(a2 ? a1 ) ,令 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? ,所以 a1 ? 0 ; ( 2 分) 2 2 (a ? a1 ) (或者令 n ? 1 ,得 a1 ? 1 ?0) 2 (n ? 1)(an?1 ? a1 ) (n ? 1)an?1 当 n ? 2 时, S n?1 ? ? 2 2
(1)因为 S n ?

an?1 ? S n?1 ? S n ?

a a (n ? 1)an?1 nan n n , n ?1 ? ,推得 n ?1 ? ,…………(5 分) ? an n ?1 a3 3 ?1 2 2

又 a 2 ? 1 , a3 ? 2a 2 ? 3 ,所以 an?1 ? n 当 n ? 1,2 时也成立,所以 a n ? n ? 1 , ( n ? N *) ( 6 分) (2) lim

Sn n
2

n ? ??

=

1 ………………………( 9 分) 2

(3)文理相同:假设存在正整数 p 、 q ,使得 b1 , b p 、 bq 成等比数列,则 lg b1 , lg b p 、 lg bq 成等

2p 1 q ? ? , (**)………………………( 11 分) 3 p 3 3q 2p 1 p 1 1 由于右边大于 ,则 p ? ,即 p ? . 3 6 3 3 3
差数列,故

p ?1 p 1? 2p ? p? ? p? 考 查 数 列 ? p ? 的 单 调 性 , 因 为 p ?1 ? p ? p ?1 ? 0 , 所 以 数 列 ? p ? 为 单 调 递 减 数 3 3 3 ?3 ? ?3 ?
列.………………………( 14 分) p 2 1 p 1 q 1 当 p ? 2 时, p ? ? ,代入(**)式得 q ? ,解得 q ? 3 ;当 p ? 3 时, p ? (舍) . 9 6 9 9 3 3 3 综上得:满足条件的正整数组 ( p , q ) 为 (2,3) .………………………( 16 分) 2p 1 q (说明:从不定方程 p ? ? q 以具体值代入求解也参照上面步骤给分) 3 3 3

第 10 页 共 10 页


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