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【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考练习:§3.4 导数在实际生活中的应用]


§3.4
一、基础过关

导数在实际生活中的应用

1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时,原油温 1 度(单位:℃)为 f(x)= x3-x2+8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小值是 3 ________. 2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时底面边长

为________. 3. 从边长为 10 cm×16 cm 的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形, 作成一个无盖的 盒子,则盒子容积的最大值为________ cm3. 4.用边长为 120 cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然 后把四边翻转 90° 角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为________. 5.要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则 其高为________ cm. 6.如图所示,某工厂需要围建一个面积为 512 平方米的矩形堆料场, 一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.当砌壁所 用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为________. 二、能力提升 7.某公司租地建仓库,每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物 的运费 y2 与到车站的距离成正比.如果在距离车站 10 千米处建仓库,这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站 ________千米处. 8.为处理含有某种杂质的污水,要制造一底宽为 2 米的无盖长方体沉 淀箱,污水从 A 孔流入,经沉淀后从 B 孔流出,设箱体的长为 a 米, 高为 b 米.已知流出的水中该杂质的质量分数与 a,b 的乘积 ab 成 反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a=________,b=________时,经沉淀后流出 的水中该杂质的质量分数最小(A,B 孔的面积忽略不计). 9.如图,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左右两个矩 形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为 18 000 cm2,四周 空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确 定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小? 10.某商场预计 2010 年从 1 月份起前 x 个月,顾客对某种商品的需求总量 p(x)件与月 份 x 的近似关系是

1 p(x)= x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且 x≤12). 2 该商品的进价 q(x)元与月份 x 的近似关系是 q(x)=150+2x(x∈N*,且 x≤12), (1)写出今年第 x 月的需求量 f(x)件与月份 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,则此商 场今年销售该商品的月利润预计最大是多少元? 11.一火车锅炉每小时煤消耗费用与火车行驶速度的立方成正比,已知当速度为 20 km/h 时, 每小时消耗的煤价值 40 元, 其他费用每小时需 200 元, 火车的最高速度为 100 km/h, 火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少? 三、探究与拓展 12.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形, 80π 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器 3 的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球 形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元.

(1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

答案
1.-1 3 2. 4V 3.144 4.128 000 cm3 5. 20 3 3

6.32 米,16 米 7.5 8.6 3 y-25 9.解 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, ,其中 2 x>20,y>25. y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· =18 000, 2 18 000 由此得 y= +25. x-20 18 000 18 000x 广告的面积 S=xy=x( +25)= +25x. x-20 x-20 18 000[?x-20?-x] -360 000 ∴S′= +25= +25. ?x-20?2 ?x-20?2 令 S′>0 得 x>140, 令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为 S(140). 当 x=140 时,y=175. 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值为 24 500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 10.解 (1)当 x=1 时,f(1)=p(1)=37; 当 2≤x≤12 时, f(x)=p(x)-p(x-1) 1 = x(x+1)(39-2x)- 2 1 (x-1)x(41-2x) 2 =-3x2+40x(x∈N*,且 2≤x≤12).

验证 x=1 符合 f(x)=-3x2+40x, ∴f(x)=-3x2+40x(x∈N*,且 1≤x≤12). (2)该商场预计销售该商品的月利润为 g(x)=(-3x2+40x)(185-150-2x) =6x3-185x2+1 400x(x∈N*,1≤x≤12), g′(x)=18x2-370x+1 400, 140 令 g′(x)=0,解得 x=5,x= (舍去). 9 当 1≤x<5 时,g′(x)>0; 当 5<x≤12 时,g′(x)<0, ∴当 x=5 时, g(x)max=g(5)=3 125(元). 综上 5 月份的月利润最大是 3 125 元. 11.解 设速度为 x km/h,甲、乙两城距离为 a km. a 则总费用 f(x)=(kx3+200)· x 200 =a(kx2+ ). x 1 由已知条件,得 40=k· 203,∴k= , 200 1 200 ∴f(x)=a( x2+ ). 200 x a?x3-20 000? 令 f′(x)= =0, 100x2 3 得 x=10 20. 3 当 0<x<10 20时,f′(x)<0; 3 当 10 20<x<100 时,f′(x)>0. 3 ∴当 x=10 20时,f(x)有最小值, 3 即速度为 10 20 km/h 时,总费用最少. 12.解 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 V- πr3 3 80 4 4 20 故 l= = 2- r= ( 2 -r). πr2 3r 3 3 r

由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ( 2 -r)×3+4πr2c, 3 r 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- = 160π r2

8π?c-2? 3 20 (r - ),0<r≤2. r2 c-2

由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 令 3 20 =m,则 m>0, c-2

8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2,即 c> 时,令 y′=0,得 r=m. 2 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2]时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2]时,y′≤0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2

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