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分离变量法的应用


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1、分离变量方法的应用—稳定热传导问题 、分离变量方法的应用 稳定热传导问题 2、有界弦的纯受迫振动问题 、 3、非零初始条件的处理 、 4、非齐次边界条件问题 、

1

非齐次边界条件的处理:

? u tt ? a u x x = 0 , ? ? u x = 0 = g (t ) , u ?u

? t=0 = ? ( x ), ut
2

x=l

= h (t ) , =ψ

t=0

( x ).
x =l

u ( x, t ) = v ( x , t ) + w ( x, t ) ; w

x =0

= g (t ) , w

= h (t )

h (t ) ? g (t ) w ( x, t ) = x + g (t ). l ?vtt ? a 2 vxx = ? ( wtt ? a 2 wxx ) ? ? ?v x =0 = v x =l = 0. ? ?v t =0 = ? ( x ) ? w ( x, 0 ) , vt t =0 = ψ ( x ) ? wt ( x, 0 ) . ?

2

思考题
非齐次泛定方程在非齐次边界条件和非零 初始条件下的定解问题应该如何求解?

?utt ? a u xx = f ( x, t ) , ? ?u x = 0 = g ( t ) , u x = l = h ( t ) , ?u = ? x , u = ψ x . ( ) t t =0 ( ) t =0 ?
2

3

三维形式的直角坐标分离变量
以三维空间 三维空间中的热传导问题为例,考虑齐次泛定方程: 三维空间

?u ?u ?u 2 ? u =a [ 2 + 2 + 2 ] ?t ?x ?y ?z
2 2 2

考虑如下形式的解:

u( x, y, z,t ) =V ( x, y, z) T ( t )
代入方程可得:

a T (t)
2

T '( t )

=

?V ( x, y, z) V ( x, y, z)


4

这样得到如下两个微分方程:

′(t) ? λa2T(t) = 0 T ?V ? λV = 0
第二个微分方程可以进一步分离变量,令:

V = X ( x) Y ( y) Z ( z)
代入方程中整理可得:

X '' Y '' Z '' + + ?λ = 0 X Y Z
5

分析易得:X′′ ?ηX = 0

Y′′ ? ?Y = 0 Z′′ ?ν Z = 0
时间部分的解为:

η + ? +ν = λ
?λa2t

T ( t ) = Ce

空间部分(满足边界条件要求)的解通常为正弦函数 和余弦函数的组合。 因此,三维热传导问题的完整解为:

u(x, y, z,t) = ∑Cl,m,ne
l ,m,n

?λa2t

Xl (x)Ym( y)Zn (z)
6

求解下列定解问题: 例8.5 求解下列定解问题:

解 :设 u

( x, y, z, t ) = T ( t )V ( x, y, z ) ,泛定方程变为: 2 T '(t ) ? λk T (t ) = 0
Vxx + Vyy + Vzz ? λV = 0
7

进一步对空间坐标分离变量,设

V ( x, y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z ) ,
结合边界条件,可得到如下本征值问题: ? X ''? λ1 X = 0 ?Y ''? λ2Y = 0 ? ? ? ? Z ''? λ3 Z = 0 ,? ,? . ? ? X ( 0 ) = X ( a ) = 0 ?Y ( 0 ) = Y ( b ) = 0 ? Z ( 0 ) = Z ( b ) = 0 ? ? ?

( λ = λ1 + λ2 + λ3 ) 求解本征值问题可得: l2π 2 lπ λ1 =? 2 , Xl = A sin x,(l =1 ,2,3,L ) l

a a π m2π 2 m λ2 =? 2 ,Ym = Bm sin y,(m =1 ,2,3,L ) b b n2π 2 nπ λ3 =? 2 , Zn = Cn sin z,(n =1 ,2,3,L ) c c

8

? l2 m2 n2 ? 相应地,λ = λ + λ2 + λ3 =?π 2 ? 2 + 2 + 2 ? 1 b c ? ?a 这时,有: lπ x m y π nπ z
V ( x, y, z) = Clmn sin lmn a sin b sin c

同时可求出 T: :
T =T eλk t 0
2

? l2 m2 n2 ? =T exp[?k2π 2 ? 2 + 2 + 2 ?t] lmn b c ? ?a

构造特解并叠加得到:

u=

l ,m,n=1

∑C



lmn

e

m2 n2 ? ?k π ? 2 + 2 + 2 ?t ?a b c ? ? ?
2

2 2? l

nπ x nπ y nπ z sin sin sin a b c
9

代入初始条件可得:
lπ x m y π nπ z u( x, y, z,0) = ∑ Clmn sin sin sin =?( x, y, z) a b c l ,m,n=1


故定解问题:

的解为:u =

l ,m,n=1

∑C



lmn

e

m2 n2 ? ?k π ? 2 + 2 + 2 ?t ?a b c ? ? ?
2

2 2? l

nπ x nπ y nπ z sin sin sin a b c
10

在利用分离变量法求解定解问题的时候,对方程和 边界条件都要进行变量分离。一般而言,能否应用分离 能否应用分离 变量法,除了和方程和边界条件本身的形式有关之外, 变量法,除了和方程和边界条件本身的形式有关之外, 还和所选择的坐标系有关系。这个时候要根据边界情况 还和所选择的坐标系有关系。 来选取合适的坐标系。在进一步讨论之前,我们引入正 交曲线坐标系的概念。

11

例 8.5 求解如下定解问题: (P194,例4)

若令 u = X ( x ) Y ( y ) , 很容易将泛定方程分离变量, 但是边界条件却无法进行变量分离。 考虑到问题的 特征,采用极坐标系更为恰当。原定解问题在极坐标

? 2u 1 ?u 1 ? 2u 下变为: ? ?? 2u = ?ρ 2 + ρ ?ρ + ρ 2 ?? 2 = 0, ( ρ < a ) ? ?u ? ρ = a = 0, u ρ →∞ ? E0 ρ cos ?

12

正交曲线坐标系
由三族互相正交的曲面定义的坐标系称为正交 曲线坐标系。正交曲线坐标系和直角坐标的关系为:

? x = x ( q1 , q2 , q3 ) ? ? y = y ( q1 , q2 , q3 ) ? ? z = z ( q1 , q2 , q3 )

?q1 = q1 ( x, y, z ) ? ?q2 = q2 ( x, y, z ) ? ?q3 = q3 ( x, y, z )
?ρ = x2 + y2 ? ? y ?? = arctan x ? ?z = z ?

例:柱坐标系 ? x = ρ cos ? ? ? y = ρ sin ? ?z = z ?

( )
13

球坐标系

? x = r sin θ cos ? ? ? y = r sin θ sin ? ? z = r cos θ ?

? r = x2 + y 2 + z 2 ? ? θ = arctan x 2 + y 2 z ? ? ?? = arctan y x ?

(

)

( 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ < π , 0 ≤ ? ≤ 2π )
其他正交曲线坐标系还有抛物柱面坐标、椭球 坐标等。
14

正交曲线坐标系中的Laplace算符 算符 正交曲线坐标系中的
柱坐标系

1 ? ? ?u ? 1 ? 2u ? 2u ?u = + 2 ?ρ ?+ 2 2 ρ ?ρ ? ?ρ ? ρ ?? ?z
球坐标系
1 ? ? 2 ?u ? 1 ? ? ?u ? 1 ? 2u ?u = 2 ? r ?+ 2 ? sin θ ?+ 2 2 r ?r ? ?r ? r sin θ ?θ ? ?θ ? r sin θ ?? 2
15

一般地, 一般地,我们总可以对齐次泛定方程的时间和 坐标变量进行分离(和坐标系的选取无关)。现在 坐标变量进行分离(和坐标系的选取无关)。现在 )。 我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace 我们就来考察在不同的正交曲线坐标系下对Laplace 方程如何进行变量分离。 方程如何进行变量分离。

16

柱坐标系的情况
1 ? ? ?u ? 1 ? 2u ? 2u ?u = + 2 ?ρ ?+ 2 2 ?z ρ ?ρ ? ?ρ ? ρ ??
令 u = R ( ρ ) Φ (? ) Z ( z ) ,则

ρ ρ 用 u = ρ 2 ( RΦZ ) 遍乘各项,得:
2

?u = ΦZR ''+

ΦZ

R '+

RZ

Φ ''+ RΦZ '' = 0 ,

?u =

ρ R '' ρ R ' Φ '' ρ Z''
2

R

+

R

+

Φ

+

2

Z

=0
17

Φ ''+ λΦ = 0
分析易得:

ρ R '' ρ R ' ρ Z ''
2

R

+

R

+

2

Z



根据极角的定义,我们有如下自然边界条件 自然边界条件: 自然边界条件

u ( ρ , ? , z ) = u ( ρ , ? + 2 k π , z ) ; Φ (? ) = Φ (? + 2 k π )
由此,我们得到关于 Φ 如下本征值问题: 容易知道,当 λ
2

Φ ''+ λΦ (? ) = 0, Φ (? ) = Φ (? + 2kπ ) .

= m 时,本征值问题有非平庸解: Φ m (? ) =Am cos m? + Bm sin m? .
18

同时,另一方程可变化为:

R '' R ' m Z '' + ? 2 = ? = ?? R ρR ρ Z
这可以转化为两个常微分方程:

2

Z ''? ?Z = 0 R' ? m ? R ''+ + ? ? ? 2 ? R = 0 ρ ? ρ ?
2
19

球坐标系的情况
1 ? ? 2 ?u ? 1 ? ? ?u ? 1 ? 2u ?u = 2 ?r ?+ 2 ? sin θ ?+ 2 ?θ ? r sin 2 θ ?? 2 r ?r ? ?r ? r sin θ ?θ ?

令 u = R ( r ) Θ (θ ) Φ (? ) = R ( r ) Y

(θ , ? ) ,则

Y d ? 2 dR ? R ? ? ?Y ? 1 ? 2Y ?u = 2 =0 ?r ?+ 2 ? sin θ ?+ 2 2 2 r dr ? dr ? r sin θ ? θ ? ? θ ? r sin θ ? ?

用 u = r2

( RY ) 遍乘各项并移项,即得:
20

1 d ? 2 dR ? 1 ? ? ?Y ? 1 ? 2Y ?r ?=? ? sin θ ?? ?θ ? Y sin 2 θ ?? 2 R dr ? dr ? Y sin θ ?θ ?

这样 Laplace 方程就分解为两个方程: d ? 2 dR ? ?r ? ? λ R = 0, dr ? dr ? 1 ? ? ?Y ? 1 ? 2Y + λY = 0 ? sin θ ?+ 2 2 sin θ ?θ ? ?θ ? sin θ ??

进一步对第二个方程分离变量,设 Y (θ ,? ) = Θ(θ ) Φ (? ) :

Φ d ? dΘ ? Θ d 2Φ + λΘΦ = 0 ? sin θ ?+ 2 sin θ dθ ? dθ ? sin θ d?
这样就可以得到如下两个常微分方程: Φ ''+ηΦ = 0

d ? dΘ ? sinθ ? sinθ + ( λ sin2 θ ?η ) Θ = 0 ? dθ ? dθ ?

21

例 8.5 求解如下定解问题: (P194,例4)

原定解问题在极坐标下变为:

? ? 2u 1 ?u 1 ? 2u + 2 = 0, ( ρ < a) ? ? 2u = 2 + 2 ρ ?ρ ρ ?? ?ρ ? ?u ? ρ = a = 0, u ρ →∞ ? ? E0 ρ cos ?
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