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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义第九章9.3


数学

北(理)

§9.3 圆的方程
第九章 解析几何

基础知识·自主学习
要点梳理
1.圆的定义 在平面内,到 定点 的距离等于 定长 的点的 集合 叫圆. 2.确定一个圆最基本的要素是 圆心 和
难点正本 疑点清源 1.确定圆的方程时,常用 到的圆的三个性质
(

1)圆心在过切点且垂直 切线的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂 线上; (3)两圆内切或外切时, 切点与两圆圆心三点共 线.

半径 .
3.圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中

(a,b) 为圆心, r 为半径.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
4.圆的一般方程 x2+ y2+ Dx+ Ey+ F = 0 表示圆的充 要条件是 D +E -4F>0 , 其中圆心
? D E? ?- ,- ? 2? 为 ? 2
2 2

难点正本 疑点清源 1.确定圆的方程时,常用 到的圆的三个性质
(1) 圆 心 在 过 切 点 且 垂 直切线的直线上; (2) 圆 心 在 任 一 弦 的 中 垂线上; (3)两圆内切或外切时, 切点与两圆圆心三点共 线.



D2+E2-4F 2 半径 r= .

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
5.确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法, 大致步骤为 (1) 根 据 题 意 , 选 择 标 准 方 程 或 一 般 方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、 F 的方程组; (3)解出 a、b、r 或 D、E、F 代入标准 方程或一般方程.
题型分类 思想方法

难点正本 疑点清源 2.圆的一般方程的特征
圆的一般方程: x2 + y2 +Dx+Ey+F=0,若化 ? D ?2 为标准式,即为?x+ 2 ? ? ? 2 2 ? E?2 D +E -4F +?y+ 2 ? = . 4 ? ? 由 于 r2 相 当 于 D2+E2-4F . 4

基础知识

练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理
6.点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种. 圆的标准方程 (x- a)2+ (y-b)2= r2, 点 M(x0,y0)
2 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) = r 0 (1)点在圆上: 0 ;
2 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) >r ; 0 (2)点在圆外: 0 2 2 2 ( x - a ) + ( y - b ) <r . 0 (3)点在圆内: 0

难点正本 疑点清源 2.圆的一般方程的特征
所 以 ① 当 D2 + E2 - 4F>0 时 , 圆 心 为 ? D E? ?- ,- ? ,半径 r = 2? ? 2 D2+E2-4F . 2 ② 当 D2 + E2 - 4F = 0 时 , 表 示 一 个 点 ? D E? ?- ,- ?. 2? ? 2 ③当 D2+E2-4F<0 时, 这样的圆不存在.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4 5

答案
? 2? ?-2, ? 3? ?

解析

(x-2)2+y2=10

D

C
A

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2).

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程:

(1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, (1)求圆心和半径,确定圆的标 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; 准方程. (2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2).
(2)设圆的一般方程,利用待定 系数法求解.

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程:

(1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, 解

(1)设圆的方程为 x2+y2+Dx

并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; +Ey+F=0, 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2).

将 P、Q 点的坐标分别代入得 (2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 ? ① ?2D-4E-F=20,
? ? ?3D-E+F=-10.



又令 y=0,得 x2+Dx+F=0.③ 设 x1,x2 是方程③的两根,

由|x1-x2|=6 有 D2-4F=36,④
由①、②、④解得 D=-2,E= -4,F=-8,或 D=-6,E= -8,F=0.
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题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程: (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6;

故所求圆的方程为 x2 + y2 - 2x - 4y - 8 = 0 ,或 x2

+y2-6x-8y=0. (2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 (2)方法一 如图,设圆心(x0, 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, 4x0-2 -4x0),依题意得 =1, 3 - x 0 -2). ∴x0=1,即圆心坐标
为(1,-4),半径 r=2 2, 故圆的方程为(x-1)2+ (y+4)2=8.

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题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程:

2 方法二 设所求方程为 ( x - x ) 0 (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, +(y-y0)2=r2, 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; 根据已知条件得

(2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2).

? ?y0=-4x0, ??3-x0?2+?-2-y0?2=r2, ? ?|x0+y0-1| =r, ? 2 ? ?x0=1, ? 解得?y0=-4, ?r=2 2. ? 因此所求圆的方程为(x-1)2+

(y+4)2=8.
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题型分类·深度剖析
题型一 求圆的方程
思维启迪 解析 探究提高

【例 1】根据下列条件,求圆的方程: 并且在 x 轴上截得的弦长等于 6; (2)圆心在直线 y=-4x 上, 且与直 线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3, -2).

应根据条件选用 (1)经过 P(-2,4)、Q(3,-1)两点, 求圆的方程时, 合适的圆的方程. 一般来说,求 圆的方程有两种方法:①几何 法, 通过研究圆的性质进而求出 圆的基本量.②代数法,即设出 圆的方程,用待定系数法求解.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 (1)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在

直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 _____________________.
解析

(

)

B.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

(2)经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为
|a-?-a?| |a-?-a?-4| (1)设圆心坐标为(a,-a),则 = ,即|a| 2 2

=|a-2|,解得 a=1,
2 故圆心坐标为(1,-1),半径 r= = 2, 2 故圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.
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题型分类·深度剖析
变式训练 1 (1)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在

直线 x+y=0 上,则圆 C 的方程为 A.(x+1)2+(y-1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2

( B )

(2)经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为 2 2 ( x - 4) + ( y - 5) =10 . _____________________
(2)设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ??5-a?2+?2-b?2=r2 ? 2 2 2 则??3-a? +?2-b? =r ?2a-b-3=0 ?
可得 a=4,b=5,r2=10.
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题型分类·深度剖析
题型二 与圆有关的最值问题
2

【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x +y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值.

思维启迪

解析

探究提高

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 与圆有关的最值问题
2

【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x +y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值.

思维启迪

解析

探究提高

根据代数式的几何意义,借助图 形来求最值.

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题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 与圆有关的最值问题
2

【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x +y -4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值.
2

思维启迪

解析

探究提高



(1)原方程化为(x-2)2+y2=

3, 表示以点(2,0)为圆心, 以 3为 y 半径的圆.设x=k,即 y=kx, 当直线 y=kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值和最小值,此时 |2k-0| y = 3, 解得 k=± 3.故x的 2 k +1 最大值为 3,最小值为- 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 与圆有关的最值问题
2

【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x +y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值.

思维启迪

解析

探究提高

(2)设 y-x=b,即 y=x+b,当 y =x+b 与圆相切时, 纵截距 b 取 得最大值和最小值,此时 |2-0+b| = 3 ,即 b=- 2± 6. 2 故 y-x 的最大值为-2+ 6,最 小值为-2- 6.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二 与圆有关的最值问题
2

【例 2】 已知实数 x、y 满足方程 x +y2-4x+1=0. y (1)求x的最大值和最小值; (2)求 y-x 的最大值和最小值.

思维启迪

解析

探究提高

与圆有关的最值问题,常见的有 以下几种类型: y-b (1) 形如 μ = 形式的最值问 x-a 题,可转化为动直线斜率的最值 问题;(2)形如 t=ax+by 形式的 最值问题,可转化为动直线截距 的最值问题; (3)形如 (x- a)2+ (y -b)2 形式的最值问题,可转化为 动点到定点的距离的平方的最值 问题.
思想方法 练出高分

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题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,

且点 Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值; n- 3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+ 2
解 (1)由 C:x2+y2-4x-14y+45=0 可得(x-2)2+(y-7)2=8, ∴圆心 C 的坐标为(2,7),半径 r=2 2.

又|QC|= ?2+2?2+?7-3?2=4 2.
∴|MQ|max=4 2+2 2=6 2,

|MQ|min=4 2-2 2=2 2. n-3 (2)可知 表示直线 MQ 的斜率, m+2

设直线 MQ 的方程为 y-3=k(x+2), n-3 即 kx-y+2k+3=0,则 =k. m+2
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 已知 M 为圆 C:x2+y2-4x-14y+45=0 上任意一点,

且点 Q(-2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值; n- 3 (2)若 M(m,n),求 的最大值和最小值. m+ 2
|2k-7+2k+3| 由直线 MQ 与圆 C 有交点,所以 ≤2 2. 1+k2

可得 2- 3≤k≤2+ 3,

n-3 所以 的最大值为 2+ 3,最小值为 2- 3. m+2

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基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

与圆有关的轨迹问题
设定点 M(-3,4),动
思维启迪 解析

探究提高

点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四 形 MONP,求点 P 的轨迹.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

与圆有关的轨迹问题
设定点 M(-3,4),动
思维启迪 解析

探究提高

点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四 形 MONP,求点 P 的轨迹.
结合图形寻求点 P 和点 M 坐标的关 系,用相关点法(代入法)解决.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

与圆有关的轨迹问题
设定点 M(-3,4),动
思维启迪 解析

探究提高

点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 解 如图所示, 设 P(x, 以 OM、 ON 为两边作平行四 y),N(x ,y ),则线段
0 0

形 MONP,求点 P 的轨迹.

OP 的 中 点 坐 标 为 ?x y ? ? , ?,线段 MN 的中 ?2 2? ?x0-3 y0+4? ? 点坐标为 ? , ? 2 ? . 由于平行 2 ? ? 四边形的对角线互相平分,
x x0-3 y y0+4 故 = , = . 2 2 2 2

基础知识

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思想方法

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题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

与圆有关的轨迹问题
设定点 M(-3,4),动
思维启迪
? ?x0=x+3 从而? ? ?y0=y-4

解析

探究提高

点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四 形 MONP,求点 P 的轨迹.

.

N(x + 3 , y - 4) 在圆上,故 (x + 3)2 +(y-4)2=4. 因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-
4)2=4,

但 应 除 去 两 点

? 9 12? ?- , ? 5? ? 5



? 21 28? ?- , ?(点 P 在直线 OM 上时的 5 5? ?

情况).
基础知识 题型分类

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练出高分

思想方法

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

与圆有关的轨迹问题
设定点 M(-3,4),动
思维启迪 解析

探究提高

点 N 在圆 x2+y2=4 上运动, 以 OM、 ON 为两边作平行四 形 MONP,求点 P 的轨迹.

求与圆有关的轨迹问题时,根据题 设条件的不同常采用以下方法: ①直接法:直接根据题目提供的条 件列出方程. ②定义法:根据圆、直线等定义列 方程. ③几何法:利用圆的几何性质列方 程. ④代入法:找到要求点与已知点的 关系, 代入已知点满足的关系式等.

基础知识

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 3 点 P(4,-2)与圆 x2+y2=4 上任一点连线的中点轨迹方 程是 A.(x-2)2+(y+1)2=1 C.(x+4)2+(y-2)2=4 B.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x+2)2+(y-1)2=1 ( A )

解析

设圆上任一点坐标为(x0,y0),
? ?x0=2x-4 ?? ? ?y0=2y+2

2 x0 +y2 0=4,连线中点坐标为(x,y),

? ?2x=x0+4 则? ? ?2y=y0-2



2 2 2 代入 x0 +y2 0=4 中得(x-2) +(y+1) =1.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)求圆心及半径,关键是求 m. (2)利用 OP⊥OQ,建立关于 m 的方程求解. (3)利用 x1x2+y1y2=0 和根与系数的关系或利用圆的几何性质.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
解 方法一 将 x=3-2y,

规 范 解 答

温 馨 提 醒

代入方程 x2+y2+x-6y+m=0,

得 5y2-20y+12+m=0.
设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 y1、y2 满足条件: 12+m y1+y2=4,y1y2= . 5
基础知识 题型分类 思想方法

2分

4分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
∵OP⊥OQ,∴x1x2+y1y2=0. 而 x1=3-2y1,x2=3-2y2.

规 范 解 答

温 馨 提 醒

-27+4m ∴x1x2=9-6(y1+y2)+4y1y2= . 5 -27+4m 12+m 故 + =0,解得 m=3, 5 5 ? 1 ? 5 ? ? 此时 Δ>0,圆心坐标为 -2,3 ,半径 r=2. ? ?
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6分 9分 12分

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
方法二

规 范 解 答

温 馨 提 醒

如图所示,设弦 PQ 中点为 M,
? 1? y-3=2?x+2?, ? ?

∵O1M⊥PQ,∴k O1M =2.

2分 4分

∴O1M 的方程为 即 y=2x+4. ? ?y=2x+4 由方程组? . ? x + 2 y - 3 = 0 ?
基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒
6分

解得 M 的坐标为(-1,2). 则以 PQ 为直径的圆可设为(x+1)2+(y-2)2=r2. ∵OP⊥OQ,∴点 O 在以 PQ 为直径的圆上. ∴(0+1)2+(0-2)2=r2,即 r2=5,|MQ|2=r2.
在 Rt△O1MQ 中,|O1Q|2=|O1M|2+|MQ|2. ? 1+?-6?2-4m ? 1 ?- +1?2+(3-2)2+5. ∴ = 4 ? 2 ?
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练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
∴m=3.
? 1 ? 5 ∴半径为2,圆心为?-2,3?. ? ?

规 范 解 答

温 馨 提 醒
9分 12分 2分 4分

方法三

设过 P、Q 的圆系方程为 x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0.

由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上.

∴m-3λ=0,即 m=3λ.

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思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角 规 范 解 答 温 馨 提 醒
6分

∴圆系方程可化为 x2+y2+x-6y+3λ+λx+2λy-3λ=0. 即 x2+(1+λ)x+y2+2(λ-3)y=0.
∴圆心 1+λ ∴- 2 +2(3-λ)-3=0,∴λ=1,∴m=3.
? ? 1 5 ∴圆心为?-2,3?,半径为2. ? ?

? 1+λ 2?3-λ?? ? M? ,又圆心在 ?- 2 , 2 ? ? ?

PQ 上.

9分 12分

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思想方法

基础知识

题型分类

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 19.利用方程思想求解圆的问题

典例:(12 分)已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交 于 P,Q 两点,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),求该圆的圆心坐标 及半径.
审 题 视 角
明了,简化思路,简便运算. (2)本题中三种解法都是用方程思想求 m 值,即三种解法围绕“列出 m 的 方程”求 m 值. (3)本题的易错点:不能正确构建关于 m 的方程,找不到解决问题的突破 口,或计算错误.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)在解决与圆有关的问题中, 借助于圆的几何性质, 往往会使得思路简捷

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

1.确定一个圆的方程,需要三个独立条件. “选形式、定参数” 是求圆的方程的基本方法,是指根据题设条件恰当选择圆的方程 的形式,进而确定其中的三个参数.

2.解答圆的问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何 性质,简化运算.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.求圆的方程需要三个独立条件,所以不论是设哪一

失 误 与 防 范

种圆的方程都要列出系数的三个独立方程.

2.过圆外一定点,求圆的切线,应该有两个结果,若 只 求 出 一 个 结 果 , 应该 考 虑 切 线 斜 率 不 存在 的 情况.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

基础知识

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 1.若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,那么直线 x+

ay+b=0 一定不经过 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

(

)

解 析

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A组

专项基础训练

1 7 9 2 3 4 6 8 5 1.若圆 x2+y2-2ax+3by=0 的圆心位于第三象限,那么直线 x+

ay+b=0 一定不经过 A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限

( D )

解 析
圆 x +y -2ax+3by=0
2 2

? 3 ? 的圆心为?a,-2b?, ? ?

1 b 1 b 则 a<0,b>0.直线 y=- x- ,k=- >0,- >0, a a a a 直线不经过第四象限.

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2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围 是 A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 B.0<a<1 D.a=± 1 ( )

解 析

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1 2 3

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2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4 的内部,则实数 a 的取值范围 是 A.-1<a<1 C.a>1 或 a<-1 B.0<a<1 D.a=± 1 ( A )

解 析
因为点(1,1)在圆的内部,
∴(1-a)2+(1+a)2<4,∴-1<a<1.

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3. (2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心, 则 a 的值为 A.-1 B. 1 C.3 D.-3 ( )

解 析

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3. (2011· 安徽)若直线 3x+y+a=0 过圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心, 则 a 的值为 A.-1 B. 1 C.3 D.-3 ( B )

解 析

化圆为标准形式(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2).
∵直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.

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4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A.x2+(y-2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 B.x2+(y+2)2=1 D.x2+(y-3)2=1

)

解 析

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4.圆心在 y 轴上,半径为 1,且过点(1,2)的圆的方程为( A ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1

解 析

设圆心坐标为(0,b),则由题意知

?0-1?2+?b-2?2=1,解得 b=2,
故圆的方程为 x2+(y-2)2=1.

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5.若圆 x2+y2-4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原 点的同侧,则实数 m 的取值范围是__________________.

解 析

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5.若圆 x2+y2-4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交点 A,B 位于原 -6<m<-2 或 m>3 . 点的同侧,则实数 m 的取值范围是__________________

解 析
令 x=0,可得 y2+2my+m+6=0,由题意知,此方程有两 ? ?m+6>0, 个不相等且同号的实数根,即? 2 解得 ? 4 m - 4 ? m + 6 ? >0 , ? -6<m<-2 或 m>3.

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6.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程 为_____________________.

解 析

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6.以直线 3x-4y+12=0 夹在两坐标轴间的线段为直径的圆的方程
? 3?2 25 (x+2) +?y-2? = 4 . ? ? 为_____________________
2

解 析
直线 3x-4y+12=0 与两坐标轴的交点分别为 A(-4,0)、B(0,3),
所以线段 AB 的中点为
? 3? C?-2,2?,|AB|=5. ? ?
2

故所求圆的方程为(x+2)

? 3?2 ?5?2 +?y-2? =?2? . ? ? ? ?

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7.已知点 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点,那么过点 M 的最短弦所在直线的方程是__________.

解 析

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7.已知点 M(1,0)是圆 C:x2+y2-4x-2y=0 内的一点,那么过点

x+y-1=0. M 的最短弦所在直线的方程是__________

解 析
过点 M 的最短弦与 CM 垂直,圆 C:x2+y2-4x-2y=0 的圆心 1-0 为 C(2,1),∵kCM= =1,∴最短弦所在直线的方程为 y-0 2-1 =-1(x-1),即 x+y-1=0.

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8.(10 分)根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

解 析

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8.(10 分)根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

(1)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, ?a2+b2=r2 ?a=4, ? ? 2 2 2 由题意列出方程组??a-1? +?b-1? =r ,解之得?b=-3, ?2a+3b+1=0 ?r2=25. ? ? ∴圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25. (2)方法一 设圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0, ?1+144+D+12E+F=0, ? 则?49+100+7D+10E+F=0, ?81+4-9D+2E+F=0. ?

解 析



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8.(10 分)根据下列条件求圆的方程: (1)经过点 P(1,1)和坐标原点,并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)过三点 A(1,12),B(7,10),C(-9,2).

解 析

解得 D=-2,E=-4,F=-95.

∴所求圆的方程为 x2+y2-2x-4y-95=0.

1 方法二 由 A(1,12),B(7,10),得 AB 的中点坐标为(4,11),kAB=-3, 则 AB 的中垂线方程为 3x-y-1=0. 同理得 AC 的中垂线方程为 x+y-3=0. ? ? ?3x-y-1=0 ?x=1 联立? ,得? , ?x+y-3=0 ?y=2 ? ?
即圆心坐标为(1,2),半径 r= ?1-1?2+?2-12?2=10.

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=100.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
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5 6 7 8 9

9.(12 分)一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截 距的和为 2,求此圆的方程.

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9

9.(12 分)一圆经过 A(4,2),B(-1,3)两点,且在两坐标轴上的四个截 距的和为 2,求此圆的方程.

解 析
解 设圆心为(a,b),圆与 x 轴分别交于(x1,0),(x2,0),与 y 轴 分别交于(0,y1),(0,y2),根据题意知 x1+x2+y1+y2=2,∵a x1+x2 y1+y2 = ,b= ,∴a+b=1. 2 2 又∵点(a,b)在线段 AB 的中垂线上,∴5a-b-5=0. ? ? ?a+b=1, ?a=1, ? 联立 解得? ? ? ?5a-b-5=0, ?b=0. ∴圆心为(1,0),半径为 ?4-1?2+?2-0?2= 13.

∴所求圆的方程为(x-1)2+y2=13.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

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4 5 6 7

1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b)( A.在圆上 C.在圆内 B.在圆外 D.以上都有可能

)

解 析

基础知识

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

1.若直线 ax+by=1 与圆 x2+y2=1 相交,则 P(a,b)( B ) A.在圆上 C.在圆内 B.在圆外 D.以上都有可能

解 析
1 2 2 由已知条件 2 2<1,即 a +b >1. a +b

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练出高分

练出高分
1 2

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3

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4 5 6 7

2.已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为 A.8 B.-4 C.6 D.无法确定 ( )

解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

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4 5 6 7

2.已知圆 C:x2+y2+mx-4=0 上存在两点关于直线 x-y+3=0 对称,则实数 m 的值为 A.8 B.-4 C.6 D.无法确定 ( C )

解 析

圆上存在关于直线 x-y+3=0 对称的两点,则 x-y+3=0 过圆心 ? m ? m ?- ,0?,即- +3=0,∴m=6. 2 ? 2 ?

基础知识

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练出高分
1 2

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4 5 6 7

3.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆的方程是 A.x2+y2-4x=0 C.x2+y2-2x-3=0
解 析

(

)

B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2+2x-3=0

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

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3

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4 5 6 7

3.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x+4y+4=0 相切,则圆的方程是 A.x2+y2-4x=0 C.x2+y2-2x-3=0
解 析
设圆心为 C(m,0) (m>0),因为所求圆与直线 3x+4y+4=0 相切, |3m+4×0+4| 所以 =2,整理得:|3m+4|=10,解得 m=2 或 m 2 2 3 +4 14 =- (舍去),故所求圆的方程为(x-2)2+y2=22,即 x2+y2-4x 3 =0,故选 A.
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分

( A )

B.x2+y2+4x=0 D.x2+y2+2x-3=0

练出高分
1 2

B组
3

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4 5 6 7

4.已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴 对称,则 a-b 的取值范围是________.
解 析

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

4.已知圆 x2+y2+2x-4y+a=0 关于直线 y=2x+b 成轴
(-∞,1). 对称,则 a-b 的取值范围是________

解 析
圆的方程化为(x+1)2+(y-2)2=5-a, ∴其圆心为(-1,2),且 5-a>0,即 a<5.
又圆关于直线 y=2x+b 成轴对称,
∴2=-2+b,∴b=4.∴a-b=a-4<1.

基础知识

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1 2

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3

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4 5 6 7

5.若 PQ 是圆 O:x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ 的方程是______________.

解 析

基础知识

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1 2

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4 5 6 7

5.若 PQ 是圆 O:x2+y2=9 的弦,PQ 的中点是 M(1,2),则直线 PQ x+2y-5=0 . 的方程是______________

解 析
1 由圆的几何性质知 kPQkOM=-1.∵kOM=2,∴kPQ=- ,故直 2 1 线 PQ 的方程为 y-2=- (x-1),即 x+2y-5=0. 2

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6.已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足 为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

6.已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足 为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________.

解 析
如图,取 AC 的中点 F,BD 的中点 E,则 OE⊥BD,OF⊥AC.

又 AC⊥BD,
∴四边形 OEMF 为矩形, 设|OF|=d1,|OE|=d2,
2 2 ∴d2 1+d2=|OM| =3. 2 又|AC|=2 4-d2 , | BD | = 2 4 - d 1 2, 1 ∴S 四边形 ABCD=2|AC|· |BD|

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4 5 6 7

6.已知 AC、BD 为圆 O:x2+y2=4 的两条相互垂直的弦,垂足

5 为 M(1, 2),则四边形 ABCD 的面积的最大值为________ . 解 析
2 2 2 =2 4-d2 · 4 - d = 2 ? 1 + d ? · ? 4 - d 1 2 2 2?

=2

? 3?2 25 2 -?d2-2? + . 4 ? ?

∵0≤d2 2≤3.∴当

3 2 d2= 时,S 2

四边形 ABCD

有最大值是 5.

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1
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4 5 6

7

7.(13 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,试求圆 C 的方程.

解 析

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1 2

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3

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4 5 6 7

7.(13 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,试求圆 C 的方程.

解 析
解 设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

则 k、2 为 x2+Dx+F=0 的两根,

∴k+2=-D,2k=F,即 D=-(k+2),F=2k, 又圆过 R(0,1),故 1+E+F=0.∴E=-2k-1.
故所求圆的方程为 x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,
?k+2 2k+1? ? 圆心坐标为? . , ? 2 2 ? ? ?

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1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7.(13 分)圆 C 通过不同的三点 P(k,0),Q(2,0),R(0,1),已知圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,试求圆 C 的方程.

解 析
∵圆 C 在点 P 处的切线斜率为 1,

2k+1 ∴kCP=-1= ,∴k=-3. 2-k
∴D=1,E=5,F=-6. ∴所求圆 C 的方程为 x2+y2+x+5y-6=0.

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