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广东省揭阳一中、潮州金山中学2013届高三联合摸底考试数学(理)试题


广东省揭阳一中、潮州金山中学 2013 届高三上学期联合摸底考试

数学(理)试题
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求。 ) 1.若集合 M ? {x | ?2 ? x ? 3}, N ? { y | y ? x 2 ? 1, x ? R}, 则集合M ? N = A. (?

2, ??) B. (—2,3) C.[1,3) D.R

2.设 i 是虚数单位,复数 A.2 3.设 f ( x) ? ? A.8 C.6

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 的值为 2?i 1 B.—2 C. ? 2

D.

1 2

x ? 10 ?x ? 3 , 则f(6) 的值为 ? f [ f ( x ? 5)]x ? 10
B.7 D.5

4. " m ? n ? 0" 是方程 mx 2 ? ny 2 ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.1 B.3 C.6 D.2 6.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 S 的值为 A.1 C.

1 4

1 2 1 D. 8
B.

7.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 所对的边为 a,b,c,且

b 2 ? a 2 ? ac ? c 2 , C ? A ? 90?, 则 cos A cos C ?

A.

1 4

B.—

1 4

C.

2 4

D.—

2 4

8 . 对 于 非 空 集 合 A , B , 定 义 运 算 : A ? B ? {x | x ? A ? B, 且x ? A ? B} , 已 知 M= {x | a ? x ? b}, N ? {x | c ? x ? d }, 其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M ? N= A.(a,d) ?(b, c) B. (c, a ] ? [b, d ) C. (c, a ) ? (b, d ) D. (a, c] ? [ d , b)

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 ) (一)必选题(第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答) 9.若函数 f ( x) ? 1 ? log 2 x , 则f ( x) 的定义域是 .

?x ? y ? 5 ? 0 ? , 则z ? 2 x ? 4 y 10.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ?y ? 0 ?
的最小值是 11.如图, O : x ? y ?
2 2

.

?2
4

内的余弦函数 y ? cos x 的图像与 x 轴围成的区域记为 M(图中 .

阴影部分) ,随机向圆内投一个点 A,则点 A 落在区域 M 内的概率是 12.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点与抛线线 y 2 ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等 a 2 b2
.

于 5 ,则该双曲线的方程的

13 . 已 知 正 项 等 比 数 列 {an } 满 足 : a7 ? a6 ? 2a5 , 若 存 在 两 项

am , an 使得 an an ? 4a, 则

1 4 ? 的最小值为 m n

.

(二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题,两道题都做的,只记第一题的分) 14. (内何证明选讲选做题)如图,A、E 是半圆周上的两个三等分点,直径 BC=3,AD⊥BC,垂 足为 D,BE 与 AD 相交于点 F,则 AF 的长为 . 15. (坐标系与参数方程选做题)已知直线

? x ? ?4 ? t , ? x ? ?1 ? 2 cos ? l:? (t为参数)与圆C : ? ( ? 为参数) ?y ? 3? t ? y ? 2 ? 2sin ?
的公共点个数为 个 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (4,5cos ? ), b ? (3, ?4 tan ? ), ? ? (0,

?

?

? ?
2

? ), a ? b ,求:

? ? (1) | a ? b | ;

(2) cos (2? ?

?
4

) 的值.

17. 某市为办好一次文化旅游节, 组委会准备在 A 高校和 B 高校分别招募 8 名和 12 名志愿者, 将送 20 名志愿者的身高编成如下茎叶图 (单位: , cm) 若身高在 175cm 以上 (包括 175cm) 定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只有 B 高校的“高个子”才能担任“兼职导游” 。 (1)根据志愿者的身高编成茎叶图,指出 B 高校身高的中位数。 (2)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高个子”的概率是多少? (3)若从所有“高个子”中选 34 名志愿者,用 ? 表示所选志愿者能担任“兼职导游”的 人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

18.如图所示的长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,O 为 AC 与 BD 的交点, BB 1 ?

2, M 是线段B1 D1 的中点。

(1)求证:BM//平面 D1AC; (2)求证:D1O⊥平面 AB1C; (3)求二面角 B—AB—C 的大小。

19.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且S1 ? 1 ? an (n ? N *). (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 , cn ? log 1 an
2

bn bn ?1 n ?1 ? n

, 记Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn , 证明 : Tn ? 1.

20. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4) ,试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出 椭圆 E 和直线 PF1 的方程,若不能,请说明理由。

21.已知函数 f ( x) ? b( x ? 1) ln x ? x ? 1, 斜率为l 的直线与函数 f ( x) 的图象相切于(1,0) 点。 (Ⅰ)求 h( x) ? f ( x) ? x ln x 的单调区间; (Ⅱ)当实数 0 ? a ? 1 时,讨论 g ( x) ? f ( x) ? (a ? x) ln x ?

1 2 ax 的极值点. 2


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