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《三维设计》2014届高考数学一轮复习教学案(+解题训练)平面向量的数量积与平面向量应用举例(含解析)


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平面向量的数量积与平面向量应用举例

[知识能否忆起] 一、两个向量的夹角 1.定义 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA =a, OB =b,则∠AOB=θ 叫做 向量 a 与 b 的夹角. 2.范围 向量夹角 θ 的范围是 0° ≤θ≤180° ,a 与 b 同向时,夹角 θ=0° ;a 与 b 反向

时,夹角 θ =180° . 3.向量垂直 如果向量 a 与 b 的夹角是 90° ,则 a 与 b 垂直,记作 a⊥b. 二、平面向量数量积 1.已知两个非零向量 a 与 b,则数量|a||b|· cos θ 叫做 a 与 b 的数量积,记作 a· b,即 a· b =|a||b|cos θ,其中 θ 是 a 与 b 的夹角. 规定 0· a=0. 当 a⊥b 时,θ=90° ,这时 a· b=0. 2.a· b 的几何意义: 数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 三、向量数量积的性质 1.如果 e 是单位向量,则 a· e=e· a. 2.a⊥b?a· b=0. 3.a· a=|a|2,|a|= a· a. a· b 4.cos θ= .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| 5.|a· b|≤|a||b|. 四、数量积的运算律 1.交换律:a· b=b· a. 2.分配律:(a+b)· c=a· c+b· c. 3.对 λ∈R,λ(a· b)=(λa)· b=a· (λb). 五、数量积的坐标运算

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设 a=(a1,a2),b=(b1,b2),则: 1.a· b=a1b1+a2b2. 2.a⊥b?a1b1+a2b2=0.
2 3.|a|= a2 1+a2.

a1b1+a2b2 a· b 4.cos θ= = 2 2 2 .(θ 为 a 与 b 的夹角) |a||b| a1+a2 b2 1+b2

[小题能否全取] 1.已知向量 a,b 和实数 λ,下列选项中错误的是( A.|a|= a· a C.λ(a· b)=λa· b 解析:选 B B.|a· b|=|a|· |b| D.|a· b|≤|a|· |b| )

|a· b|=|a|· |b||cos θ|,只有 a 与 b 共线时,才有|a· b|=|a||b|,可知 B 是错误的. )

2.已知|a|=4,|b|=3,a 与 b 的夹角为 120° ,则 b 在 a 方向上的投影为( A.2 C.-2 解析:选 D 3 B. 2 3 D.- 2 3 |b|cos θ=3cos 120° =- . 2

3.(2012· 重庆高考)设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 B. 10

)

C.2 5 D.10 解析:选 B ∵a⊥b,∴a· b=0,即 x-2=0,∴x=2. ∴a=(2,1),∴a2=5,b2=5,|a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= 5+5= 10. 4.已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30° ,|a|=2,|b|= 3,则向量 a 和向量 b 的数量积 a· b =________. 解析:a· b=2× 3× 答案:3 5.已知|a|=1,|b|=6,a· (b-a)=2,则向量 a 与 b 的夹角 θ=________. 解析:∵a· (b-a)=a· b-a2=2,∴a· b=2+a2=3. a· b 3 1 π ∴cos θ= = = .∴向量 a 与 b 的夹角为 . |a|· |b| 1×6 2 3 π 答案: 3 3 =3. 2

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1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时,表示两向量的有向线段所形成的角, 若起点不同,应通过移动,使其起点相同,再观察夹角. (2)两向量夹角的范围为[0,π],特别当两向量共线且同向时,其夹角为 0,共线且 反向时,其夹角为 π. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时,一定要注意两向量夹角的范围. 2.向量运算与数量运算的区别 (1)若 a,b∈R,且 a· b=0,则有 a=0 或 b=0,但 a· b=0 却不能得出 a=0 或 b= 0. (2)若 a,b,c∈R,且 a≠0,则由 ab=ac 可得 b=c,但由 a· b=a· c 及 a≠0 却不能 推出 b=c. (3)若 a,b,c∈R,则 a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量 a,b,c,而(a· b)· c 与 a· (b· c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的. (4)若 a,b∈R,则|a· b|=|a|· |b|,但对于向量 a,b,却有|a· b|≤|a||b|,等号当且仅当 a∥b 时成立.

平面向量数量积的运算

典题导入 [例 1] (1)若向量 a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x)满足条件(8a-b)· c=30,则 x=( A.6 C.4 B.5 D.3 )

(2) (2012· 浙江高考)在△ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则 AB ·AC = ________. [自主解答] (1)8a-b=8(1,1)-(2,5)=(6,3), 所以(8a-b)· c=(6,3)· (3,x)=30. 即 18+3x=30,解得 x=4. (2) 如图所示, ∵ AB = AM + MB ,AC = AM +MC― →=

AM - MB ,
∴ AB ·AC =( AM + MB )· ( AM - MB )= AM 2- MB 2=

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| AM |2-| MB |2=9-25=-16. [答案] (1)C (2) -16 由题悟法 平面向量数量积问题的类型及求法 (1)已知向量 a,b 的模及夹角 θ,利用公式 a· b=|a||b|· cos θ 求解; (2)已知向量 a,b 的坐标,利用数量积的坐标形式求解. 以题试法 1. (1)(2012· 天津高考)在△ABC 中, ∠A=90° , AB=1, AC=2.设点 P, Q 满足 AP =λ AB ,

CP =-2,则 λ=( AQ =(1-λ) AC ,λ∈R.若 BQ ·
1 A. 3 4 C. 3 2 B. 3 D.2

)

解析: 选 B 由题意可知 BQ = AQ - AB =(1-λ) AC - AB ,CP = AP - AC =

CP =-(1-λ) AC 2-λ AB 2=-2.又| AB |=1, λ AB - AC ,且 AB ·AC =0,故 BQ ·
2 | AC |=2,代入上式解得 λ= . 3 π (2)(2011· 江西高考)已知两个单位向量 e1,e2 的夹角为 ,若向量 b1=e1-2e2,b2=3e1 3 +4e2,则 b1· b2=________. 解析:b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2, 则 b1· b2=(e1-2e2)· (3e1+4e2)=3e2 e2-8e2 1-2e1· 2. π 又因为 e1,e2 为单位向量,夹角为 , 3 1 所以 b1· b2=3-2× -8=3-1-8=-6. 2 答案:-6

两平面向量的夹角与垂直

典题导入 [例 2] (1)(2012· 福州质检)已知|a|=1,|b|=2,a 与 b 的夹角为 120° ,a+b+c=0,则 a 与 c 的夹角为( A.150° ) B.90°

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C.60°

D.30°

(2)(2011· 新课标全国卷)已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与向量 ka-b 垂直,则 k=________. [自主解答] (1)∵a· b=1×2×cos 120° =-1,c=-a-b,∴a· c=a· (-a-b)=-a· a- a· b=-1+1=0,∴a⊥c. ∴a 与 c 的夹角为 90° . (2)∵a 与 b 是不共线的单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 ka-b 与 a+b 垂直,∴(a+b)· (ka-b)=0, 即 ka2+ka· b-a· b-b2=0. ∴k-1+ka· b-a· b=0. 即 k-1+kcos θ-cos θ=0(θ 为 a 与 b 的夹角). ∴(k-1)(1+cos θ)=0.又 a 与 b 不共线, ∴cos θ≠-1.∴k=1. [答案] (1)B (2)1

若本例(1)条件变为非零向量 a,b,c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,试求 a 与 b 的夹角. 解:设|a|=m(m>0),a,b 的夹角为 θ,由题设知(a+b)2=c2,即 2m2+2m2cos θ=m2, 1 得 cos θ=- .又 0° ≤θ≤180° ,所以 θ=120° ,即 a,b 的夹角为 120° . 2

由题悟法 1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律; (2)数量积大于 0 说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于 0 说明两向量的夹角 为直角,数量积小于 0 且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角. 2.当 a,b 是非坐标形式时,求 a 与 b 的夹角,需求得 a· b 及|a|,|b|或得出它们的关系. 以题试法 2.(1)设向量 a=(x-1,1),b=(-x+1,3),则 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件是( A.x=0 或 2 B.x=2 C.x=1 D.x=± 2 (2)已知向量 a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量 d 如图所示,则( ) )

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A.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 垂直 B.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 60° C.存在 λ<0,使得向量 c 与向量 d 夹角为 30° D.存在 λ>0,使得向量 c 与向量 d 共线 解析:(1)选 B
2

a=(x-1,1),a-b=(x-1,1)-(-x+1,3)=(2x-2,-2),故 a⊥(a-b)

?2(x-1) -2=0?x=0 或 2,故 x=2 是 a⊥(a-b)的一个充分不必要条件. 3 a+ b?,故 D 正确;对于 A,由图知若向量 c 与向量 (2)选 D 由图可知 d=4a+3b=4? ? 4 ? d 垂直,则有 λ<0;对于 B,若 λ>0,则由图观察得向量 c 与向量 d 夹角小于 60° ;对于 C, 若 λ<0,则向量 c 与向量 d 夹角大于 30° .

平面向量的模

典题导入 [例 3] 设向量 a,b 满足|a|=1,|a-b|= 3,a· (a-b)=0,则|2a+b|=( A.2 C.4 B.2 3 D.4 3 )

[自主解答] 由 a· (a-b)=0,可得 a· b=a2=1, 由|a-b|= 3,可得(a-b)2=3,即 a2-2a· b+b2=3,解得 b2=4. 故(2a+b)2=4a2+4a· b+b2=12,故|2a+b|=2 3. [答案] B 由题悟法 利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法: (1)|a|2=a2=a· a; (2)|a± b|2=(a± b)2=a2± 2a· b+b2; (3)若 a=(x,y)则|a|= x2+y2. 以题试法 1? 3.(2012· 聊城质检)已知向量 a=(sin x,1),b=? ?cos x,-2?.

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(1)当 a⊥b 时,求|a+b|的值; (2)求函数 f(x)=a· (b-a)的最小正周期. 解:(1)由已知得 a· b=0, |a+b|= ?a+b?2= a2+2a· b+b2= a2+b2 = 1 3 sin2x+1+cos2x+ = . 4 2

1 (2)∵f(x)=a· b-a2=sin xcos x- -sin2x-1 2 1-cos 2x 3 π 1 2 2x+ ?-2, = sin 2x- - = sin? 4? ? 2 2 2 2 ∴函数 f(x)的最小正周期为 π.

平面向量数量积的综合应用

典题导入 [例 4] (2012· 太原模拟)已知 f(x)=a· b,其中 a=(2cos x,- 3sin 2x),b=(cos x,1)(x∈ R). (1)求 f(x)的周期和单调递减区间; (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,f(A)=-1,a= 7, AB ·AC = 3,求边长 b 和 c 的值(b>c). [自主解答] π? 2cos? ?2x+3?, ∴f(x)的最小正周期 T=π, ∵y=cos x 在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减, π π π ∴令 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,得 kπ- ≤x≤kπ+ . 3 6 3 π π? ∴f(x)的单调递减区间? ?kπ-6,kπ+3?,k∈Z. π? (2)∵f(A)=1+2cos? ?2A+3?=-1, π? ∴cos? ?2A+3?=-1. π π 7π π 又 <2A+ < ,∴2A+ =π. 3 3 3 3 π ∴A= . 3 (1) 由 题 意知 , f(x) = 2cos2x - 3 sin 2x = 1 + cos 2x - 3 sin 2x = 1 +

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∵ AB ·AC =3,即 bc=6,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,7=(b +c)2-18,b+c=5, 又 b>c,∴b=3,c=2. 由题悟法 向量与其它知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知识的“交汇处”的命题要求,又 加强了对双基覆盖面的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂直、夹角 和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题. 以题试法 4.(1)(2012· 朔州调研)质点受到平面上的三个力 F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态,已知 F1,F2 成 60° 角,且 F1,F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A.2 7 C.2 B.2 5 D.6 )

(2)若 M 为△ABC 所在平面内一点,且满足( MB - MC )· ( MB + MC -2 MA )=0, 则△ABC 为( ) B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

A.直角三角形 C.等边三角形

2 2 解析: (1)选 A 由已知条件 F1+F2+F3=0, 则 F3=-F1-F2, F2 3=F1+F2+2|F1||F2|cos

60° =28. 因此,|F3|=2 7. (2)选 B 由( MB - MC )· ( MB + MC -2 MA )=0,可知 CB · ( AB + AC )=0,设 BC 的中点为 D,则 AB + AC =2 AD ,故 CB ·AD =0.所以 CB ⊥ AD .又 D 为 BC 的中 点,故△ABC 为等腰三角形

1.(2012· 豫东、豫北十校阶段性测试)若向量 a=(x+1,2)和向量 b=(1,-1)平行,则|a +b|=( A. 10 C. 2 ) B. D. 10 2 2 2

解析:选 C 依题意得,-(x+1)-2×1=0,得 x=-3,故 a+b=(-2,2)+(1,-1)

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=(-1,1),所以|a+b|= ?-1? +1 = 2. 2.(2012· 山西省考前适应性训练)已知向量 a=(2,3),b=(-4,7),则 a 在 b 方向上的投 影为( ) B. D. 13 5 65 5 a· b 2×?-4?+3×7 65 = = . |b| 5 ?-4?2+72

2

2

A. 13 C. 65

解析:选 D 依题意得,向量 a 在 b 方向上的投影为

AC 3.已知 A,B,C 为平面上不共线的三点,若向量 AB =(1,1),n=(1,-1),且 n·

BC 等于( =2,则 n·
A.-2 C.0 解析:选 B +2=2.

) B.2 D.2 或-2

BC =n· n· ( BA + AC )=n· (-1,-1)+2=0 BA +n·AC =(1,-1)·

BC =1,则 BC=( 4.(2012· 湖南高考)在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ·
A. 3 C.2 2 B. 7 D. 23

)

BC =1,且 AB=2, 解析:选 A ∵ AB ·
1 ∴1=| AB || BC |cos(π-B),∴| BC |cos B=- . 2 在△ABC 中,AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B, 1? 即 9=4+BC2-2×2×? ?-2?. ∴BC= 3. 5.已知非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|= A.30° C.120° B.60° D.150° 2 3 |a|,则 a+b 与 a-b 的夹角 θ 为( 3 )

解析:选 B 将|a+b|=|a-b|两边同时平方得 a· b=0; 将|a-b|= 2 3 1 |a|两边同时平方得 b2= a2, 3 3

?a+b?· ?a-b? a2-b2 1 所以 cos θ= = = . 4 2 2 |a+b|· |a-b| a 3

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6.如图,在△ABC 中,AD⊥AB, BC = 3 BD ,| AD |=1,则 AC ·AD =( A.2 3 C. 3 2 B.3 3 D. 3

)

解析:选 D 建系如图. 设 B(xB,0),D(0,1),C(xC,yC), BC =(xC-xB,yC),

BD =(-xB,1),
∵ BC = 3 BD ,∴xC-xB=- 3xB?xC=(1- 3)· xB,yC= 3, AC =((1- 3)xB, 3), AD =(0,1), AC ·AD = 3. 7. (2013· “江南十校”联考)若|a|=2, |b|=4, 且(a+b)⊥a, 则 a 与 b 的夹角是________. 解析:设向量 a,b 的夹角为 θ.由(a+b)⊥a 得(a+b)· a=0,即|a|2+a· b=0,∵|a|=2, 1 2π 2π ∴a· b=-4, ∴|a|· |b|· cos θ=-4, 又|b|=4, ∴cos θ=- , 即 θ= .∴向量 a, b 的夹角为 . 2 3 3 2π 答案: 3 8.(2012· 新课标全国卷)已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= ________. 解析:∵a,b 的夹角为 45° ,|a|=1,∴a· b=|a|· |b|· cos 45° = ∴|2a-b|2=4-4× 答案:3 2 9.(2012· 大连模拟)已知向量 a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若 a∥b,(a+b) ⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量 MN 的模为________. 解析:∵a∥b,∴x=4.∴b=(4,-2), ∴a+b=(6,-3),b-c=(1,-2-y). ∵(a+b)⊥(b-c),∴(a+b)· (b-c)=0, 即 6-3(-2-y)=0,解得 y=-4. ∴向量 MN =(-8,8),∴| MN |=8 2. 答案:8 2 10.已知 a=(1,2),b=(-2,n),a 与 b 的夹角是 45° . (1)求 b; 2 |b|+|b|2=10.∴|b|=3 2. 2 2 |b|, 2

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(2)若 c 与 b 同向,且 a 与 c-a 垂直,求 c. 解:(1)∵a· b=2n-2,|a|= 5,|b|= n2+4, ∴cos 45° = 2n-2 5· n +4
2



2 , 2

∴3n2-16n-12=0(n>1). 2 ∴n=6 或 n=- (舍).∴b=(-2,6). 3 (2)由(1)知,a· b=10,|a|2=5. 又∵c 与 b 同向,故可设 c=λb(λ>0). ∵(c-a)· a=0, ∴λb· a-|a|2=0.∴λ= 1 ∴c= b=(-1,3). 2 11.已知|a|=4,|b|=8,a 与 b 的夹角是 120° . (1)计算:①|a+b|,②|4a-2b|; (2)当 k 为何值时,(a+2b)⊥(ka-b)? 1 - ?=-16. 解:由已知得,a· b=4×8×? ? 2? (1)①∵|a+b|2=a2+2a· b+b2 =16+2×(-16)+64=48, ∴|a+b|=4 3. ②∵|4a-2b|2=16a2-16a· b+4b2 =16×16-16×(-16)+4×64=768, ∴|4a-2b|=16 3. (2)∵(a+2b)⊥(ka-b), ∴(a+2b)· (ka-b)=0, ∴ka2+(2k-1)a· b-2b2=0, 即 16k-16(2k-1)-2×64=0. ∴k=-7. 即 k=-7 时,a+2b 与 ka-b 垂直. 1 3 12.设在平面上有两个向量 a=(cos α,sin α)(0° ≤α<360° ),b=?- , ?. ? 2 2? (1)求证:向量 a+b 与 a-b 垂直; (2)当向量 3a+b 与 a- 3b 的模相等时,求 α 的大小. |a|2 5 1 = = . b· a 10 2

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1 3? 解:(1)证明:因为(a+b)· (a-b)=|a|2-|b|2=(cos2α+sin2α)-? ?4+4?=0, 所以 a+b 与 a-b 垂直. (2)由| 3a+b|=|a- 3b|,两边平方得 3|a|2+2 3a· b+|b|2=|a|2-2 3a· b+3|b|2, 所以 2(|a|2-|b|2)+4 3a· b=0. 而|a|=|b|,所以 a· b=0, 1 3 - ?×cos α+ ×sin α=0,即 cos(α+60° 则? )=0, ? 2? 2 所以 α+60° =k· 180° +90° , 即 α=k· 180° +30° ,k∈Z. 又 0° ≤α<360° ,则 α=30° 或 α=210° .

1.已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( A.a∥b B.a⊥b C.|a|=|b| D.a+b=a-b

)

解析:选 B 因为|a+b|=|a-b|,所以(a+b)2=(a-b)2,即 a· b=0,故 a⊥b. 2.(2012· 山东实验中学四诊)△ABC 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 AB + AC = 2 AO ,且| OA |=| AC |,则向量 BA 在向量 BC 方向上的射影为( 3 A. 2 C.3 B. 3 2 3 2 )

D.-

解析:选 A 由已知条件可以知道,△ABC 的外接圆的圆心在线段 BC 的中点 O 处, π π π 因此△ABC 是直角三角形,且∠A= .又| OA |=| CA |,所以∠C= ,∠B= ,AB= 3,AC 2 3 6 π 3 =1,故 BA 在 BC 上的射影| BA |cos = . 6 2 3.已知 AB =(6,1), BC =(x,y), CD =(-2,-3). (1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 之间的关系式; (2)在(1)条件下,若 AC ⊥ BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积. 解:(1)∵ AD = AB + BC + CD =(x+4,y-2), ∴ DA =- AD =(-x-4,2-y). 又∵ BC ∥ DA 且 BC =(x,y),

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∴x(2-y)-y(-x-4)=0, 即 x+2y=0.① (2)由于 AC = AB + BC =(x+6,y+1),

BD = BC + CD =(x-2,y-3),
又 AC ⊥ BD , 所以 AC · BD =0, 即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.② 联立①②化简,得 y2-2y-3=0. 解得 y=3 或 y=-1. 故当 y=3 时,x=-6, 此时 AC =(0,4), BD =(-8,0), 1 所以 SABCD= | AC |· | BD |=16; 2 当 y=-1 时,x=2, 此时 AC =(8,0), BD =(0,-4), 1 ∴SABCD= | AC |· | BD |=16. 2

1.△ABC 中,AB 边的高为 CD,若 CB =a, CA =b,a· b=0, |a|=1,|b|=2,则 AD =( 1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5 ) 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5

解析:选 D 如图,∵a· b=0,∴a⊥b,∴∠ACB=90° , ∴AB= AC2+BC2= 5. 又 CD⊥AB, 4 5 ∴AC2=AD· AB,∴AD= . 5 4 4 4 4 ∴ AD = AB = (a-b)= a- b. 5 5 5 5 2. (2012· 郑州质检)若向量 a=(x-1,2), b=(4, y)相互垂直, 则 9x+3y 的最小值为( A.12 B.2 3 )

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C.3 2 解析: 选 D


D.6 依题意得 4(x -1)+ 2y=0,即 2x+ y= 2,9x+ 3y= 32x+ 3y≥2 32x×3y=

2 32x y=2 32=6,当且仅当 2x=y=1 时取等号,因此 9x+3y 的最小值是 6. 3.(2012· 山西省四校联考)在△OAB(O 为原点)中, OA =(2cos α,2sin α), OB =(5cos

OB =-5,则△OAB 的面积 S=( β,5sin β),若 OA ·
A. 3 C.5 3 B. 3 2

)

5 3 D. 2

-5 OB =-5,得 cos θ= 解析:选 D 设∠AOB=θ,由| OA |=2,| OB |=5, OA · = 2×5 1 3 1 1 3 5 3 - ,sin θ= ,所以 S= | OA |· | OB |sin θ= ×2×5× = . 2 2 2 2 2 2 4. (2012· 上海高考)在矩形 ABCD 中,边 AB,AD 的长分别为 2,1,若 M,N 分别是边 | BM | | CN | BC,CD 上的点,且满足 = ,则 AM ·AN 的取值范围是________. | BC | | CD | | BM | | CN | 解析:如图所示,设 = =λ(0≤λ≤1),则 BM =λ BC , | BC | | CD |

CN =λ CD , DN = CN - CD =(λ-1) CD ,
所以 AM ·AN =( AB + BM )· ( AD + DN ) =( AB +λ BC )· [ AD +(λ-1) CD ]

CD +λ BC ·AD =(λ-1) AB ·
=4(1-λ)+λ=4-3λ, 故当 λ=0 时, AM ·AN 取得最大值 4;当 λ=1 时, AM ·AN 取得最小值 1. 因此 AM · AN― →∈[1,4]. 答案:[1,4]


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