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46立体几何中的向量方法(Ⅱ)——求空间角与距离


第 46 课时
编者:刘智娟

立体几何中的向量方法(Ⅱ) ——求空间角与距离
班级_________ 学号_________ 姓名_________

审核:陈彩余

第一部分 预习案
一、学习目标 1. 掌握空间角的定义、范围,掌握求空间角的向量方法; 2. 会利用向量方法对距离进行转化. 二、知识回顾 1.空间向量与空间角的关系

(1)设异面直线 l1,l2 的方向向量分别为 v1 , v 2 ,则 l1 与 l2 所成的角 θ 满 足 cos θ = (2)设直线 l 的方向向量和平面 α 的法向量分别为 m , n ,则直线 l 与平面 α 所成角 θ 满足 (3)求二面角的大小 1°如图①,AB、CD 是二面角 α —l—β 的两个面内与棱 l 垂直的直线,则 二面角的大小 θ =〈→,→〉 AB CD . =|cos〈 m , n 〉|.

2°如图②③, n1 , n 2 分别是二面角 α —l—β 的两个半平面 α ,β 的法 向量,则二面角的大小 θ 满足 cos θ =cos〈 n1 , n 2 〉或-cos〈 n1 , n 2 〉 . 2.点面距的求法 如图,设 AB 为平面 α 的一条斜线段, n 为平面 α 的法 向量,则 B 到平面 α 的距离 d=
AB ? n n

.

三、基础训练
1.若平面 α 的一个法向量为 n =(4,1,1),直线 l 的一个方向向量为 a =(-2,-3,3),则 l 与 α 所成角的正弦值为________.

2.若直线 l 的方向向量与平面 α 的法向量的夹角等于 120° ,则直线 l 与平面 α 所成的角等 于________.

1

3.从空间一点 P 向二面角 α—l—β 的两个面 α,β 分别作垂线 PE,PF,垂足分别为 E,F, 若二面角 α—l—β 的大小为 60° ,则∠EPF 的大小为__________.

4. 如 图 所 示 , 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 , 有 一 棱 长 为 a 的 正 方 体 ABCO—A′B′C′D′,A′C 的中点 E 与 AB 的中点 F 的距离为 ________.

5.在棱长为 2 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中 点,E,F 分别是 CC1,AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所 成的角的余弦值等于________.

四、我的疑惑

第二部分
探究一 求异面直线所成的角

探究案

问题 1、 如图,已知正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 2,点 E 是正方形 BCC1B1 的中心,
点 F、G 分别是棱 C1D1、AA1 的中点,设点 E1、G1 分别是点 E、G 在平面 DCC1D1 内的射影. (1)证明:直线 FG1⊥平面 FEE1; (2)求异面直线 E1G1 与 EA 所成角的正弦值.

问题 2、如图所示,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=4,AD=3,AA1=2.E、F 分
别是线段 AB、BC 上的点,且 EB=BF=1.求直线 EC1 与 FD1 所成的角的余弦值.

2

探究二

求直线与平面所成的角

问题 3、如图,已知四棱锥 P—ABCD 的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为 H,
PH 是四棱锥的高,E 为 AD 的中点. (1)证明:PE⊥BC; (2)若∠APB=∠ADB=60° ,求 直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值.

问题 4、已知三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,AB⊥AC,PA=AC=2AB,N 为 AB 上一
点, AB=4AN,M,S 分别为 PB,BC 的中点. (1)证明:CM⊥SN; (2)求 SN 与平面 CMN 且 所成角的大小.

1

3

探究三

求二面角

问题 5、如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E
在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

探究四

求空间距离

问题 6、在三棱锥 S—ABC 中,△ABC 是边长为 4 的正三角形,平面 SAC⊥平面 ABC,SA
=SC=2 3,M、N 分别为 AB、SB 的中点,如图所示.求点 B 到平面 CMN 的距离.

我的收获

第三部分

训练案

见附页

4


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