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高中数学大题规范解答-全得分系列之(一)函数实际应用答题模板


对函数实际应用问题的考查,更多地以社会实际生活为背景,设问新颖、灵活;题型主 要以解答题为主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主要考查建模能力,同时考查分析 问题、解决问题的能力.

“大题规范解答——得全分”系列之(一)

函数实际应用题答题模板

[典例] (2011 山东高考· 满分 12 分)某企业拟建造如图所

示的 容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右 80π 两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为 立方米, l≥2r. 且 3 假设该容器的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元, 半 球形部分每平方米建造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

[教你快速规范审题]

1.审条件,挖解题信息 观察 中间为圆柱形,左右两端均为半球形的容器, 可根据体积公式 ― → ― ― ― → ― ― ― 条件 球的半径为r,圆柱的母线为l,以及容器的体积 建立关系式
2 4πr3 80π 利用表面积公式 S球=4πr , +πr2l= ― ― ― ― ― ― ― → 3 3 求球及圆柱的表面积 S圆柱=2πrl

2.审结论,明解题方向 观察所求 求y关于r的函数表达式, ― 求 y 关 于 r 的 函 数 表 达 式 , → 结论 并求该函数的定义域
求总造价y,应求出球形部分

― ― ― ― ― → ― ― ― ― ― 及圆柱形部分各自的造价

球形部分的造价为4πr2c, 圆柱型部分的造价为2πrl×3

3.建联系,找解题突破口 总造价y=球形部分的造价+圆柱型部分的造价, 应消掉l ― ― ― → 只保留r 即y=4πr2c+2πrl×3 由 4πr3 80π 80 4r 故可得 160π 由l≥2r可求r的范围 +πr2l= ,解得l= 2- ― ― → y= ― ― -8πr2+4πcr2 ― ― ― ― ―即定义域 → ― ― 建造费用 3 3 3r 3 r

0<r ≤2 ― 问题得以解决 →

1.审条件,挖解题信息 160π 观察条件 ― 建造费用y= → -8πr2+4πcr2,定义域为?0,2] r 2.审结论,明解题方向 观察所求结论 ― 求该容器的建造费用最小时的r ― ―问题转化为― → → ― ― ― ― ― ― ― 当r为何值时,y取得最小值 3.建联系,找解题突破口 分析函数特点:含分式函数 ― ― ― ― ― ― ― → 研究函数的最值 8π[?c-2?r3-20] 160π 求导数为零的点 y′=- 2 -16πr+8πcr= ,0<r≤2 ― ― ― → ― ― ― r r2 3
讨论 3 与区间 (0, 的关系, 2] 20 c? 2 时,y′=0 ????????? ? 求极值 c-2 20

建造费用最小,即y最小

可利用导数

当r=



3

20 ≥2和0< c-2

3

20 <2两种情况讨论,并求得结论 c-2

[教你准确规范解题] 4πr3 (1)设容器的体积为 V,由题意,知 V= +πr2l, 3 80π 4πr3 80π 80 4r 又 V= ,所以 +πr2l= ,解得 l= 2- ,? (2分) 3 3 3 3r 3 由于 l≥2r,因此 0<r ≤2.? (3分) 80 4r 160π 8πr2 所以圆柱的侧面积为 2πrl=2πr?3r2- 3 ?= ? ? 3r - 3 ,两端两个半球的表面积之和为 4πr2, 160π 所以建造费用 y= -8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].? (5分) r

8π[?c-2?r3-20] 160π (2)由(1),得 y′=- 2 -16πr+8πcr= ,0<r≤2.? (6分) r r2 由于 c>3,所以 c-2>0, 3 20 3 20 20 当 r3- =0 时,r= .令 =m,则 m>0. c-2 c-2 c-2 8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2).? (8分) r2 9 ①当 0<m<2,即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0; 当 r∈(0,m)时,y′<0; 当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点.? (10分) 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点.? (11分) 3 20 9 9 综上,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2;当 c> 时,建造费最小时 r= .? (12 2 2 c-2 分) [常见失分探因] 易忽视条件l≥2r,从而误认为r>0,导致定义域错误. 易忽视导数为零的点与定义域的关系,即忽视对c的取值的讨论而造成解题错误. 易忽视将问题“返本还原”,即没将函数的最小值还原为建造费用最小而草率收兵.

————————————————[教你一个万能模板]———————————— 第一步 审清题意 ― → 第二步 建立文字 数量关系式 ― → 第三步 转化为 数学模型 将文字语言所表达的数量关系转化为数学语言,建立相应的数学模型(一 般要列出函数式、三角式、不等式、数列、概率以及利用几何图形等进行 可先用文字语言描述问题中所涉及的关键量之间的数量关系,这是解 决问题的一把钥匙 认真分析题目所给的有关材料,弄清题意,理顺问题中的条件和结论,找到关 键量,进而明确其中的数量关系(等量或大小关系)

分析),转化为一个数学问题 ― → 第四步 解决数学 问题 ― → 第五步 返本还原 ― → 第六步 反思回顾 查看关键点,易错点,如本题函数关系式的求解是否正确;定义域是否 正确;导数的求解及分类是否准确等 把所得到的关于应用问题的数学结论,还原为实际问题本身所具有的意 义(如本题应还原建造费用最小时 r 的值) 利用所学数学知识解决转化后的数学问题(常利用导数、基本不等式解 决,本题是利用导数解决的函数最值),得到相应的数学结论


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