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湖南省衡阳县第四中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题


衡阳县四中 2014-2015 下学期高二期末考试 理科数学试卷
本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.设随机变量 A.0.3 ,若 B.0.4 C.0. 6 ,则 D.0.7 ) 等于

2 2 2.已知 a,b 均为非零实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

/>A.充分而不必要条件 C.充要条件 3.设曲线 A.0 4.设 B.1 为实数,若复数

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 在点(0,0)处的切线方程为 C.2 D.3 ,则 的值为

1 ? 2i ? 1 ? i ,则 a ? bi

5.已知递减的等差数列 ?a n ?满足 a1 ? a9 ,则数列 ?a n ?的前 n 项和 S n 取最大值时,
2 2

) A.3 B. 4 或 5 C.4 D.5 或 6 6. 阅读下图所示的程序框图,当输入的值为 3 时,输出的结果是(

n =(

)

A.3

B.8

C.12

D.20

7.如图,在△ ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 ,D 是 BC 的中点, 则 AD ? BC ? ( A.3 B.4 ) . C.5 D.不能确定

8.2015 年 6 月 20 日是我们的传统节日——”端午节”,这天小明的妈妈为小明煮了 5 个粽子, 其中两个腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事件 A ? “取到的两个为同一种馅”,事 件 B ? “取到的两个都是豆沙馅”,则 P ( B | A) ? ( )

A.

3 4

B.

1 4

C.

1 10

D.

3 10

9.若直线 ax ? by ? 2 ? 0(a ? 0, b ? 0) 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ?1 ? 0 所截得的弦长为 6,则

2 3 ? 的最小值为( ) a b A. 10 B. 4 ? 2 6

C. 5 ? 2 6

D. 4 6

10 . 函 数 f ( x) ? sinx 在 区 间 (0, 10? ) 上 可 找 到 n 个 不 同 数 x1 , x2 , ? , xn , 使 得

f ( xn ) f ( x1 ) f ( x2 ) ,则 n 的最大值等于( ? ? ?? ? x1 x2 xn
A. 8 B. 9 C. 10 D.11



x2 y 2 ? ? 1 ?a ? 0, b ? 0? 的右顶点为 a 2 b2 以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的一条渐近线交于 A, O 为坐标原点, ???? ??? ? 两点 P, Q . 若 ?PAQ ? 60? 且 OQ ? 3OP , 则双曲线 C 的离心率为
11.如图,已知双曲线 C : ( A. )

2 3 3

B.

7 2

C.

39 6

D. 3

?y ? 4 ? 12 .已知点 P( x, y ) 是平面区域 ? x ? y ? 0 内的动点,点 A(1, ?1) , O 为坐标原点,设 ? x ? m( y ? 4) ?
??? ? ??? ? | OP ? ? OA | (? ? R) 的最小值为 M ,若 M ? 2 恒成立,则实数 m 的取值范围是(
A. [ ? )

1 1 , ] 3 5

B. (?? , ? ] ? [ , ? ?)

1 3

1 5

C. [ ?

1 , ? ?) 3

D. [ ?

1 , ? ?) 2

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.抛物线 y ? 4 x 上一点 M 到焦点的距离为 1 ,则点 M 到 x 轴的距离是
2

. .

14.已知向量 a,b 满足 (a ? 2b) ? (a ? b) ? ?6 ,且 | a |? 1,| b | ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

?? x 2 ? x ( x ? 0) 15.已知函数 f ( x) ? ? 2 ,对任意的 x ? [0,1] ,恒有 f ( x ? a) ? f ( x) 成立, ? x ? x ( x ? 0)
则实数 a 的取值范围是 .

Sn 为其前 n 项和, 16. 已知数列 ?an ? 是各项均不为 0 的等差数列, 且满足 an2 ? S2n?1 n ? N ? . 若
不等式

?

?

?
an ?1



n ? 8 ? (?1)n 对任意的 n ? N ? 恒成立,则实数 ? 的最大值为 n



三、解答题(本大题共有 70 分,请写出必要的证明或计算过程) 17.(本题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a 5 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; 设 bn ?

? 3, a17 ? 2a8 .

1 a n ?1 a n

(n ? N ? ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

18.(本小题共 12 分)设向量 a ? ( 3 sin x, sin x), b ? (cos x, sin x), x ? ?0,
? ?

? ?? ? 2? ?

(1)若 a ? b ,求 x 的值;

(2)设函数 f ( x) ? a ? b ,求 f ( x ) 的最大值.

? ?

19.(本题满分 12 分) 甲、乙、丙三人进行象棋比赛,每两人比赛一场,共赛三场.每场比赛胜者得 3 分,负

1 2 者得 0 分,没有平局,在每一场比赛中,甲胜乙的概率为 ,甲胜丙的概率为 ,乙胜丙的 4 3
概率为

1 5

(Ⅰ)求甲获第一名且丙获第二名的概率: (Ⅱ)设在该次比赛中,甲得分为ξ ,求ξ 的分布列和数学期望。

20. ( 本题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-

A1B1C1 中,

AC=BC=CC1=2, AC⊥BC,D 为 AB 的中点. ( 1 )求证:AC1∥平面 B1CD; ( 2 )求二面角 B-B1C-D 的正弦值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ?x ? ? 1 ? ax ? ln x , (1).若函数在 x ? 2 处的切线斜率为 ?

1 ,求实数 a 的值; 2

(2).若存在 x ? ?0,??? 使 f ?x ? ? 0 成立,求实数 a 的范围; (3).证明对于任意 n ? N , n ? 2 有:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 1 ? ? ? ? ? ? ? 。 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22.(本小题满分 10 分)选修 4 - 1:几何证明选讲 如图所示,AB 是半径为 1 的圆 O 的直径,过点 A,B 分别引弦 AD 和 BE,相交于点 C, 过点 C 作 CF⊥AB,垂足为点 F. (1).求证: AE ? BC ? AC ? BD ; (2).求 BC· BE+AC· AD 的值。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标 方程为 ? ? 2 cos? , ? ? ?0, ? . 2 (Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在半圆 C 上,半圆 C 在 D 处的切线与直线 l: y ? 3x ? 2 垂直,根据(1) 中你得到的参数方程,求直线 CD 的倾斜角及 D 的坐标.

? π? ? ?

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 (1)解关于 x 的不等式 f ( x) ? x 2 ? 1 ? 0 ; (2)若

g ( x) ? ? x ? 3 ? m, f ( x) ? g ( x)

的解集非空,求实数 m 的取值范围.

高二期末考试数学参考答案 一、选择题:DADAB-------BBACCBC 二、填空题: 17.解: (1) a n ? 13.

n ?1 …………6 分 2 2n (2) S n ? ………….12 分 n?2

15 16

14.

? 3

15. {?1,0} ? [1,??)

16.-21

18.

19. 解:(1)甲获第一,则甲胜乙且甲胜丙,

2? 1 1 ? ?? ∴甲获第一的概率为 3. 4 6 ?????2 分
1?
丙获第二,则丙胜乙,其概率为

1 4 ? 5 5 ????4 分

1 4 2 ? ? ∴甲获第一名且丙获第二名的概率为 6 5 15

?????6 分

(2)ξ 可能取的值为 O、3、6??????????7 分 甲两场比赛皆输的概率为

2 1 1 P (? ? ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 3 4 4 ??8 分
甲两场只胜一场的概率为

P(? ? 3) ?

2 1 1 2 7 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 3 4 4 3 12

???9 分

甲两场皆胜的概率为

P(? ? 6) ?
∴ξ 的分布列为 ξ P

2 1 1 ? ? 3 4 6

?????l0 分

0

3

6

1 4

7 12

1 .6

1 7 1 11 ? E? ? 0 ? ? 3 ? ? 6 ? ? 4 12 6 4

????l2 分

20. 解:(1)证明:如图,连接 BC1 交 B1C 于点 E, 则 E 为 BC1 的中点. ∵D 为 AB 的中点,∴在△ABC1 中,AC1∥DE 又 AC1?平面 B1CD,DE?平面 B1CD, ∴AC1∥平面 B1CD (2)∵AC=BC,D 为 AB 的中点, ∴CD⊥AB.又平面 ABC⊥平面 ABB1A1, ∴CD⊥平面 ABB1A1. ∴平面 B1CD⊥平面 B1BD, 过点 B 作 BH⊥B1D,垂足为 H,则 BH⊥平面 B1CD, 连接 EH, ∵B1C⊥BE,B1C⊥EH, ∴∠BEH 为二面角 B-B1C-D 的平面角. BB1· BD 2 在 Rt△BHE 中,BE= 2,BH= = , B1D 3 BH 6 则 sin∠BEH= = . BE 3 即二面角 B-B1C-D 的正弦值为 6 . 3

21.解(1)..由已知: f ?( x) ? (2).由已知 f ?? x ? ?

1 1 1 ? a ,∴由题知 f ?(2) ? ? a ? ? ,解得 a ? 1 , x 2 2

1 ? ax , x

当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ,所以 f ?x ? 在 ?0,??? 单调递增, f ?x ? ? 0 ,一定符合题意; 当 a ? 0 时, f ?? x ? ? 0 ? x ? ? 0,

? ?

1? ? 1? ? ,所以 f ?x ? 单调递增区间为 ? 0, ? ,单调递减区间为 a? ? a?

1 ?1 ? ?1? ? ,?? ? 。? f ?x ?max ? f ? ? ? ln ,由题意知, a ?a ? ?a?
只需满足? f ? x ?max ? f ?

1 ?1? ? ? ln ? 0 ? 0 ? a ? 1 综上: a ? 1 . a ?a?

(3)要证明

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 1 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

只需证

ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n∈N*,n≥2). 22 32 n2 4(n ? 1)

2 2ln 3 2ln n 2n 2 ? n ? 1 只需证 2ln , ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1)

只需证

ln 22 ln 32 ln n2 2n2 ? n ? 1 . ? ? ? ? ? 22 32 n2 2(n ? 1)

由(1)当 x ? ?1, ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,f(x)为减函数, f ?x ? ? 1 ? x ? ln x ? 0 即 ln x ? x ? 1 ,∴ 当 n≥2 时, ln n2 ? n2 ? 1 ,
ln n 2 n 2 ? 1 1 1 1 1 , ? 2 ?1? 2 ?1? ?1? ? n2 n n n(n ? 1) n n ?1

ln 22 ln32 ln n2 ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? ? ??? ? ? 1 ? 1 ? 1 ? <? ? ? ? ? ? ? ? n n ?1? 3 3 ?1? ? 2 2 ?1 ? ? 22 32 n2 ? ? ?
? n ?1? 1 1 2n 2 ? n ? 1 , ? ? 2 n ?1 2(n ? 1)



ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? . 22 32 n2 4(n ? 1)



ln 2 ln 3 ln 4 ln n n2 3 ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 4 n 2?n ? 1? 4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时 请写清题号 22.解(1)连接 BD, ?AEC ? ?ADB, ?ACE ? ?BCD ,? ?AEC ∽ ?BDC

? AE ? BC ? AC ? BD
(2)由题意知∠AEC+∠AFC=180° ,故 A,F,C,E 四点共圆, 所以 BC· BE=BF· BA,①易知∠ADB=90° , 同理可得 AC· AD=AF· AB,② 联立①②,知 BC· BE+AC· AD=(BF+AF)· AB=AB2=22=4.

23.解:(1)C 的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).

? x ? 1 ? cos t , ? y ? sin t 可得 C 的参数方程为 ? (t 为参数,0≤t≤π).??5 分
(2)设 D (1+cos t,sin t),由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心,1 为半径的上半圆,因为 C 在点 D 处 的切线与 l 垂直,所以直线 CD 与 l 的斜率相同, tan t ? 3 ,

t?

π 3 .??8 分

?3 3? π π? ? ? 1 ? cos ,sin ?2, 2 ? ? ? ? 3 3 ? ??10 分 ? ? 故 D 的直角坐标为 ,即 ?
24.解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x 即: x - 1 ? 1 - x 或x - 1 ? x - 1
2 2
2 由 x - 1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2

2

?????2 分

2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

综上原不等式的解为 (Ⅱ)原不等式等价于 令 由

?x x ? 1或x ? 0??????5 分
h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m
,所以 h( x) min ? 4 ,

x-1 ? x ? 3 ? m的解集非空.
,即 ,????8 分

h( x ) ? x - 1 ? x ? 3

x -1 ? x ? 3 ? x -1- x - 3 ? 4

所以 m ? 4 .??????10 分


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