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湖北省武汉市2015届高三上学期9月调考数学试卷(理科)


湖北省武汉市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) =()

A.﹣1﹣ i

B.﹣1+ i

C.1+ i

D.1﹣ i

2. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B“的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. (5 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

4. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()

A.

B. 5

C.

D.4

6. (5 分)在△ ABC 中,AC= A. B.

,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于() C. D.

7. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

8. (5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条 边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1, a2=2,则 a9=()

A.

B.
2

C. 5

D.2

9. (5 分)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, (其中 O 为坐标原点) ,则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是() A. B. C. D.

?

=2

10. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(0, ) C.(﹣ , ) D.(﹣ , )

2

x

2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)设二项式 的展开式中常数项为 A,则 A=.

12. (5 分)如果执行如图所示的程序框图,输入 x=﹣1,n=3,则输出的数 S=.

13. (5 分)正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在 2 2 抛物线 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在 图中阴影区域的概率是.

14. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点

分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=. 15. (5 分)平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰 Rt△ ABC 底边 BC 的中点,AB=1, 过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q,R,则有 + =2.类比此结论,将其

拓展到空间有:如图 2,设 O 是正三棱锥 A﹣BCD 底面 BCD 的中心,AB,AC,AD 两两垂 直,AB=1,过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q,R,P,则有.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (Ⅰ)若 sin( +α)= ,且 0<α<π,求 f(α)的值;

(Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 18. (12 分)如图,在三棱锥 P﹣ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别 是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

19. (12 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这 块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列;

(Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概 率. 20. (13 分) 如图, 动点 M 到两定点 A (﹣1, 0) 、 B (2, 0) 构成△ MAB, 且∠MBA=2∠MAB, 设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y=﹣2x+m 与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 取值范围. 的

21. (14 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜 率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; 2 (Ⅱ)若 f(x)≤kx 对任意 x>0 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)当 n>m>1(m,n∈N )时,证明:
*

> .

湖北省武汉市 2015 届高三上学期 9 月调考数学试卷(理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) =()

A.﹣1﹣ i

B.﹣1+ i

C.1+ i

D.1﹣ i

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 利用分式的分母平方,复数分母实数化,运算求得结果.

解答: 解:

=

=

=

=﹣1+ i.

故选 B. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数的乘方运算,考查计算能力. 2. (5 分)已知集合 A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A?B“的() A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;集合的包含关系判断及应用. 专题: 简易逻辑. 分析: 先有 a=3 成立判断是否能推出 A?B 成立, 反之判断“A?B”成立是否能推出 a=3 成立; 利用充要条件的题意得到结论. 解答: 解:当 a=3 时,A={1,3}所以 A?B,即 a=3 能推出 A?B; 反之当 A?B 时,所以 a=3 或 a=2,所以 A?B 成立,推不出 a=3 故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件 故选 A. 点评: 本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件. 3. (5 分)已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 =3, =3.5,则由该观测 数据算得的线性回归方程可能是() A. =0.4x+2.3 B. =2x﹣2.4 C. =﹣2x+9.5 D. =﹣0.3x+4.4

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 变量 x 与 y 正相关,可以排除 C,D;样本平均数代入可求这组样本数据的回归直线 方程. 解答: 解:∵变量 x 与 y 正相关, ∴可以排除 C,D; 样本平均数 =3, =3.5,代入 A 符合,B 不符合, 故选:A. 点评: 本题考查数据的回归直线方程,利用回归直线方程恒过样本中心点是关键.

4. (5 分)已知向量 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |= A.3 B. 2 C.

,则| |=() D.1

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 将|2 ﹣ |= 平方,然后将夹角与| |=1 代入,得到| |的方程,解方程可得. ,

解答: 解:因为 、 的夹角为 45°,且| |=1,|2 ﹣ |=

所以 4

2

﹣4 ? +

2

=10,即| | ﹣2 (舍) ,

2

| |﹣6=0,

解得| |=3

或| |=﹣

故选 A. 点评: 本题解题的关键是将模转化为数量积,从而得到所求向量模的方程,利用到了方程 的思想. 5. (5 分)若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()

A.

B. 5

C.

D.4

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 先根据三视图判断此几何体为直六棱柱,再分别计算棱柱的底面积和高,最后由棱 柱的体积计算公式求得结果 解答: 解:由图可知,此几何体为直六棱柱,底面六边形可看做两个全等的等腰梯形,上 底边为 1,下底边为 3,高为 1, ∴棱柱的底面积为 2× 棱柱的高为 1 ∴此几何体的体积为 V=4×1=4 故选 D =4,

点评: 本题主要考查了简单几何体的结构特征及其三视图,棱柱的体积计算公式等基础知 识,属基础题 6. (5 分)在△ ABC 中,AC= A. B. ,BC=2,B=60°则 BC 边上的高等于() C. D.

考点: 解三角形. 专题: 计算题;压轴题.

分析: 在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 可求 AB=3,作 AD⊥BC,则在 Rt△ ABD 中,AD=AB×sinB 解答: 解:在△ ABC 中,由余弦定理可得,AC =AB +BC ﹣2AB?BCcosB 把已知 AC= ,BC=2 B=60°代入可得,7=AB +4﹣4AB×
2 2 2 2 2

2

2

2

整理可得,AB ﹣2AB﹣3=0 ∴AB=3 作 AD⊥BC 垂足为 D Rt△ ABD 中,AD=AB×sin60°= 即 BC 边上的高为 故选 B ,

点评: 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,解答本题的关键是求出 AB,属于基 础试题

7. (5 分)x、y 满足约束条件

,若 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一,则

实数 a 的值为() A. 或﹣1 B. 2 或 C. 2 或 1 D.2 或﹣1

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,得到直线 y=ax+z 斜率的 变化,从而求出 a 的取值. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: (阴影部分 ABC) . 由 z=y﹣ax 得 y=ax+z,即直线的截距最大,z 也最大. 若 a=0,此时 y=z,此时,目标函数只在 A 处取得最大值,不满足条件, 若 a>0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a>0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 2x﹣y+2=0 平行,此时 a=2, 若 a<0,目标函数 y=ax+z 的斜率 k=a<0,要使 z=y﹣ax 取得最大值的最优解不唯一, 则直线 y=ax+z 与直线 x+y﹣2=0,平行,此时 a=﹣1, 综上 a=﹣1 或 a=2,

故选:D

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思 想是解决此类问题的基本方法.注意要对 a 进行分类讨论,同时需要弄清楚最优解的定义. 8. (5 分)如图,互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的两条 边上,所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等.设 OAn=an,若 a1=1, a2=2,则 a9=()

A.

B.

C. 5

D.2

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 立体几何. 分析: 本题可以根据所有 AnBn 相互平行, 且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等. 然后利 用所有的三角形都相似,面积比等于相似比的平方,得出一系列的等式,然后利用累乘法求得 通项,进一步求得结果. 解答: 解:依题意:互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的 两条边上. 则令 =m(m>0)

∵所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnBn+1An+1 的面积均相等. ∴利用所有的三角形都相似,面积比等于相似比的平方 若 a1=1,a2=2,则令 ∴ =3m =m(m>0)

∴当 n≥2 时

=

=

=



=

= …

以上各式累乘可得: ∴

由于 a1=1

∴a9=5 故选:C 点评: 本题应用知识较多:平行线分线段成比例定理,相似三角形面积比等于相似比的平 方,数列通项中的累乘法,
2

9. (5 分)已知 F 为抛物线 y =x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, (其中 O 为坐标原点) ,则△ AFO 与△ BFO 面积之和的最小值是() A. B. C. D.

?

=2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: 先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利 用韦达定理及 ? =2 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题.

解答: 解:设直线 AB 的方程为:x=ty+m,点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,直线 AB 与 x 轴 的交点为 M(0,m) , 2 2 x=ty+m 代入 y =x,可得 y ﹣ty﹣m=0,根据韦达定理有 y1?y2=﹣m, ∵ ? =2,∴x1?x2+y1?y2=2,从而(y1?y2) +y1?y2﹣2=0,
2

∵点 A,B 位于 x 轴的两侧, ∴y1?y2=﹣2,故 m=2. 不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y1>0, 又 F( ,0) , ∴S△ BFO+S△ AFO= ? ?y1+ ? ?|y2

= (y1+



≥ ?2 = 当且仅当 y1= ,即 y1= 时,取“=”号,

∴△BFO 与△ AFO 面积之和的最小值是



故选:B. 点评: 求解本题时,应考虑以下几个要点: 1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元, 这是处理此类问题的常见模式. 2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常根据图形的特征选择适当的底与高. 3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等”. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +e ﹣ (x<0)与 g(x)=x +ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是() A.(﹣∞, ) B.(0, ) C.(﹣ , ) D.(﹣ , )
2 x 2

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根,函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增 函数,由此能求出 a 的取值范围. 解答: 解:由题意可得: 存在 x0∈(﹣∞,0) ,满足 x0 +e ﹣ =(﹣x0) +ln(﹣x0+a) , 即 e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)=0 有负根, ∵当 x 趋近于负无穷大时,e ﹣ ﹣ln(﹣x0+a)也趋近于负无穷大, 且函数 h(x)=e ﹣ ﹣ln(﹣x+a)为增函数, ∴h(0)= ﹣lna>0, ∴lna<ln , ∴0<a< , ∴a 的取值范围是(0,
x x0 x0 2 x0 2 x0 x

) ,

故选:B. 点评: 本题考查的知识点是函数的图象和性质,函数的零点,函数单调性的性质,函数的 极限,是函数图象和性质较为综合的应用,难度大. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位置 上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. (5 分)设二项式 的展开式中常数项为 A,则 A=﹣10.

考点: 二项式系数的性质. 专题: 排列组合. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的系数等于 0,求得 r 的值,即可求得展开 式中的常数项的值. 解答: 解: 二项式 的展开式的通项公式为 Tr+1= ? ? (﹣1)?
r

=

(﹣1) ? 令

r

?

. =﹣10,

=0,解得 r=3,故展开式的常数项为﹣

故答案为﹣10. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用,二项式展开式的通项公式,求展开式中某项的系 数,属于中档题. 12. (5 分)如果执行如图所示的程序框图,输入 x=﹣1,n=3,则输出的数 S=﹣4.

考点: 循环结构. 专题: 计算题. 分析: 列出循环过程中 S 与 K 的数值,不满足判断框的条件即可结束循环. 解答: 解:判断前 x=﹣1,n=3,i=2,第 1 次判断后循环,S=﹣6+2+1=﹣3,i=1, 第 2 次判断后 S=5,i=0, 第 3 次判断后 S=﹣4,i=﹣1, 第 4 次判断后﹣1≥0,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:﹣4. 故答案为:﹣4. 点评: 本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力. 13. (5 分)正方形的四个顶点 A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1)分别在 2 2 抛物线 y=﹣x 和 y=x 上,如图所示,若将一个质点随机投入正方形 ABCD 中,则质点落在 图中阴影区域的概率是 .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 解答: 解:∵A(﹣1,﹣1) ,B(1,﹣1) ,C(1,1) ,D(﹣1,1) , ∴正方体的 ABCD 的面积 S=2×2=4, 根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积 S=2 =2 =2[(1﹣ )﹣(﹣1+ )]=2× = ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是 故答案为: .



点评: 本题主要考查几何槪型的概率的计算,利用积分求出阴影部分的面积是解决本题的 关键.

14. (5 分)已知椭圆 C:

+

=1,点 M 与 C 的焦点不重合.若 M 关于 C 的焦点的对称点

分别为 A,B,线段 MN 的中点在 C 上,则|AN|+|BN|=8. 考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设椭圆的两焦点为 F1,F2,MN 的中点为 D,连接 DF1,DF2,根据椭圆的定义知: |DF1|+|DF2|=4,并且容易说明 |AN|+|BN|. 解答: 解:设椭圆的两焦点分别为 F1,F2,线段 MN 的中点为 D,如图所示,连接 DF1, DF2: ,所以这样即可求得

由已知条件知:DF1 是△ MAN 的中位 线,DF2 是△ MBN 的中位线;



,且根据椭圆的定义知|DF1|+|DF2|=4;

∴|AN|+|BN|=8. 故答案为:8. 点评: 考查椭圆的定义:|PF1|+|PF2|=2a, (a>0) ,及标准方程,三角形的中位线. 15. (5 分)平面几何中有如下结论:如图 1,设 O 是等腰 Rt△ ABC 底边 BC 的中点,AB=1, 过点 O 的动直线与两腰或其延长线的交点分别为 Q,R,则有 + =2.类比此结论,将其

拓展到空间有:如图 2,设 O 是正三棱锥 A﹣BCD 底面 BCD 的中心,AB,AC,AD 两两垂 直,AB=1,过点 O 的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q,R,P,则有 + + =3.

考点: 专题: 分析: 解答:

类比推理. 计算题;推理和证明. 从结构形式上类比,即可得出结论. 解:设 O 是等腰 Rt△ ABC 底边 BC 的中点,AB=1,过点 O 的动直线与两腰或其延 + =2.类比此结论,将其拓展到空间有,设 O 是正三棱

长线的交点分别为 Q,R,则有

锥 A﹣BCD 底面 BCD 的中心,AB,AC,AD 两两垂直,AB=1,过点 O 的动平面与三棱锥的 三条侧棱或其延长线的交点分别为 Q,R,P,则有 故答案为: + + =3. + + =3.

点评: 本题的考点是类比推理,考查类比推理,解题的关键是掌握好类比推理的定义及等 差等比数列之间的共性,由此得出类比的结论即可. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (Ⅰ)若 sin( +α)= ,且 0<α<π,求 f(α)的值;

(Ⅱ)当 f(x)取得最小值时,求自变量 x 的集合.

考点: 三角函数中的恒等变换应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由 α 得范围求得 +α 的范围,再由 sin( +α)= 求得 α 的值,把 α 代入

f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ 求得 f(α)的值; (Ⅱ)化简 f(x)为 y=Asin(ωx+φ)+b 的形式,求其最小值并得到使 y 取得最小值时的自 变量 x 的集合. 解答: 解: (Ⅰ)∵0<α<π,∴ ∵sin( ∴ +α= +α)= , . (sin +cos ﹣ )﹣ =﹣ ; < +α< .

,即 α=

∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ =cos
2

(Ⅱ)f(x)=sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ = sin2x+ cos2x= 当 2x+ =2kπ﹣ sin(2x+ ,k∈Z, ) .

即 x=kπ﹣

,k∈Z 时,f(x)取得最小值, ,k∈Z}.

此时自变量 x 的集合为{x|x=kπ﹣

点评: 本题考查了三角函数中的恒等变换的应用,考查了三角函数的倍角公式与和差化积 公式,考查了三角函数的最值,是中档题. 17. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn﹣1,其中 λ 为常数. (Ⅰ)证明:an+2﹣an=λ (Ⅱ)是否存在 λ,使得{an}为等差数列?并说明理由. 考点: 数列递推式;等差关系的确定. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1,相减即可得出; (Ⅱ)对 λ 分类讨论:λ=0 直接验证即可;λ≠0,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d.可得 λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, .得到

λSn= λ 即可.

,根据{an}为等差数列的充要条件是

,解得

解答: (Ⅰ)证明:∵anan+1=λSn﹣1,an+1an+2=λSn+1﹣1, ∴an+1(an+2﹣an)=λan+1 ∵an+1≠0, ∴an+2﹣an=λ. (Ⅱ)解:①当 λ=0 时,anan+1=﹣1,假设{an}为等差数列,设公差为 d. 则 an+2﹣an=0,∴2d=0,解得 d=0, ∴an=an+1=1, 2 ∴1 =﹣1,矛盾,因此 λ=0 时{an}不为等差数列. ②当 λ≠0 时,假设存在 λ,使得{an}为等差数列,设公差为 d. 则 λ=an+2﹣an=(an+2﹣an+1)+(an+1﹣an)=2d, ∴ ∴ ∴λSn=1+ 根据{an}为等差数列的充要条件是 此时可得 ,an=2n﹣1. . , , = ,

,解得 λ=4.

因此存在 λ=4,使得{an}为等差数列. 点评: 本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前 n 项和公式、等差数列的充 要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于 难题. 18. (12 分)如图,在三棱锥 P﹣ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别 是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (Ⅰ)求证:AB∥GH; (Ⅱ)求平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (Ⅰ)由已知得 EF∥AB,DC∥AB,从而 EF∥DC.进而 EF∥平面 PCD. 由此能 证明 AB∥GH.

(Ⅱ)以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角 坐标系.利用向量法能求出平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值. 解答: (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:∵D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,…(1 分) ∴EF∥AB,DC∥AB,…(2 分) ∴EF∥DC. 又 EF?平面 PCD,DC?平面 PCD, ∴EF∥平面 PCD. …(3 分) 又 EF?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH,…(4 分) ∴EF∥GH. 又 EF∥AB, ∴AB∥GH.…(6 分) (Ⅱ)解:在△ ABQ 中,∵AQ=2BD,AD=DQ,∴∠ABQ=90°,即 AB⊥BQ. 又 PB⊥平面 ABQ,∴BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图所示的空间直角坐标系.设 BA=BQ=BP=2, 则 B(0,0,0) ,Q(0,2,0) ,D(1,1,0) , C(0,1,0) ,P(0,0,2) , ∴ =(﹣1,﹣1,2) , =(0,﹣1,2) .…(8 分)

设平面 PCD 的一个法向量为 =(x,y,z) , 由 ? =0, ? =0,得 ,取 z=1,得 =(0,2,1) .…(10 分)



=(0,2,0)为平面 PAB 的一个法向量, >= = .

∴cos<n,

设平面 PAB 与平面 PCD 所成角为 θ, 则 sinθ= = . .…(12 分)

故平面 PAB 与平面 PCD 所成角的正弦值为

点评: 本题考查两条直线平行的证明,考查平面与平面所成角的正弦值的求法,解题时要 认真审题,注意向量法的合理运用. 19. (12 分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为 1000 元,此作物的市场价格和这 块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 300 500 概率 0.5 0.5 作物市场价格(元/kg) 6 10 概率 0.4 0.6 (Ⅰ)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (Ⅱ)若在这块地上连续 3 季种植此作物,求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概 率. 考点: 离散型随机变量及其分布列;相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)分别求出对应的概率,即可求 X 的分布列; (Ⅱ) 分别求出 3 季中有 2 季的利润不少于 2000 元的概率和 3 季中利润不少于 2000 元的概率, 利用概率相加即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ)设 A 表示事件“作物产量为 300kg”,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg”, 则 P(A)=0.5,P(B)=0.4, ∵利润=产量×市场价格﹣成本, ∴X 的所有值为: 500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000, 300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800, 则 P(X=4000)=P( )P( )=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3, P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( )=(1﹣0.5)×0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 则 X 的分布列为: X 4000 2000 800 P 0.3 0.5 0.2 (Ⅱ)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2000 元”(i=1,2,3) , 则 C1,C2,C3 相互独立, 由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3) , 3 3 季的利润均不少于 2000 的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.8 =0.512, 3 季的利润有 2 季不少于 2000 的概率为 P(
2

C2C3)+P(C1

C3)+P(C1C2



=3×0.8 ×0.2=0.384, 综上:这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000 元的概率为:0.512+0.384=0.896. 点评: 本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力. 20. (13 分) 如图, 动点 M 到两定点 A (﹣1, 0) 、 B (2, 0) 构成△ MAB, 且∠MBA=2∠MAB, 设动点 M 的轨迹为 C. (Ⅰ)求轨迹 C 的方程;

(Ⅱ)设直线 y=﹣2x+m 与 y 轴交于点 P,与轨迹 C 相交于点 Q、R,且|PQ|<|PR|,求 取值范围.



考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;圆锥曲线的轨迹问题. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设出点 M(x,y) ,分类讨论,根据∠MBA=2∠MAB,利用正切函数公式, 建立方程化简即可得到点 M 的轨迹方程; 2 2 2 2 (Ⅱ)直线 y=﹣2x+m 与 3x ﹣y ﹣3=0(x>1)联立,消元可得 x ﹣4mx+m +3=0①,利用 ①有两根且均在(1,+∞)内 可知,m>1,m≠2 设 Q,R 的坐标,求出 xR,xQ,利用 围. 解答: 解: (Ⅰ)设 M 的坐标为(x,y) ,显然有 x>0,且 y≠0 当∠MBA=90°时,点 M 的坐标为(2,±3) 当∠MBA≠90°时,x≠2,由∠MBA=2∠MAB 有 tan∠MBA=
2 2

,即可确定

的取值范



化简可得 3x ﹣y ﹣3=0 2 2 而点(2,±3)在曲线 3x ﹣y ﹣3=0 上 2 2 综上可知,轨迹 C 的方程为 3x ﹣y ﹣3=0(x>1) ; 2 2 2 2 (Ⅱ)直线 y=﹣2x+m 与 3x ﹣y ﹣3=0(x>1)联立,消元可得 x ﹣4mx+m +3=0① ∴①有两根且均在(1,+∞)内

设 f(x)=x ﹣4mx+m +3,∴

2

2

,∴m>1,m≠2

设 Q,R 的坐标分别为(xQ,yQ) , (xR,yR) , ∵|PQ|<|PR|,∴xR=2m+ ,xQ=2m﹣ ,



=

=

∵m>1,且 m≠2 ∴ ,且



,且



的取值范围是(1,7)∪(7,7+4



点评: 本题以角的关系为载体,考查直线、双曲线、轨迹方程的求解,考查思维能力,运 算能力,考查思维的严谨性,解题的关键是确定参数的范围. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ax+xlnx 的图象在点 x=e(e 为自然对数的底数)处的切线的斜 率为 3. (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f(x)≤kx 对任意 x>0 成立,求实数 k 的取值范围; (Ⅲ)当 n>m>1(m,n∈N )时,证明:
* 2

> .

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题;证明题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求导数,令 f′(e)=3,即可得到 a; (Ⅱ)由(Ⅰ) ,知 f(x)=x+xlnx,f(x)≤kx 对任意 x>0 成立?k≥ 令 g(x)=
2

对任意 x>0 成立,

,则问题转化为求 g(x)的最大值,只要 k 不小于最大值即可. ,则 h′(x)= .由(Ⅱ) ,知 x≥1+lnx(x>0) ,由 h′(x)

(Ⅲ)令 h(x)=

≥0, 则 h(x)是(1,+∞)上的增函数,运用单调性化简整理即可得证. 解答: (Ⅰ)解:求导数,得 f′(x)=a+lnx+1. 由已知,得 f′(e)=3,即 a+lne+1=3 ∴a=1. (Ⅱ)解:由(Ⅰ) ,知 f(x)=x+xlnx, ∴f(x)≤kx 对任意 x>0 成立?k≥ 令 g(x)=
2

对任意 x>0 成立,

,则问题转化为求 g(x)的最大值. ,令 g′(x)=0,解得 x=1.

求导数,得 g′(x)=﹣

当 0<x<1 时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数; 当 x>1 时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数. 故 g(x)在 x=1 处取得最大值 g(1)=1. ∴k≥1 即为所求. (Ⅲ)证明:令 h(x)= ,则 h′(x)= .

由(Ⅱ) ,知 x≥1+lnx(x>0) ,∴h′(x)≥0,

∴h(x)是(1,+∞)上的增函数. ∵n>m>1,∴h(n)>h(m) ,即 ∴mnlnn﹣nlnn>mnlnm﹣mlnm, 即 mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn, mn m mn n 即 lnn +lnm >lnm +lnn , n m m n 即 ln(mn ) >ln(nm ) , n m m n ∴(mn ) >(nm ) , ∴ > . > ,

点评: 本题考查导数的综合应用:求切线方程,求单调区间和极值、最值,考查不等式恒 成立问题转化为求函数最值问题, 同时考查分离参数法和运用单调性证明不等式问题, 属于中 档题.


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