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高中数学必修1综合训练一


高中数学必修 1 综合训练一 1.下列函数中表示相同函数的是(
x

15.函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象一定过定点 P,则 P 点的坐标
2 2

)A.y=2log2x 与 y=log2x B.y= x 2 与 y=( x )
2

/>C.y=x 与 y=log22 D. y ? x 2 ? 4 与 y ? x ? 2 ? x ? 2 2.若函数 y= x ? 1 的定义域为集合 A,函数 y=x +2 的值域为集合 B,则 A ? B ? ( ) A. [1, ??) B. (1, ??) C. [2, ??) D. (0, ??) 3.集合 A 满足{1,2} ? A ? {1,2,3},则这样的集合 A 有()A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 1 4. 设 ? ? {?1,1, ,3} ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为( ) 2 A.1,3 B.-1,1 C.-1,3 D.-1,1,3 2 5.若二次函数 f(x)=(m-1)x +2mx+1 是偶函数,则 f(x)在区间(-∞,0]上是( ) A.增函数 B.先增后减函数 C.减函数 D.先减后增函数 6.下列函数中值域是(-∞,+∞)的是( ) x 2 -2 A.y=2 B.y=x C.y=x D.y=logax (a>0 且 a≠1) 7. 函数 y=x(|x|-1)的图象是( )
y y y y

是 . 16.下列几个命题,正确的有____________.(填正确命题的序号)①若方程

x2 ? (a ? 3) x ? a ? 0 有一个正实根,一个负实根,则 a ? 0 ;②函数 y ? 2 x?1 ( x ? R) 的反 函数是 y ? ?1 ? log2 x( x ? 0) ;③若 f ( x ? 1) 为偶函数,则函数 y=f(x)的图象关于直线
x=-1 成轴对称;④函数 f ? x ? ? log 1 (6 ? x ? x2 ) 的单调递增区间是 ? ?
3

? 1 ? ,2 ? . ? 2 ?
? 1 3

17 计算

? 1?2 ? 1 ? (1) (lg 2) ? lg 2 ? lg 50 ? lg 25 ; (2) ? 2 ? ? 0.1? 2 ? ? ? 4? ? ? 27 ?
2

3

? 2? 0 。

18.已知集合 A ? x 3 ? x ? 6 ,B ? x 2 ? x ? 9 .

?

?

?

?

(1) CR ?A ? 求 B

? ,?CR B ? ? A ;

(2)已知 C ? x a ? x ? a ? 1 ,若 C ? B ,求实数 a 的取值集合.

?

?

O

1

x

-1

O

x -1

O

1

x

-1

O

1

x

19.已知函数 f ( x) ? (2)求证: f ? 1 ? ?
? ? ?x?

5 px 2 ? 2 是奇函数,且 f (2) ? ? 。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; 3 q ? 3x
; (3)判断函数 f(x)在 (0,1) 上的单调性,并加以证明。

A

B

C

D
1 ,则 a=( 2

f ? x?

8.设 a>1,函数 f ( x ) ? loga x 在区间[a, 2a]上的最大值与最小值之差为 A. 2 9.已知 f(x)= ? B.4
? ? x ( x ? 0) 则 f(f(-2))的值是( ? 2 ? x ( x ? 0)
0.9

) 20 已知函数 f(x)= x +(lga+2)x+lgb,-1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点, 且对于任意 x ∈ R,恒有 f(x)≥2x 成立,求实数 a,b 的值。
2

C.2 2 ) A.2

D.1 B.-2 C.4 D.-4

10.设 y1=log0.70.8,y2=log1.10.9,y3=1.1 则有( ) A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2 11.阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x,符号[x]表示“不超过 x 的最大 整数” ,在数轴上,当 x 是整数,[x]就是 x,当 x 不是整数时,[x]是点 x 左侧的笫一个整 数点, 这个函数叫做 “取整函数” 也叫高斯(Gauss)函数. 如[-2]=-2, [-1.5]=-2, [2.5]=2. 则[1og2 A.0
1 1 1 ]+[log2 ]+[1og2 ]+[1og21]+[log22]+[log23]+[log24]的值为( 4 3 2

1 .(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; 2 ?1 (2)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域
21 已知函数 f ( x) ? a ?
x

) 22. 函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 ? 2
2 x x ?1

B.-1

C.-2

D.1 )

( x ? M ).

12.函数 f ( x ) ? ax2 ? ax ? 1 ,若 f (x)<0 在 R 上恒成立,则 a 的取值范围为( A. a ? 0 B. a ? ?4
?1? 1?? ? ? 2?
x

(1) 求 M;求函数 f (x) 的值域; (2)若关于 x 的方程 4 ? 2 的取值范围,并讨论实数根的个数.
x

x ?1

? b(b ? R) 有实数根,求 b

C. ?4 ? a ? 0

D. ?4 ? a ? 0

13.函数f(x)=

的定义域是_________14. 已知lg2=a,lg3=b, 则log512=___________。

1

1.函数 y=x(|x|-1)的图象是(
y y


y y

高一期中数学参考答案 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 2 3 C 4 5 6 7 8 9 10 11 C A 12
O

1

x

-1

O

x

-1

O

1

x

-1

O

1

x

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13. 14. 15. 16. 三、解答题: (本大题共 4 小题,满分 44 分,各题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)解:(1)? A ? B ? ? x 3 ? x ? 6? ,? CR ? A ? B ? ? ? x x ? 3 ,或 x ? 6?

9、设函数 f ? x ? ?

?CR B ? ?x x ? 2, 或 x ? 9?,??CR B? ? A ? ?x x ? 2, 或 3 ? x ? 6, 或 x ? 9?
(2)? C ? B, 如图示(数轴略)? ?

x 4 x 5 x 10、设 a ? ( ) , b ? ( ) , c ? log 4 x ,若 x ? 1 ,则 a, b, c 由小到大的排列是 5 4 5
。 12、函数 f ? x ? ? log 1 (6 ? x ? x2 ) 的单调递增区间是
3

?x ? 1??x ? a ? 为奇函数,则实数

B

C

D 。

a?

解之得 2 ? a ? 8,? a ? ?2,8?

?a ? 2 ?a ? 1 ? 9
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m



15、 (本题满分 14 分)

? f ( x) ? f ( ? x) ? 0 20. (本小题满分 12 分)解: (1)由 ? ? f (2) ? 5 ? px2 ? 2 px2 ? 2 ?p ? 2 可得 ? x ? q ? ? x ? q ? 0 解得 ? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? ? ?q ? 0
?4 p ? 2 ? 5 ? 2?q ?

2x 2 ? 2 1 ? 2( x ? ) (2) f ( x) ? x x 经判断, f (x) 在 [1,??) 上为单调增函数 证明:设 x1 , x2 ? [1,??) ,且 x1 ? x 2 ,则 1 1 1 1 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2( x1 ? ) ? 2( x2 ? ) ? 2( x1 ? x2 ) ? 2( ? ) x1 x2 x1 x2 2( x2 ? x1 ) x x ?1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ? 2( x1 ? x2 ) ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 x2 x1 x2 ? x1 , x2 ? [1,??) ,且 x1 ? x 2 ? x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (x) 在 [1,??) 上为单调增函数
7. 函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4]上递减,则 a 的取值范围是 B A[-3,+∞] B (-∞,-3] C (-∞,5] D[3,+∞) 8 .设函数 y ? kx ? 6x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 A. k ? 1 或 k ? ?9 B. k ? 1 C. ?9 ? k ? 1 D. 0 ? k ? 1 1.
2
2

5 px 2 ? 2 是奇函数,且 f (2) ? ? 。 3 q ? 3x (1)求函数 f ( x ) 的解析式; ?1? (2)求证: f ? ? ? f ? x ? ; ?x? (3)判断函数 f(x)在 (0,1) 上的单调性,并加以证明。
已知函数 f ( x) ? 15. (1) f ( x) ? ? (2)增函数

2 1 (x ? ) 3 x

8. 函数 f ?x ? ? ? A.4 B.3

? 4x ? 4 , x ? 1 的图象和函数 g ?x ? ? log2 x 的图象的交点个数是 B ) ( 2 ? x ? 4 x ? 3, x ? 1
C.2
2

D.1

13.定义 f ( x, y) ? ( y , 2y? x ), f (m , n ) (1, 2), 。 .(0,1)或 若 ? 则( m ,= n) (-4,-1); 18(本小题满分 8 分) 2 已知函数 f(x)= x +(lga+2)x+lgb,-1 是函数 F(x)=f(x)+2 的一个零点,且对于任意 x ∈R, 恒有 f(x)≥2x 成立,求实数 a,b 的值。 ( ) 解:由 F(-1)=0,知 lgb-lga+1=0,所以
2

a =10, b

又 f(x)≥2x 恒成立,有 x +xlga+lgb≥0 恒成立,
2

△ =(lga) -4lgb≤0 将 lgb-lga+1=0 代入得(lgb) 即(lgb-1) ≤0 故 lgb=1,即 b=10,则 a=100。 20. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? a ?
2

2

2

-2lgb+1≤0,

所以 t ? (0,2) 时,

1 . 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x) 总是为增函数; (2)确定 a 的值, 使 f ( x) 为奇函数; (3)当 f ( x) 为奇函数时, 求 f ( x) 的值域 解: (1) ? f ( x) 的定义域为 R, 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? 设 x1 ? x2 ,

g (t ) ? ?? 1,0? ; 当 t ? (8,??) 时 g (t ) 递增, g (8) ? 48 ,所以 ????????7 分 g (t ) ? (48,??) 故 f (x) 的值域为 ?? 1,0? ? (48,??) x x ?1 (3) b ? 4 ? 2 ,即 b ? f (x) ,方程有实根 ?函数 y1 ? b 与函数 y 2 ? f ( x) ( x ? M )的图象有交
点. ????????10 分 由(2)知 f (x) ? ?? 1,0? ? (48,??) , 所以当 b ? ?? 1,0? ? (48,??) 时,方程有实数 根. ????????12 分 下面讨论实根个数: ① 当 b ? ?1 或当 b ? (48,??) 时,方程只有一个实数 根 ????????13 分 ② 当 b ? (?1,0) 时,方程有两个不相等的实数 根 ????????14 分 ③ 当 b ? (??,?1) ? [0,48] 时,方程没有实数根

????????6 分

????????8 分

1 1 2 x1 ? 2 x2 ? a ? x2 = , 2 x1 ? 1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )

? x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数. (4 分) 1 1 ? ?a ? x (2) ? f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ? ? x , 2 ?1 2 ?1 1 1 1 . 解得: a ? . ? f ( x) ? ? x (7 分) 2 2 2 ?1
由(2)知 0

7、已知函数 f ( x ) ? x 2 ? 2ax ? 3 在区间 ? ?2, 2 ? 上为增函数,则 a 的取值范围是( A、 a ? 2 B、 ?2 ? a ? 2 C、 a ? ?2 Da ? 2 9、设函数 y ? ax ? 2a ? 1, ?1 ? x ? 1 时,y 的值有正有负,则实数 a 的范围是( ) A、 a ? 1 B、 ?



1 1 所以 f ( x ) 的值域为 ( ? , ). 2 2

1 ?a?1 3

C、 ?1 ? a ? ?

1 3

D、 a ? ?1

(11 分)

11、定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a , b ,总有 必有 A、函数 f ( x ) 是先增加后减少 C、 f ( x ) 在 R 上是增函数
2 2

f (a ) ? f (b) ? 0 成立,则 a ?b

19.函数 y ? lg(3 ? 4 x ? x 2 ) 的定义域为 M,函数 f ( x) ? 4 x ? 2 x ?1 ( x ? M ). (2) 求 M; (3) 求函数 f (x) 的值域; (4) 当 x ? M 时,若关于 x 的方程 4 ? 2 论实数根的个数.
x x ?1

( C ) B、函数 f ( x ) 是先减少后增加 D、 f ( x ) 在 R 上是减函数 .

14.函数y= log 1 ( x ? 4 x ? 12) 的单调递增区间是 【练习 5】方程 x lg( x ? 2) ? 1 的实数根有( )个. A.0 B.1 C.2 D.3 函数 y ? loga ( x ? 3) ? 1 (a ? 0, 且a ? 1) 的图象恒过定点 A

? b(b ? R) 有实数根,求 b 的取值范围,并讨

? M ? ?x | x ? 1或x ? 3? x (2)设 t ? 2 x ? 1或x ? 3 , ? t ? (0,2) ? (8,??)

2 解: (1) x ? 4 x ? 3 ? 0 , ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 , x ? 1或x ? 3 ,

?????2 分 ????????3 分 ???

?1? 范例 6 设函数 f ( x) ? ? ? ?2?

2 x 2 ?5 x ? b

?1? , g ( x) ? ? ? ?2?

x 2 ? x ?6

,若

f ( x) ? g ( x) 对于任意
D. b ? 15

f ( x) ? g (t ) ? t 2 ? 2t ? (t ? 1) 2 ? 1,
?????4 分 当 t ? (0,1) 时 g (t ) 递减,当 t ? (1,2) 时 g (t ) 递增, g (1) ? ?1, g (0) ? g (2) ? 0 ,

实数 x 恒成立,则实数 b 的取值范围是( A. b ? 12 B. b ? 12 答案:D

) C. b ? 15

3

【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是没有注意 y ? ( ) 是单调减函数。
x

1 2

?1? ?1? 【解题指导】由 f ( x) ? g ( x) 即 ? ? 可得 2 x 2 ? 5x ? b ? x 2 ? x ? 6 ?? ? ?2? ?2? 2 即 x ? 6 x ? b ? 6 ? 0 恒成立,由 ? ? 36 ? 4(b ? 6) ? 0 ,解得 b ? 15 .
【练习 6】已知 f ( x) ? a x (a ? 1), g ( x) ? b x (b ? 1) ,当 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 时,有 x1 ? x 2 , 则 a, b 的大小关系是( ) A. a ? b B. a ? b C. a ? b D. a ? b 【范例 6】若不等式 [(1 ? a)n ? a] lg a ? 0 对于任意正整数 n 恒成立,则实数 a 的取值范围 是( ) A. 0 ? a ?

2 x 2 ?5 x ? b

x2 ? x?6

1 2

B. 0 ? a ? 1

C.

1 ? a ?1 2

D.a >1

答案:A 【错解分析】此题容易错选为 B,错误原因是对恒成立问题理解不清楚。 【解题指导】当 a>1 时,易知 [(1 ? a)n ? a] lg a ? 0 是恒成立;当 0<a<1 时, lg a ? 0 , 所以 (1 ? a)n ? a ? 0 恒成立,即 n ?

a a 恒成立,只需1 ? 恒成立,可得 1? a 1? a

1 0?a? ? . 2
【练习 6】 函数 A. a ? 0 若 则 ( f ( x) ? ax2 ? ax ?1 , f (x)<0 在 R 上恒成立, a 的取值范围为 B. a ? ?4 ) C. ? 4 ? a ? 0 D. ? 4 ? a ? 0

高一期中数学试卷参考答案 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C B A A D D B C A B D 二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13. [0,+ ) 14. 15.(-2,-1) 16.①②④ 三、解答题: (本大题共 4 小题,满分 44 分,各题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.(1)2 (2) 18. (本小题满分 12 分)解:(1) ,或 或 , 或 或 (2) 如图示(数轴略) 解之得 19.(1) (2)图略 (3)单调递增区间[-1,0],[1,+ );单调递减区间(- ,-1],[0,1] (4)当 x= 1 时,ymin=-1 当 x=3 时,ymax=3 20. (本小题满分 12 分)解: (1)由 解得 即 (2)证明略 (3)经判断, 在(0,1)上为单调增函数 证明略

【练习 7】已知函数 f ( x) ? loga 的取值范围是 .

?

,? x ? (2a) x 对任意 x ? ? ?? ?? 都有意义,则实数 a

?

?1 ?2

? ?

4

高一期中数学试卷参考答案 一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 答案 C C B A A

6 D

7 D

8 B

9 C

10 A

11 B

12 D

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 2a ? b 13. [0,+ ? ) 14. 15.(-2,-1) 16.①②④ 1? a 三、解答题: (本大题共 4 小题,满分 44 分,各题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 867 17.(1)2 (2) 8 18. (本小题满分 12 分)解:(1)? A ? B ? ? x 3 ? x ? 6? ,? CR ? A ? B ? ? ? x x ? 3 ,或 x ? 6?

?CR B ? ?x x ? 2, 或 x ? 9?,??CR B? ? A ? ?x x ? 2, 或 3 ? x ? 6, 或 x ? 9?
(2)? C ? B, 如图示(数轴略)? ?

解之得 2 ? a ? 8,? a ? ?2,8?

?a ? 2 ?a ? 1 ? 9

? 2 ? x ? 2 x ( x ? 0) 19.(1) f ( x ) ? ? ? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? (2)图略 (3)单调递增区间[-1,0],[1,+ ? );单调递减区间(- ? ,-1],[0,1] (4)当 x= ? 1 时,ymin=-1 当 x=3 时,ymax=3 ? f ( x ) ? f (? x ) ? 0 ? 20. (本小题满分 12 分)解: (1)由 ? 5 ? f ( 2) ? ? 3 ?

解得 ?

?p ? 2 ?q ? 0

2x 2 ? 2 ? 3x (2)证明略 (3)经判断, f (x) 在(0,1)上为单调增函数

即 f ( x) ?

证明略

5


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