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卫星问题分析4(高中物理10大难点突破)


卫星问题分析 4(高中物理 10 大难点突破) 8、必须区别“赤道物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的运动规律 不同 地球同步卫星运行在赤道上空的“天上”,与地球保持相对静止,总 是位于赤道的正上空, 其轨道叫地球静止轨道. 通信卫星、 广播卫星、 气象卫星、 预警卫星等采用这样的轨道极为有利一颗静止卫星可以覆 盖地球大约 40%的面积,若在此轨道上均匀分布 3 颗卫星,即可实

现全球通信或预警.为了卫星之间不互相千扰,大约 30 左右才能放 置 1 颗,这样地球的同步卫星只能有 120 颗.可见,空间位置也是一 种资源。 其绕地球做匀速圆周运动所需的向心力完全由万有引力提供 . 即
GMm ? m a卫 ( R ? h) 2 。此同步卫星与其内部的物体均处于完全失重状态。地

球同步卫星具有以下特点: 轨道取向一定: 运行轨道平面与地球赤道平面共面. 运行方向一定: 运行方向一定与地球的自转方向相同. 运行周期一定: 与地球的自转周期相同,T=86400s, 位置高度一定: 所在地球赤道正上方高 h=36000km 处 运行速率一定: v=3.1km/s,约为第一宇宙速度的 0.39 倍. 运行角速度一定: 与地球自转角速度相同,ω =7.3 ×10—5rad/s。 地球同步卫星相对地面来说是静止的。

地球赤道上的物体,静止在地球赤道的”地上”与地球相对静止,随地球

的自转绕地轴做匀速圆周运动.地球赤道上的物体所受地球的万有引 力,其中的一个力提供随地球自转所做圆周运动的向心力,产生向心加
GMm 2 速度 a物 ,引力产生的另一效果分力为重力,有 R -mg=m a物 (其中 R

为地球半径)。 近地卫星的轨道高度、运行速度、角速度、周期等,均与同步卫星不 同,更与“赤道上的物体”不可相提并论。 “赤道上的物体”与“地球同步卫星”的相同之处是:二者具有与地 球自转相同的运转周期和运转角速度,始终与地球保持相对静止状态, 共同绕地轴做匀速圆周运动; “近地卫星”与“地球同步卫星”的相 同之处是:二者所需要量的向心力均是完全由地球的万有引力提供。

例 11:设地球半径为 R,地球自转周期为 T,地球同步卫星距赤道地面 的高度为 h,质量为 m,试求此卫星处在同步轨道上运行时与处在赤道 地面上静止时的:①线速度之比, ②向心加速度之比,③所需向心 力之比。 【审题】 此题的求解关键在于明确地球同步卫星与地球赤道上物体 的不同特点及其各自遵守的规律 . 必须明确一个在 “天上”,一个在“ 地 上”,其所受万有引力产生的效果不同 , 必须依据万有引力定律与匀速 圆周运动的规律求解。 【解析】由于卫星在同步轨道运行时与处在赤道平面上静止时,具有 相同的运转角速度,则可得

V同

① 二者的线速度之比为 V赤

?

?(R ? h) R ? h ?R = R 。
?
R?h ω 2(R+h)/ω 2.R= R 。

a同

②二者的向心速度之比为 a赤

F同

③二者所需要的向心力之比 F赤

?

R?h mω 2(R+h)/mω 2.R= R 。

R?h 显然,由以上解答可知,此三个比值均为 R ,又由于地球同步距

地面高度为 h=3。6×106m,地球半径为 R=6.4×106m.故此比值为
R ? h 6.4 ? 106 ? 3.6 ? 107 ? 6.625 R = 6.4 ? 106 。

【总结】运用万有引力定律解题时 ,必须明确地区分研究对象是静止 在”地面上”的物体还是运行在轨道上(天上)的卫星?是地球的万有引 力是完全提供向心力还是同时又使物体产生了重力?这一点就是此 类题目的求解关键。此外,还要特别注意到同步卫星与地球赤道上的 物体具有相同的运行角速度和运行周期。

例 12:设同步卫星离地心距离为 r,运行速率为 v1,加速度为 al,地 球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为 a2, 第一宇宙速度为 v2, 地球半径为 R,下列关系中正确的有( )。
a1 r A、 a 2 = R V1 R C、 V2 = r a1 R2 2 B、 a 2 = r V1 D、 V2 =R/r

【审题】 此题的研究对象有三个:一是地球同步卫星;二是静止在 赤道地面上的物体;三是与第一宇宙速度相对应的近地卫星;

题中需要解析对比的物理量有两组: 一是同步卫星的向心加速度 a1 和 赤道上的静止物体的自转向心加速度 a2 ; 二是同步卫星的运行速度 V1 和第一宇宙速度 V2 。 必须明确求解卫星向心加速度的公式有多个, 如,
GM V2 2 2 a= r 、a= r 、a= ? r 等等;求解卫星运行速度的公式也有多个,如,

v=

GM

r 、 V= gr 、V= ?r 等等。只要明确同步卫星与赤道地面上的

物体产生向心加速度的原因, 区别同步卫星的运行速度与第一宇宙速 度的不同,依据题中给定的已知条件, (卫星的轨道半径 r 和地球的 半径 R) ,再正确选择公式解答,即可得到正确答案。 【解析】 对选项 A,由于同步卫星的向心加速度与赤道地面 上的物体向心加速度的产生原因不同, 对同步卫星是万有引力提供了 向心力,
GMm 2 则: r

=m a1 ,-

---------------①

GMm 2 对于赤道物体: R -N=m a2 -----------------------②(式中的 N 是地面对

物体的支持力)
GMm 2 此处讨论的就是地球的自转,故, R ≠mg,

a1 GMm 2 而是 R = mg+m a向 .①②显然正确,但无法用来求得 a 2 的比值。

又因为,同步卫星与赤道地面上的物体具有相同的角速度,则:
2 对同步卫星, a1 = ? r ;

a1 r 2 对赤道地面上的物体,a2 = ? R , 由此二式可得 a 2 = R , 故选项 A 正确。

GMm 2 对选项 B, 常见这样的解法: 因同步卫星在高空轨道, 则 r =m a1 得, GM a1 = r 2 ; GMm GM 2 2 对赤道地面上的物体, R = m a2 得, a2 = R 。

a1 R 2 2 以上二式相比得 a 2 = r 。其实,这是错误的,----―――这是一种典

型的、常见的错误。其原因是错误的对“赤道地面上的物体”运用了
GMm R 2 = m a2 的关系。实际上, “赤道地面上的物体”是在‘地’上,

其随地球自转而需要的向心力并非完全由万有引力提供, 而是由万有
GMm GMm 2 2 引力与地面的支持力的合力提供,即 R = m a2 不成立,只有 R =

mg+m a2 才是正确的。 同步卫星是在“天”上,其需要的向心力完全由万有引力提供,式
GMm r 2 =m a1 是成立的。

a1 R 2 2 显然, a 2 = r 是完全错误的,故选项 B 错误。

对选项 C ,同步卫星需要的向心力完全由万有引力提供,则,
2 GMm m V 1 GM r。 r 2 = r ,所以, V1 =

GMm m V22 2 R ,则 对于第一宇宙速度,有, R

GM V2 = R

V1 R 二式相比得: V2 = r 。故选项 C 正确。

对选项 D,因为第一宇宙速度是卫星的最小发射速度,也是卫星的环

绕速度,但不是“赤道地面上的物体”的自转速度。如果忽视了此点 而误认为“同步卫星”与“赤道地面上的物体”具有相同的角速度, 则必然会由公式 V= ?r 得出: 对同步卫星,V1= ?r 对赤道地面上的物体 V2 = ? R
V1 r V1 r 二式相比可得:V2 = R 。此比值 V2 = R 的结论对于“同步卫星”和“赤

道地面上的物体” 的速度之比无疑是正确的, 但是选项 D 中的 V2 是第 一宇宙速度而不是 “赤道地面上的物体” 的自转速度。 故选项 D 错误。 【总结】 求解此题的关键有三点: ①、在求解“同步卫星”与“赤道地面上的物体”的向心加速度的比
2 例关系时应依据二者角速度相同的特点, 运用公式 a= ? r 而不能运用

GM 2 公式 a= r 。

②在求解 “同步卫星” 与 “赤道地面上的物体” 的线速度比例关系时, 仍要依据二者角速度相同的特点,运用公式 V= ?r 而不能运用公式 v =
GM r;

③、在求解“同步卫星”运行速度与第一宇宙速度的比例关系时,因 均是由万有引力提供向心力,故要运用公式 v =
GM r 而不能运用公

式 V= ?r 或 V= gr 。很显然,此处的公式选择是至关重要的。 9、必须区别天体的自身半径与卫星的轨道半径的不同 宇宙中的天体各自的体积是确定的 ,其体积的大小可用自身半径的
4 大小进行表述,即体积为 V= 3 π R3 , 而这个半径 R 与绕该天体作匀速

圆周运动的卫星(包括人造卫星)的运行轨道半径 r 却有本质的不同, 卫星运行轨道半径 r=R+h (R 为所绕天体的自身半径,h 为卫星距该天 体表面的运行高度), 卫星的轨道半径 r 总会大于所绕天体的自身半径 R。但,当卫星在贴近所绕天体表面做近”地”飞行时,可以认为卫星的 轨道半径 r 近似等于该天体的自身半径 R,即 R≈r, 这一点对估算天体 的质量和密度十分重要. 例 13:已知某行星绕太阳公转的半径为 r,公转周期为 T 万有引力常 量 ( ) 为 G , 则 由 此 可 以 求 出

A 此行星的质量 B 太阳的质量 C 此行星的密度 D 太阳的密度 【审题】此题要求解决的问题有两个,1、求行星或太阳的质量,2 、 求行星或太阳的密度.求解行星或太阳的质量而不能求出“环绕天体”
M ? ? V 和 的质量.在求解行星或太阳的密度时,必须综合运用密度公式 4 球体积公式 V= 3 π R3, 以及万有引力定律公式 GMm/r2 =m4π 2 r/T2,

并明确给定的是行星的轨道半径 r 还是太阳的自身半径 R,然后依据已 知条件求解. 【解析】对 A 项.因为此行星绕太阳转动,是一个”环绕天体”而不是” 中心天体”,无法用题中所给条件求出他的质量。故 A 选项错误。

对 B 选项,因为太阳是”中心天体”,依据运用万有引力定律求解天体
4? 2 r 3 2 质量的方法可得 GMm/r2 =m4π 2 r/T2 ,则有 M= GT 。显然依据已

知条件,运用此式可以计算出太阳的质量。故 B 选项正确. 对 C 选项,由 A 选项的分析可知,不能求出此行星的质量。并且只知 此行星的轨道半径 r 而不知此行星的自身半径 R,也就无法求出行星 密度.故 C 选项错误.。 对 D 选项.因为在此题中,太阳是一个”中心天体”,求太阳质量的一 般思路是:由万有引力定律与匀速圆周运动规律得 GMm/r2=m4π 2 r/T2------ ① 由太阳的质量密度关系得 由① ② 两式得太阳的密度为
4 M ? ?? 3 ? 3

-------②

??

3? GT 2 。然而,在此题中这是错误的,其

错误的原因是误把题中给出的行星绕太阳运行的轨道半径 r 当成了太 阳的自身半径 R,这是极易出现的解题错误。即此处不能求出太阳的 密度。故 D 选项错误。 【总结】要运行万有引力定律和匀速圆周运动规律计算天体的质量 时,必须明确研究对象是一个“中心天体”还是一个“环绕天体” , 这种方法只能计算“中心天体”而不是“环绕天体”的质量,要计算 天体的密度时,必须明确只能计算“中心天体”的密度,同时还必须 知道此“中心天体”的自身半径R。如果把此题中的行星的轨道半径 r误认为是太阳的自身半径R,则必然会导致解题的错误。 例 14:假如一个作匀速圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到

原来的 2 倍,仍作匀速圆周运动,则: (A)根据公式 (B)根据公式 (C)根据公式 ,可知卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍。 ,可知卫星所需的向心力将减小到原来的 。 ,可知地球提供的向心力将减小到原来的 。

(D)根据上述(B)和(C)中给出的公式,可知卫星运动的线速度将减小 到原来的 。

【审题】解答这个问题不应靠想象和猜测,而应通过合理的推导才能 正确地选出答案。在推导的顺序上,可选择变量较少且不易出差错的 选项入手。本题所提供的选项中已罗列出了各有关的公式,在解答过 程时需要认真思考的是各公式使用的条件,请注意以下内容: 一、在使用 分析问题时,不能只看到 r 与 v 的关系,还需考虑

因 r 的变化而引起的万有引力 F 的变化。 二、在使用 分析问题时,不能只看到 r 与向心力的关系,还

需考虑万有引力是否变化?线速度是否变化? 三、地球对人造卫星的引力是向心力的来源,应用 人造卫星绕地球作圆周运动是向心力的效果,应用 【解析】由于公式 来计算; 来计算。

中,G、M、m 都是不变的量,因此推导

F 和 r 的关系不易出错。设人造地球卫星原来的圆周运动半径为 r1, 所受到的地球引力为 F1;当人造地球卫星的轨道半径增为 r2=2r1 时

所受到的地球引力为 F2,则:

由此可知:选项(C)是正确的。 将向心力的来源公式和向心力的效果公式联系起来, 可以写出下列二 式:

① ② 将 r2=2r1 代入② 式可得: -③

--------------------

将① 、③ 两式相除可导出:

由此可知:选项(D)也是正确的。既然(D)是正确的,那么其结果不同 的(A)显然是不正确的。 “卫星所需的向心力”与“地球提供的向心力”应当是一致的。既然(C)是 正确的,那么与其结果不同的(B) 显然是不正确的。

【总结】由于圆周运动中同一物理的表达式可有多个形式,故在解题 过程中要注意公式的正确选择,即便是一个公式,也要全面考虑这一 待求物理量的所有公式,而不可‘只看一点’ ,不计其余的乱套乱用。


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