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[名校联盟]福建省长泰县第一中学2012届高三数学二轮复习04讲 数形结合思想


第3讲 数形结合思想

1.数形结合的思想方法也是一种重要的数学策略,它 包括两个方面:“以形助数”和“以数助 形”.“以形助数”即是借助形的生动性和直观性 来阐明数之间的联系,它是以“形”为手段,以 “数”为目的,如应用函数的图象来直观地说明 函数的性质,应用数轴直观表达不等式组的解 集.“以数助形”是借助于数的精确性和规范严密

性来阐明形的某些属性,它是以“数”为手段,
以“形”为目的,如二分法确认方程根的分布, 曲线方程可以精确地阐明曲线的几何性质.

2.数形结合,是根据数量与图形之间的对应关系,

通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思
想方法,也是一种智慧的解题技巧,它可以使复

杂的问题简单化,抽象的问题具体化,繁琐的问
题条理化,从而,便于找到简捷的解题思路,使 问题得到解决. 3.在运用数形结合思想解题时,还必须关注以下几 个方面: (1)由数想形时,要注意“形”的准确性,这是 数形结合的基础.

(2)数形结合,贵在结合,要充分发挥两者的优

势.“形”有直观、形象的特点,但代替不上具体
的运算和证明,在解题中往往提供一种数学解题 的平台或模式,而“数”才是其真正的主角,若 忽视这一点,很容易造成对数形结合的谬用. 4.数学前辈华罗庚曾说过:“数与形,本是相倚

依,焉能分作两边飞,数缺形时少知觉,形少数
时难入微.数形结合百般好,隔离分家万事非.切 莫忘几何代数统一体,永远联系,切莫分离”.可

见,数形结合既是一种重要的数学思想,又是一
种智慧的数学方法,备考中要仔细体会,牢固掌 握,熟练应用.

【例1】已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},
且在(0,+∞)上单调递增,若f(1)=0,满足

x·f(x)<0的x的取值范围是 (-1,0)∪(0,1) .
分析 函数f(x)比较抽象,欲解出目标不等式是 不可能的,注意到x·f(x)<0表明自变量与函数 值异号,故可作出f(x)的图象加以解决. 解析 作出符合条件的一个函数图象

(草图即可),可知:x·f(x)<0的
x取值范围是(-1,0)∪(0,1).

探究拓展

函数图象是函数对应关系的一种表现

方式,它具有直观、形象、简明的特点.通过绘出
函数图象,依图象确定相关不等式的解集的方 法,称作“图象法解不等式”. 变式训练1 (2009·徐州调研)设奇函数y=f(x) (x≠0),当x∈(0,+∞)时,f(x)=x-1,则不等式

f(x-1)<0的解集是
解析 常规方法是分x-1>0,x-1<0 讨论,分别得到不等式,并解之.

.

如果能根据已知条件作出y=f(x)
的图象(奇函数图象关于原点对称), 则可直观地得到f(x)<0的解为x<-1或0<x<1(见图).

从而f(x-1)<0的解为x-1<-1或0<x-1<1,

即x<0或1<x<2.
答案 {x|x<0或1<x<2} . 【例2】不等式 4 x ? x 2 ? x 的解集是
2 2 ?4 x ? x ? 0, ? x ? 4 x ? 0, ? ? ? ? x ? 0, 方法一 ? x ? 0, ?x2 ? 4x ? x2 ?2 x 2 ? 4 x ? ?

解析

?0 ? x ? 4, ? ? ? x ? 0, ? 2 ? x ? 4. ? x ? 2或x ? 0, ?

方法二

数形结合法,

令 y ? 4 x ? x 2 ,则(x-2)2+y2=4 (y≥
0)其图象是半圆,在同一直角坐标 系中,分别作出 y ? 4 x ? x 2 , y=x的 图象,如图所示,当0≤x≤2时, 4 x ? x 2 ? x; 当2<x≤4时, 4 x ? x 2 ? x, 故解集为(2,4].

答案

(2,4]
图象法解不等式具有运算量小,思维

探究拓展

量小,简捷明了等优点,但对作图象要求较高,

必须能准确迅速作出相关函数或方程的图象,再
结合具体条件要求分析出结论来.图象法实质是转 化化归思想的应用.

变式训练2

解关于x的不等式:|x2-1|<ax (a>0).



设y1=|x2-1|,

y2=ax (a>0). 如图分别作出两个函数的图象,
2 ? y1 ? x ? 1, 由? ? y2 ? ax. 令y1=y2求出交点横坐标

?a? a ?4 a? a ?4 x ? ,x ? . 2 2
2 2 1 2

从图形不难看出当函数y2的图象位于y1图象上方 时,对应的x的取值范围即为原不等式的解. ∴原不等式的解集为
? ? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ? ? ?x? ?x ? 2 2 ? ? ? ?

.

【例3】关于x的方程 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? a ? 1在?0, 2? ?上有 ? ?

2个不同的根,求实数a的取值范围及此两根之和.
分析 由于原式可化为 sin( 2 x ? ? ) ? a ? 1, 又x ? ?0, 2? ?,
3 2 ? ? 3? ?

?

3?

a ?1 不能直接使用 ? 1.为直观求解, 作出函数在 2
?0, 2? ?上的图象. ? 3? ? ?


1

设 y ? sin( 2 x ? ), x ? ?0,
3 ?

? a ?1 原方程可化为 sin( 2 x ? ) ? . 3 2 ? a ?1 ? 2? ?
?, y2 ? 2 , 3?

在同一坐标系下作出两函数的图象,两图象交点 的横坐标即为方程的解,如图所示.为有两个不同 的根,应满足 3 ? a ? 1 ? 1, 或 ? 1 ? a ? 1 ? ? 3 .
2 2 2 2



3 ? 1 ? a ? 1, 或 ? 3 ? a ? ? 3 ? 1.

依图象可以看出 x1 ? x2 ? ? 或x1 ? x2 ? 7? . 6 6 所以满足方程的a的取值范围是
3 ? 1 ? a ? 1, 或 ? 3 ? a ? ? 3 ? 1. 方程的两根之和为 ? 或 7 ? . 6 6

探究拓展

超越方程(非初等方程)根的个数研

究问题,往往转化为函数图象交点个数问题研
究,但前提是要将图象画准确,这样,可以避免 繁琐的计算(有时是不可能的计算).本例中实质 还运用了构造法.构造出了两个函数,将问题转化 为研究何时函数值相等,何时图象有两个不同的

交点,最后用运动变化的观点,分析出a的取值范围.
变式训练3 设关于? 的方程 3 cos ? ? sin ? ? a ? 0 在区间(0,2 ? )内有相异的两个实根 ?、 ? .

(1)求实数a的取值范围;
(2)求? ? ? 的值.

? a ? (1)原方程可化为 sin(? ? ) ? ? , 作出函数y ? sin( x ? ) 解 3 2 3

( x ? (0,2? ))的图象. 由图知, 方程在(0,2? )内有相异实根? , ?的充要条件是 a ? ?? 1 ? ? 2 ? 1 ? ,即 ? 2 ? a ? ? 3或 ? 3 ? a ? 2. ? ?? a ? 3 ? 2 2 ?

a 3 (2)由图知 : 当 ? 3 ? a ? 2,即 ? ? (?1, )时, 2 2 a ? 直线y ? ? 与三角函数 y ? sin( x ? )的图象交于 C、D 2 3 7 两点, 它们中点的横坐标为 ? , 6 ? ? ? 7? 7? ? ? ,?? ? ? ? . 2 6 3 a 3 a 当 ? 2 ? a ? ? 3,即 ? ? ( ,1)时, 直线y ? ? 与三 2 2 2 角函数y ? sin( x ? )的图象有两交点 A、B ,由对称性知 , 3 ? ?? ? ? ? ,?? ? ? ? . 2 6 3 ? 7 综上所述, ? ? ? ? 或? ? ? ? ? . 3 3

?

【例4】已知圆C:(x+2)2+y2=1,P(x,y)为圆C上任

一点.
(1)求 分析 (2)求x-2y的最大、最小值. (1)由 y ? 2 容易联想到它的几何意义是
x ?1 y?2 x ?1

的最大、最小值;

点(x,y)与(1,2)所确定直线的斜率.

(2)由x-2y可联想到“目标函数”,可视为动直线
截距的最值问题. 解 (1)如图所示,设Q(1,2),
y?2 ?k x ?1

由P(x,y),得

的最大、

最小值分别为过Q点的圆C的两 条切线的斜率.将上式整理得kx-y+2-k=0.

由C (?2,0)到直线kx ? y ? 2 ? k ? 0的 ? 2k ? 2 ? k 3? 3 距离为1, 得d ? ? 1,? k ? , 1? k 4 y?2 3? 3 3? 3 ? 的最大值为 , 最小值为 . x ?1 4 4
2

(2)令x-2y=u,则可视为一组平行线系,当直线

与⊙C有公共点时,u的范围可求,最值必在直线
与⊙C相切时取得. ?2?u d? ? 1,? u ? ?2 ? 5. 5 ∴x-2y的最大值为-2+ 5 ,最小值为-2- 5 .

探究拓展

认真分析和研究代数式的结构特征,

运用类比、联想,将已知条件转化为直观形象的
图形,或挖掘出代数式的几何意义并使之形象 化,具体化是数形结合运用能力的体现,备考者 要着力培养和训练这一意识与能力.本例中,将最 值问题转化为直线斜率的最值问题,并作出相关

图象,使问题一目了然,迅速获解.
变试训练4 范围为 设x>0,y>0,x2-y2=1,则 .
y 的取值 x?2

y 分析 的几何意义是双曲线x2-y2=1在第一象 x?2 限内的点(x,y)与定点(2,0)的连线斜率,由

图象即可求出其取值范围.

解析

画出双曲线弧x2-y2=1 (x>0,y>0),在其上

任取一点P(x,y),设Q(2,0),连结PQ,则 y?0 k PQ ? , x?2 由图知直线PQ的倾斜角的范围为
( , ? ). ∴kPQ>1或kPQ<0, 4
? y 的取值范围为(-∞,0)∪(1,+∞). x?2

?

答案(-∞,0)∪(1,+∞)

规律方法总结

1.运用数形结合思想分析和解决问题时,首先要彻
底弄清一些概念和运算的几何意义,以及曲线的 方程特征,为运用“数形结合”思想作好基础性 准备,对于数学题设中的条件和结论既要分析其 几何意义,又要分析其代数意义,以期望迅速找

到两者的“结合点”,实现“数形结合”的愿望.
2.要树立强烈的“数形结合意识”,“由数思形” 和“以形想数”,有时还要恰当的设立参数,合

理用好参数,建立恰当的关系式,有助于问题解
决.

3.纵观近几年江苏省高考试题,不难发现,数形结

合应用的考查,比比皆是,解析几何问题,函数
与不等式问题,参数范围问题,集合问题,立体 几何问题,数列问题等都用到了数形结合的思想 与方法. 4.应用数形结合思想方法解题,通常可以从以下几

个方面思考:
(1)函数、不等式与函数图象;(2)曲线与方 程;(3)代数式的结构特征;(4)概念自身的

几何意义;(5)参数蕴含的几何意义;(6)向
量的两重性(代数性与几何性);(7)可行域与 目标函数.

5.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个

原则:
(1)等价性原则.要注意由于图象不能精确刻画数 量关系所带来的负面效应.

(2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进
行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何 分析容易出错.

(3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结
合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利; 二是选择好突破口,恰当设参、用参、建立关 系,做好转化;三是挖掘隐含条件,准确界定参 变量的取值范围,特别是运用函数图象时应设法 选择动直线与定二次曲线.

一、填空题 1.设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈

[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式
f(x)<0的解是(-2,0)∪(2,5] .

解析

根据图象的对称性可得f(x)<0的解为-2<x<0,

或2<x≤5.

2 ? x ? 1, x ? 0, ? 2.设函数 f ( x) ? ? x ? 0, ?x ,
1 2

若f(x0)>1,则x0的取值

范围是 (-∞,-1)∪(1,+∞) . 解析 如图所示,画出函数f(x)的图象和常数函数

f(x)=1的图象,观察图形,易知x0的取值范围是
(-∞,-1)∪(1,+∞).

3.函数f(x)=x2-x-2,x∈[-5,5],那么任取一点x0, 使f(x0)≤0的概率是 0.3 .

解析

几何概型.

f(x)=x2-x-2≤0?-1≤x≤2, ?

? 2 ? (?1) 3 ?P ? ? ? ? 0.3. ? 5 ? (?5) 10
?

4.已知Sn是等差数列{an}的前n项和且Sp=Sq(p≠q),

则Sp+q= 0
解析

.

n(n ? 1) ? S n ? na1 ? d 2 d 2 d ? n ? (a1 ? )n, 2 2

题设知d≠0.∴Sn是关于n的缺常数项的二次函数,

其图象是由过原点的抛物线上的点构成.如图所
示,又因抛物线对称轴方程为
x? p?q , 故S p ?q ? 0. 2

5.设关于x的不等式

4 x ? x 2 ?(a-1)x的解集为A, 且A?{x|0<x<2},则a的取值集合是 [2,+∞) . ?

解析 设y ? 4 x ? x 2 (0 ? x ? 4), 则y 2 ? 4 x ? x 2 ,即( x ?
2) 2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 4, y ? 0), 于是y ? 4 x ? x 2 是以(2,0)

为圆心,2为半径的半圆,而y=(a-1)x是过原点的 直线束. 问题转化为:0<x<2时,半圆在动直线上方,求此 时a的值的集合.易得a-1≥1,即a≥2(图请读者自 己画出).

6.(2009·山东)若函数f(x)=ax-x-a (a>0,且a≠1)

有两个零点,则实数a的取值范围是 a>1 .
解析 令g(x)=ax (a>0,且a≠1),h(x)=x+a,分 0<a<1,a>1两种情况,在同一坐标系中画出两个函 数的图象,如图所示,若函数f(x)=ax-x-a有两个 不同的零点,则函数g(x),h(x)的图象有两个不同

的交点,根据画出的图象知只有当a>1时符合题目
要求.

二、解答题

7.已知 0 ? x ? 3 ? ,方程sin2x+2sin xcos x+3cos2x+a=0
有三个实数根,求a的取值范围. 解 即 原方程可化为2+sin 2x+cos 2x+a=0,
2 sin( 2 x ? ) ? ?a ? 2. 4
2

?

? 3? 令f ( x) ? 2 sin( 2 x ? )(0 ? x ? ), 4 2 则原方程有三个实根等价于
y=f(x)与y=-a-2有三个交点.

由图象可得-1<-a-2≤1,即
-3≤a<-1. ∴a的取值范围为[-3,-1).

8.若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-

5=0在第一象限内的部分有交点,求k的取值范围.
解 ∵x2+4x+y2-5=0, ∴(x+2)2+y2=9是以(-2,0)为圆心,3为半径 的圆,如图所示,令x=0,得y=±5,∴C的坐标为 (0, 5 ). 又M(-1,0),
? k MC ? 5?0 ? 5. 0 ? ( ?1)

由于直线和圆在第一象限内有交点. 结合图形得0<k< 5 .

9.(2008·四川改编)设等差数列{an}的前n项和为

Sn,若S4≥10,S5≤15,求a4的最大值.
解 设等差数列的首项为a1,公差为d, 则S4=4a1+6d≥10,即2a1+3d≥5, S5=5a1+10d≤15,即a1+2d≤3.又a4=a1+3d,
?2a1 ? 3d ? 5, 因此求a4的最值可转化为在线性约束条件 ? ?a1 ? 2d ? 3

限制之下的线性目标函数的最值问题,作出可行
域如下图,

可知当a4=a1+3d,经过点A
(1,1)时有最大值4.

10. (2009·苏州调研)实系数一元二次方程 x2+ax+2b

=0的一根在(0,1)上,另一根在(1,2)上,

b?2 的取值范围. a ?1

分析

用二次函数的图象研究根的分布问题,再
a ?1

研究所得不等式和式子 b ? 2 的几何意义. 解 由x2+ax+2b=0的二根分别在区间(0,1)与 (1,2)上的几何意义为y=f(x)=x2+ax+2b与x轴的两 交点的横坐标分别在区间(0,1),(1,2)内.
? f (0) ? 0, ?b ? 0, ? ? ? ? f (1) ? 0, ? ?a ? 2b ? 1 ? 0, ? f (2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0. ? ?

在aOb坐标平面内,上面不等式表示的点集为△ABC 的内部(如图所示).
?a ? 2b ? 1 ? 0, A点由? ? a ? b ? 2 ? 0. 解得A(?3,1); ?a ? b ? 2 ? 0, B点由? 解得B (?2.0); ?b ? 0. ?a ? 2b ? 1 ? 0, C点由? 解得C (?1,0). ?b ? 0.

b?2 而 的几何意义是点(a, b)与点(1,2)连线的斜率. a ?1 2 ?1 1 2?0 ? k AD ? ? , kCD ? ? 1. 1? 3 4 1?1 b?2 1 b?2 由图知k AD ? ? kCD .? ? ? 1. a?2 4 a ?1 b?2 1 ? 的取值范围为( ,1). a ?1 4

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