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高二数学理科下学期第一次月考测试题及答案 (1)


高二数学理科下学期第一次月考测试题及答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1. 已知函数 f ( x) ? ax2 ? c ,且 f ?(1) ? 2 则 a 的值为 A.1 B. 2 ( ) C.-1 D. 0 ( )

2.下列求导运算正确的是

1 1 A.( x ? )? ? 1 ? 2 x x

B.(log 2 x)? ?

1 x ln 2

C.(3x )' ? 3x log3 e

D.( x2 cos x)' ? ?2x sin x
) D.第四象限 ( D.12 ( C. [1 ? ) )

3.在复平面内,复数 z ? i(1 ? 2i) 的共轭复数的对应点位于( A. 第一象限
2

B.第二象限

C.第三象限

4.函数 y ? (2 x ? 1) 在 x ? 1 处的导数值是 A. 6 B.8 C.10

6.函数 f ( x) ? sin x ? x, x ? [ ? A. [1 ?

? ?

?
2

, ] 值域是 2 2

, 0]

B. [?1,0]

? ?
2 2 ,

? 1]

D. [0,

?
2

? 1]

10.对于函数 y ?

3x ,下列判断正确的是( 1 ? x2



A.有极小值 ?3 ,极大值 3 C.无极小值,有极大值

B. 有极小值 ?

3 3 ,极大值 2 2

3 2

D. 无极小值,无极大值

11.函数 y ? f ( x) 在定义域 ( ?

3 , 3) 内可导,其图 2

像如图所示.记 y ? f ( x) 的导函数为 y ? f ?( x) , 则不等式 f ?( x) ? 0 的解集为 1 A.[- ,1]∪[2,3) 3 3 1 C.[- , ]∪[1,2) 2 2 ( )

1 4 8 B.[-1, ]∪[ , ] 2 3 3 3 1 1 4 4 D.(- ,- ]∪[ , ]∪[ ,3) 2 3 2 3 3 )

12.函数 y ? f ( x) 的图像如图所示,下列数值排序正确的是(

A. C.

0 ? f ?(2) ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) 0 ? f ?(3) ? f ?(2) ? f (3) ? f (2)

B. D.

0 ? f ?(3) ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) 0 ? f (3) ? f (2) ? f ?(2) ? f ?(3)

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
13.求函数 f ( x) ? ( x ? 3)e x 的单调递增区间是 _______________________. 15.已知平行四边形 OABC 的顶点 A, B 分别对应复数 1 ? 3i, 4 ? 2i ,点 O 为复平面的原点, 那么顶点 C 对应的复数是

三、解答题(21、22 题 13 分,其他各题各 12 分,共 74 分)
17.(本小题满分 12 分)

m 2 ? 4m ? 5 z? ? ( m 2 ? 2m ? 15)i m?3 已知复数 ,m? R. (1)若复数 z 是纯虚数,求 m 的值; (2)若复数 z 是实数,求 m 的值.
19.(本小题满分 12 分) 设 函 数 f ( x) ? 2 x ? 3ax ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及
3 2

x ? 2 处取得极值.
(Ⅰ)求 a、b 的值;

3] 上的 (Ⅱ)当 c ? ?2 时,求函数 f ( x) 在区间 [0,
最大值. 22. (本小题满分 13 分)

1 已知函数 f ( x) ? a ln x ? , a ? R . x
(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的单调区间; (3)当 a ? 1 ,且 x ≥ 2 时,证明: f ( x ? 1) ≤ 2 x ? 5 .

高二数学理科下学期第一次月考测试题答案
一、选择题

1 A

2 B

3 C

4 D

5 D

6 C

7 C

8 D

9 B

10 B

11 A

12 B

二、填空题 13. ?2,??? 14. 4 15. 3 ? 5i 16. ?

1 32

三、解答题
(2) ? 复数z是实数 m?3? 0 ? ?? 2 ?m ? 2m ? 15 ? 0 ?m ? 5

17.解: (1) ? 复数z是纯虚数 ? m 2 ? 4m ? 5 ?0 ? m ? 3 ? ?? m?3? 0 ?m 2 ? 2m ? 15 ? 0 ? ?

? m ? ?1

1? ? 1? ? 1? 18.解: ? ?a+b?+?c+a?+?b+c? 1? ? 1? ? 1? =? ?a+a?+?b+b?+?c+c?

∵a,b,c∈( 0,+∞ ), 1 1 1 ∴a+ ≥2, b+ ≥2,c+ ≥2 a b c 1? ? 1? ? 1? ∴? ?a+b?+?c+a?+?b+c? ≥2 1 1 1 ∴三数 a+ 、c+ 、b+ 中至少有一个不小于 2 b a c 19.解:①解: f ?( x) ? 6x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

解得 a ? ?3 , b ? 4 . ②由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0,

, 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c , 又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c . 则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c ? ?7 . 22.解: (1)函数 f ( x) 的定义域为 ? x | x ? 0? , f ?( x) ?

a 1 . ? x x2 又曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直, 所以 f ?(1) ? a ? 1 ? 2 ,即 a ? 1 . ax ? 1 . x2 当 a ≥ 0 时,对于 x ? (0 , ? ?) ,有 f ?( x) ? 0 在定义域上恒成立, 即 f ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数. 1 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ? ? (0, ? ?) . a 1 当 x ? (0, ? ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; a 1 当 x ? (? , ? ?) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. a

(2)由于 f ?( x) ?

(3)当 a ? 1 时, f ( x ? 1) ? ln( x ? 1) ?

1 , x ? ? 2, ? ? ? . x ?1 1 1 (2 x ? 1)( x ? 2) 1 ? ?2?? 令 g ( x) ? ln( x ? 1) ? . ? 2x ? 5 . g ?( x) ? x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2 x ?1 当 x ? 2 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 在 (2, ? ?) 单调递减.
又 g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (2, ? ?) 恒为负. 所以当 x ? [2 , ? ? ) 时, g ( x) ≤ 0 .

1 ? 2x ? 5 ≤ 0 . x ?1 故当 a ? 1 ,且 x ≥ 2 时, f ( x ? 1) ≤ 2 x ? 5 成立.
即 ln( x ? 1) ?


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