2012年全国高中数学联赛(四川)赛区初赛试卷

2012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
2 1、设集合 S ? x | x ? 5 x ? 6 ? 0 ， T ? x | x ? 2 |? 3 ，则 S ? T =（

?

?

?

?
<

br />）

A、 {x | ?5 ? x ? ?1}

B、 {x | ?5 ? x ? 5} C、 {x | ?1 ? x ? 1}

D 、 {x |1 ? x ? 5} ） D、

2、正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中 BC1 与截面 BB1D1D 所成的角是（ A、

? 6

B、

? 4

C、

? 3

? 2

3、已知 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ， g ( x) ? kx ? 1 ， 则“ | k |? 2 ”是“ f ( x) ? g ( x) 在 R 上恒成立”的（ ）

A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 4、设正三角形 ?1 的面积为 S1 ，作 ?1 的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为 ? 2 ，面积 为 S2 ，如此下去作一系列的正三角形 ?3 , ?4 ,? ，其面积相应为 S3 , S4 ,? ， 设 S1 ? 1 , Tn ? S1 ? S2 ? ? ? Sn ，则 lim Tn =（
n ???

）

A 、

6 5
2

B 、

4 3

C、

3 2

D 、2

5、设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ，顶点为 O ， M 是抛物线上的动点，则 （ ） A 、

| MO | 的最大值为 | MF |

3 3

B 、

2 3 3

C、

4 3

D 、 3

6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水，并放入半径为 r 的一个 实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则取出球后水面高为（ ） A、 r B、 2r C、 3 12r D、 3 15r

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）
A F E B D

C

7、如图，正方形 ABCD 的边长为 3， E 为 DC 的 中点， AE 与 BD 相交于 F ，则 FD ? DE 的值是

??? ???? ?

．

8、 ( x ? x ? ) 的展开式中的常数项是
2 6

1 x

． （用具体数字作答）

9、设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，满足 Sn ?

(an ? 1) 2 ，则 S20 的值为 4
． ．

．

10、不超过 2012 的只有三个正因数的正整数个数为 11、已知锐角 A, B 满足 tan( A ? B) ? 2 tan A ，则 tan B 的最大值是

12、从 1,2,3,4,5 组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数 abcde ， 满足条件“ a ? b ? c ? d ? e ”的概率是 三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、设函数 f ( x) ? sin x ? 3cos x ? 1 ， （I）求函数 f ( x) 在 [0, ．

?
2

] 上的最大值与最小值； b cos c 的值． a

（II）若实数 a, b, c 使得 af ( x) ? bf ( x ? c) ? 1 对任意 x ? R 恒成立，求

14、已知 a, b, c ? R ，满足 abc(a ? b ? c) ? 1 ， （I）求 S ? (a ? c)(b ? c) 的最小值； （II）当 S 取最小值时，求 c 的最大值．

?

15、直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1的左支交于 A 、 B 两点，直线 l 经过点 (?2, 0) 和 AB 的中点，求直线 l 在 y 轴的截距 b 的取值范围．

16、设函数 f n ( x) ? xn (1 ? x)2 在 [ ,1] 上的最大值为 an （ n ? 1, 2,3,? ） ． （I）求数列 {an } 的通项公式； （II）求证：对任何正整数 n(n ? 2) ，都有 an ?

1 2

1 成立； (n ? 2)2
7 成立． 16

（III）设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ，求证：对任意正整数 n ，都有 S n ?

2012 年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）参考解答 一、选择题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） 7、 ?

6、D

3 2

8、 ?5

9、0

10、14

11、

2 4

12、

2 15

三、解答题（本大题共 4 个小题，每小题 20 分，共 80 分） 13、解： （I）由条件知 f ( x) ? 2sin( x ? 由0 ? x ?

?
3

) ?1 ，

（5 分）

5? 1 ? ，于是 ? sin( x ? ) ? 1 2 3 3 6 2 3 ? 1 所以 x ? 时， f ( x) 有最小值 2 ? ? 1 ? 2 ； 2 2

?

知，

?

? x?

?

?

当x?

?

6

时， f ( x) 有最大值 2 ?1 ? 1 ? 3 ．

（10 分）

（II）由条件可知

2a sin( x ? ) ? 2b sin( x ? ? c) ? a ? b ? 1 对任意的 x ? R 恒成立， 3 3
∴ 2a sin( x ?

?

?

?

) ? 2b sin( x ? ) ? cos c ? 2b cos( x ? ) ? sin c ? ( a ? b ? 1) ? 0 3 3 3

?

?

∴ 2(a ? b cos c) ? sin( x ?

?

) ? 2b sin c ? cos( x ? ) ? (a ? b ? 1) ? 0 3 3
（15 分）

?

? a ? b cos c ? 0 ? ∴ ?b sin c ? 0 , ?a ? b ? 1 ? 0 ?
由 b sin c ? 0 知 b ? 0 或 sin c ? 0 。 若 b ? 0 时，则由 a ? b cos c ? 0 知 a ? 0 ，这与 a ? b ? 1 ? 0 矛盾！ 若 sin c ? 0 ，则 cos c ? 1 （舍去） cos c ? ?1 ， ， 解得 a ? b ?

b cos c 1 ? ?1 ． , c ? (2k ? 1)? ，所以， a 2

（20 分）

2 14、解： （I）因为 (a ? c)(b ? c) ? ab ? ac ? bc ? c ? ab ? ( a ? b ? c)c ? ab ?

1 （5 分） ab

? 2 ab ?

1 ? 2 ，等号成立的条件是 ab ? 1 ， ab
（10 分）

当 a ? b ? 1, c ? 2 ?1 时， S 可取最小值 2．

（II）当 S 取最小值时， ab ? 1 ，从而 c(a ? b ? c) ? 1， 即 c2 ? (a ? b)c ? 1 ? 0 ，令 t ? a ? b ，则 t ? 2 ab ? 2 从而 c ? （15 分）

?t ? t 2 ? 4 ?t ? t 2 ? 4 或者 c ? ? 0 （舍去） 2 2

?t ? t 2 ? 4 2 故 c? 在 t ? [2, ??) 单减， ? 2 2 t ?4 ?t
所以在 t ? 2 时， c 有最大值 2 ? 1 ． （20 分）

15、解：将直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1方程联立得 ? 化简得 (k 2 ?1) x2 ? 2kx ? 2 ? 0 ①

? y ? kx ? 1
2 2 ?x ? y ? 1

（5 分）

? ?? ? 4k 2 ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ? 2k ? 由题设知方程①有两负根，因此 ? x1 ? x2 ? ? 2 （10 分） ? 0 ，解得 1 ? k ? 2 ． k ?1 ? 2 ? ? x1 ? x2 ? k 2 ? 1 ? 0 ?
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则有 x1 ? x2 ? ?

2k ， k 2 ?1

y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? ?
故 AB 的中点为 ( ?

2k 2 2 ?2?? 2 2 k ?1 k ?1

k 1 ,? 2 )， k ?1 k ?1 ?1 ?2 ( x ? 2) ，其在 y 轴的截距 b ? 2 所以直线 l 方程为 y ? ， （15 分） 2 2k ? k ? 2 2k ? k ? 2 1 2 17 2 当 1 ? k ? 2 时， 2k ? k ? 2 ? 2(k ? ) ? ，其取值范围是 (?1, 2 ? 2) 4 8 ?2 所以 b ? 的取值范围是 (??, ?2 ? 2) ? (2, ??) ． （20 分） 2 2k ? k ? 2
2

16、解： （I） fn' ( x) ? nxn?1 (1 ? x)2 ? 2xn (1 ? x) ? xn?1 (1 ? x)[n(1 ? x) ? 2x] ，
' 当 x ? [ ,1] 时，由 f n ( x) ? 0 知 x ? 1 或者 x ?

1 2

n ， n?2

（5 分）

n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ，又 f1 ( ) ? ， f n (1) ? 0 ，故 a1 ? ； 8 n?2 3 2 2 8 n 1 1 1 1 1 ? ? [ ,1] ，又 f 2 ( ) ? 当 n ? 2 时， ， f n (1) ? 0 ，故 a2 ? ； 16 n?2 2 2 2 16 n 1 ? [ ,1] ， 当 n ? 3 时， n?2 2 1 n n ) 时， f n' ( x) ? 0 ； x ? ( ,1) 时， f n' ( x) ? 0 ； ∵ x ?[ , 2 n?2 n?2
当 n ? 1 时， ∴ f n ( x) 在 x ?

n n n 2 2 4nn 处取得最大值，即 an ? ( ) ( ) ? n?2 n?2 n?2 (n ? 2)n? 2

?1 ? 8 ,(n ? 1) ? 综上所述， an ? ? ． n ? 4n ,(n ? 2) ? (n ? 2) n?2 ?
2 n 4nn 1 （II）当 n ? 2 时，欲证 ，只需证明 (1 ? ) ? 4 ? n?2 2 n (n ? 2) (n ? 2)
∵ (1 ? ) ? Cn ? Cn ? ( ) ? Cn ? ( ) ? ? ? Cn ? ( )
n 0 1 n

（10 分）

2 n

21 2 2 2 n n n(n ? 1) 4 ? 1? 2 ? ? 2 ? 1? 2 ?1 ? 4 2 n

2 n

n

所以，当 n ? 2 时，都有 an ?

1 成立． (n ? 2)2

（15 分）

（III）当 n ? 1, 2 时，结论显然成立； 当 n ? 3 时，由（II）知 S n ?

1 1 ? ? a3 ? a4 ? ? ? an 8 16

1 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ??? 8 16 5 6 (n ? 2)2
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? ) 8 16 4 5 5 6 n ?1 n ? 2 1 1 1 7 ? ? ? ? ． 8 16 4 16 7 所以，对任意正整数 n ，都有 S n ? 成立． （20 分） 16