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2013高中数学奥数培训资料之递推数列


兰州成功私立中学高中奥数辅导资料 (内部资料)
§12 递推数列
a 1、 概念: 递归式: ①、 一个数列 {a n } 中的第 n 项 a n 与它前面若干项 a n ?1 , n ? 2 , a n ? k k ? n ) ?, (

的关系式称为递归式。 ②、递归数列:由递归式和初始值确定的数列成为递归数列。 2、常用方法:累加法,迭代法,代换法,代入法等。 3、思想策略:构造新数列的思想。 4、常见类型: 类型Ⅰ: ?
?a n ?1 ? p(n)a n ? q(n) ( p(n) ? 0) (一阶递归) ?a1 ? a (a为常数)

其特例为:(1) a n ?1 ? pan ? q ( p ? 0) (2) a n ?1 ? pan ? q(n) ( p ? 0) (3) a n ?1 ? p(n)a n ? q ( p ? 0) 解题方法:利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列。 类型Ⅱ: ?
?a n ? 2 ? pan ?1 ? qan ( p ? 0 , q ? 0) (二阶递归) ?a1 ? a , a 2 ? b(a , b为常数)

解题方法:利用特征方程 x 2 ? px ? q ,求其根 ? 、 ? ,构造 a n ? A? n ? B? n ,代入初始值 求得 A , B 。 类型Ⅲ: a n ?1 ? f (a n ) 其中函数 f (x) 为基本初等函数复合而成。 解题方法:一般情况下,通过构造新数列可转化为前两种类型。

例题讲解
1.已知数列 {a n } 满足以下递归关系 ?
?a n ?1 ? 3a n ? 4 ,求通项 a n 。 ?a1 ? 1

2.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ?1 ? 2a n ? (2n ? 1) ?a1 ? 2

,求通项 a n 。

3.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ?1 ? nan ? 2 (n ? 2) ,求通项 a n 。 ? a1 ? 1

4.已知数列 {a n } 满足 ?

?a n ? 2 ? 3a n ?1 ? 2a n ,求通项 a n 。 ?a1 ? 1 , a 2 ? 2

5.由自然数组成的数列 {a n } ,满足 a1 ? 1 , a m ? n ? a m ? a n ? mn ,求 a n 。

6.已知数列 {a n } 满足 a1 ? 10 , a n?1 ? n ? 1 a n 4 ( n ? 1 ),求 a n 。 n4

7.已知 f ( x) ? 求 xn 。

x ,且 f ( x 0 ) ? 1 ,方程 f ( x) ? x 有唯一解,设 x n ? f ( x n ?1 ) ( n? N ), 2 a( x ? 2)

8.已知数列 {a n } 中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 1 ( 1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) ,求 a n 。
16

2 9.设正数列 {a n } 满足 a n ? a n ? a n ?1 ,证明 a n ?

1 ( n ? 2 , 3 , 4 ,?) n?2

课后练习
1.已知数列 {a n } 满足以下递归关系,求 a n 。 (1) a1 ? 1 , a n ?1 ? 5a n ? 12 ( n? N ) (2) a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? n ? 1 ( n? N ) (3) a 1 ? 2 , a n ?1 ? n a n ? 1 ( n? N )
n ?1

(4) a 1 ? 2 , a n ?1 ? n ? 1 a n ? 2 ( n? N )
n n

(5) a1 ? 1 , S n ? n 2 a n ( S n 为前 n 项和)

(6) a1 ? 10 , a n?1 ? 4 10a n ( n ? 2 , n ? N )
?a n ? 2 ? 2a n ?1 ? 3a n ? a1 ? a 2 ? 1

(7) ?

2.已知数列 {a n } 和 {bn } 中, a1 ? ?10 , b1 ? ?13 ,且 a n ?1 ? ?2a n ? 4bn , bn ?1 ? ?5a n ? 7bn ,求
an 和 b n 。

2 3.已知 x 0 ? 0 , xn?1 ? 5xn ? 14xn ? 1 ( n ? 0 ,1,2,3,4,?),证明 x n ? N ( n? N )。

4.已知数列 {a n } 满足: a n ? 3 n cos n(arccos 1 ) ,证明 a n 是不能被 3 整除的整数。
3


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