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高二数学数列求和专题复习


数列求和专题复习 一、新知探究
探究类型一:分组求和法 例 1、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? 3n ? 2n ?1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

练习:1、求数列 1

1 1 1 1 , 3 , 5 ,…, (2n-1)+ n ,…的前 n 项和. 4 8 2 2

2、已知数列 a n ? 3 n ? n ,求 S n 。

方法总结:数列既不是等差,也不是等比数列,将这类数列适当拆开,分为几个等差、等比 或常见的数列,即能分别求和,然后再合并。 探究类型二:裂项相消法求和 例2 求数列

1 1 1 1 ? ? ??? 的值. ?2n ? 1??2n ? 1? 1? 3 3 ? 5 5 ? 7

练习:求数列的前 n 项和.

1.

1 1 1 1 ? ? ?? 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

2.已知数列 a n ?

1 ,其前 n 项和为 Sn n?n ? 1?

(1)求数列 第几项?

?an ?

的前 2012 项和. (2)

80 是不是数列{ Sn }中的项,如果是,是 81

方法小结:形如数列 ?

?

1 ? ? 求和的方法叫裂项相消法,是分解与组合思想在数列求和 ? an an?1 ?

中的具体应用。把数列的通项拆 成两项之差 、正负相消剩下首尾,常见的拆项公式有:

1 = n(n + 1)



1 = (2n - 1)(2n + 1)



探究类型三:错位相减法 例3

求和: Sn ? 1 ? 3x ? 5x2 ? 7x3 ? ??? ? (2n ? 1)xn?1

变式练习: 1、求数列

1 2 3 n ? ? ? ......? n 的值 2 4 8 2

2、已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? n ? 3n ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 。

3、设数列{an}的前 n 项和为 Sn=2n ,{bn}为等比数列,且 a1=b1,b2(a2-a1)=b1.
2

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; an (2)设 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn

方法总结:

对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和,常用错位相减法。

an ? bn ? cn ,

其 中

?bn ?

是 等 差 数 列 ,

?cn ?

是 等 比 数 列 , 记

S n ? b1c1 ? b2 c2 ? ? ? bn?1cn?1 ? bn cn ,则 qSn ? b1c2 ???? bn?1cn ? bncn?1 ,…

二、跟踪练习
1、数列 1 , 4 , 7

1 3

1 6

1 ,? 的前 10 项的和为 12
2 2 n ?1

. 的前 n 项和 Sn .

2、数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 2 ,…, 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2

3.求数列 1,

1 1 1 , ,? , ,? 的前 n 项和 1? 2 1? 2? 3 1? 2 ??? n

4. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+2n,求和:

1 1 1 . ? ??? a1 ?a2 a2 ?a3 an ?an ?1

5.求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

, ???,

1 n ? n?1

, ??? 的前 n 项和

6、已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 Sn 。

(Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

1 (n ? N ? ) ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

三、当堂检测 1. 数 列 ( ) A. 171 2. 数 列 B. 161 C. 21 项 公 式 是 D.10
n ?1

?an ?

的 前 n 项 的 和 Sn ? 2n2 ? 3n ? 1 , 则 a4 ? a5 ? a6 ? ?

? a等 1 0 于

?an ?





an ? ? ?1?

? 4n ? 3?
D. ?400





S100 ?

( ) A. 200 B. ?200 C. 400

321 2n ? 1 3. 已 知 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 是 an ? , 其 前 n 项 的 和 是 Sn ? ,则 n? n 64 2
( ) A. 13 4. 数 列 B. 10 C. 9 D. 6 的 前

1,

1 1 1 , ,? , 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ??? n
2n n ?1 n?2 n ?1

n







( ) A.

2n 2n ? 1

B.

C.

D.

n 2n ? 1
等 于

5. ( A. )

3 2 3 n ? ? 2 ? 3 ?? ? n 2 2 2 2

1 n ? n n ?1 2 2

B. ?

1 n ? n n ?1 2 2

C.

n 1 ? n n ?1 2 2

D. ?

n 2
n ?1

?

1 2n

6.数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an , an ?1 是方程 x ? ? 2n ? 1? x ?
2

1 ? 0 的两个根,数列 ?bn ? 前 n bn

项和 Sn ? ( A.

) B.

n n ?1 S S 7.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? ?2008 ,其前 n 项和为 Sn ,若 2007 ? 2005 ? 2 ,则 S2008 的 2007 2005
C. D. 值等于( A. ?2007 ) B. ?2008 C. 2007 D. 2008

1 2n ? 1

1 n ?1

n 2n ? 1

1 1 2 1 2 3 1 2 3 9 8.(2011·金昌质检)已知数列{an}: , + , + + ,…, + + +…+ ,…, 2 3 3 4 4 4 10 10 10 10 那么数列{bn}={ 1

anan+1

}的前 n 项和 Sn=________.

9. 等 差 数列 ?an ? 的 公 差 不 为零 , a4 ? 7 , a1 , a2 , a5 成 等 比 数列 , 数列 ?Tn ? 满 足 条件

Tn ? a2 ? a4 ? a8 ? ? ? a2n ,则 Tn ?
10.(1)求和:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 ? 3n ? 2?? 3n ? 1?

(2)求和:

22 42 62 (2n)2 ? ? ? ?? ? = 1? 3 3? 5 5? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

11.已知 Sn=1-2+3-4+……..(-1)n+1n,求 Sn

12. (2012 年浙江文 19) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , 且 Sn ? 2n ? n, n ? N , 数列 ?bn ?
2 *

满足 an ? 4log2 bn ? 3, n ? N 。 (1)求 an , bn ; (2)求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn 。
*


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