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【名师一号】2015年高中物理 第十一章 机械振动 第二节 简写运动的描述课件 新人教版选修3-4


第二节

简谐运动的描述

课标解读
明确要求 把握方向 学业有成

1.了解全振动、相位、初相等概念. 2.理解振幅、周期、频率的含义. 3.了解简谐运动的表达式,知道其中各符号的含义. 4.能用公式和图象描述简谐运动的特征.

教材知识梳理
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一、描述简谐运动的物理量 1.振幅(A) (1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离,单位为 米,常用单位为厘米. (2)物理意义 表示振动强弱,是标量(选填“矢量”或“标量”),是振 动系统能量大小的标志,同一个振动系统,振幅越大,系统能 量越大,振动越剧烈.

2.全振动 (1)定义:一个完整的振动过程. (2)说明:①不管以哪个位置作为开始研究的起点,弹簧 振子完成一次全振动的时间总是相同的. ②振子在一次全振动中通过的总路程为振幅的4倍. 3.周期(T)和频率(f)

(1)周期:做简谐运动的物体,完成一次全振动所需要的 时间. (2)频率:单位时间内完成全振动的次数. (3)单位:在国际单位制中,周期的单位是秒,频率的单 位是赫兹,简称赫,符号是Hz. 1 (4)周期和频率的关系:T= f (用公式表示). (5)物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理 量,周期越小,频率越大,表示物体振动越快.

4.相位 描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态. 二、简谐运动的表达式 简谐运动的一般表达式为x=Asin(ωt+φ). (1)A表示简谐运动的振幅. 2π (2)ω是一个与频率成正比的量,表示简谐运动的快慢,ω= T = 2πf,称为简谐运动的圆频率. (3)ωt+φ代表简谐运动的相位,φ表示t=0时的相位,叫做初相.

知识图解

教材拓展提升
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一、简谐运动的振幅、位移和路程的关系 1.振幅与位移的关系 (1)振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离;位移是物 体相对于平衡位置的位置变化. (2)振幅是表示振动强弱的物理量,在同一简谐运动中振 幅是不变的,但位移却时刻变化. (3)振幅是标量;位移是矢量,方向为由平衡位置指向振 动物体所在位置. (4)振幅在数值上等于位移的最大值.

2.振幅与路程的关系 (1)振动物体在一个周期内的路程一定为四个振幅. (2)振动物体在半个周期内的路程一定为两个振幅. 1 (3)振动物体在 T内的路程可能等于一个振幅,可能大于 4 1 一个振幅,还可能小于一个振幅.只有当 T的初时刻,振动 4 1 物体在平衡位置或最大位移处时, 内的路程才等于一个振 4 幅.

二、对简谐运动的周期性的理解 1.简谐运动是一种周期性运动,振动物体完成一次全振 动的时间叫做一个周期.某振动系统的振动周期为一常数,与 振幅无关. 2.若t2-t1=nT(n=1,2,3?),即两时刻相差周期的整数 倍,则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,描述运动的所有物 理量(x、a、v、Ek、Ep等)完全相同.

T T 3.若t2-t1=nT+ =(2n+1) (n=0,1,2,?),即两时刻 2 2 之差为半个周期的奇数倍,则t1、t2两时刻振动物体应处在关 于平衡位置对称的位置上,由简谐运动的对称性可知,描述运 动的物理量(x、a、v)均大小相等,方向相反.

1 3 4.若t2-t1=nT+ T(n=0,1,2,?)或t2-t1=nT+ T(n= 4 4 0,1,2,?),则当t1时刻物体到达最大位移处时,t2时刻物体到 达平衡位置;当t1时刻物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最 大位移处;若t1时刻,物体在其他位置,t2时刻物体到达何处 就要视具体情况而定.

三、对简谐运动表达式的理解 1.简谐运动的表达式:x=Asin(ωt+φ) (1)式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移;t表示振动 的时间. (2)A表示振动质点偏离平衡位置的最大距离,即振幅. (3)ω叫做简谐运动的圆频率,它也表示做简谐运动的物体 2π 振动的快慢,与周期T及频率f的关系:ω= T =2πf.

所以表达式也可以写成:x=Asin +φ).

?2π ? ? t+φ? ?T ?

或x=Asin(2πft

(4)φ表示t=0时,简谐运动质点所处的状态,称为初相位 或初相.(ωt+φ)代表了做简谐运动的质点在t时正处于一个运 动周期中的哪个状态,所以代表简谐运动的相位.

2.相位差 (1)定义:指两个相位之差,在实际中经常用到的是两个 具有相同频率的简谐运动的相位差,反映出两简谐运动的步调 差异. (2)对相位差的理解 ①设两简谐运动A和B的表达式分别为:x1=A1sin(ωt+ φ1),x2=A2sin(ωt+φ2),它们的相位差为Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+ φ1)=φ2-φ1.

可见,其相位差恰好等于它们的初相之差,因为初相是确 定的,所以频率相同的两个简谐运动有确定的相位差. ②若Δφ=φ2-φ1>0,则称B的相位比A的相位超前Δφ或A 的相位比B的相位落后Δφ;若Δφ=φ2-φ1<0,则称B的相位比 A的相位落后|Δφ|或A的相位比B的相位超前|Δφ|. (3)同相和反相的两点对比

表示意义 同相 表明两个物体振动步调相同

相位差Δφ 0 π

反相 表明两个物体振动步调完全相反

典例分析
举一反三 触类旁通

一、简谐运动的位移、振幅、路程的关系 【例1】 一个质点做简谐运动,振幅是4 cm ,频率为

2.5 Hz,该质点从平衡位置起向正方向运动,经2.5 s质点的位 移和路程分别是( A.4 cm、24 cm C.0、100 cm ) B.-4 cm、100 cm D.4 cm、100 cm

【解析】

1 1 1 由f=T得T= f =0.4 s,Δt=2.5 s=6 T.每个周 4

1 期质点通过的路程为4×4 cm=16 cm,故质点的总路程s=6 4 ×16 cm=100 cm,质点0时刻从平衡位置向正向位移运动,经 1 过 周期运动到正向最大位移处,即位移x=4 cm,故D选项正 4 确.
【答案】 D

名师点拨

求路程时,首先应明确振动过程经过几个整数

周期,再分析最后不到一个周期的时间内的路程,两部分之和 1 即为总的路程,振子在 周期内的路程可能等于一个振幅,也 4 可能大于一个振幅,还可能小于一个振幅,只有从平衡位置或 1 最大位移处开始运动, 周期内的路程才等于一个振幅. 4

巩固练习1

周期为2s的简谐运动,在半分钟内通过的路

程是60 cm,则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的 振幅分别为( A.15次 C.15次 ) 2 cm 1 cm B.30次 D.60次 1 cm 2 cm

解析 振子完成一次全振动经过轨迹上每点的位置两次 (除最大位移外),而每次全振动振子通过的路程为4个振幅.
答案 B

二、简谐运动中周期性问题 【例2】 一质点在平衡位置O附近做简谐运动,从它经 s质点第一次通过M点,再经

过平衡位置起开始计时,经0.13

0.1 s第二次通过M点,则质点振动周期是多少?

【解析】

由于振动的往复性,质点经过某一位置时,因速

度方向不一致会导致多解. 将物理过程模型化,画出具体化的图景,如图①所示,设质 点从平衡位置O向右运动到M点,那么质点从O到M运动时间为 0.13 s,再由M经最右端A返回M经历时间0.1 s,如图②所示.另 一种可能就是M点在O点左方.如图③所示,质点由O经右端最大 位移A处向左经过O点到达M历时0.13 s,再由M向左经左端最大位 移A′处返回M点历时0.1 s,根据以上分析,质点振动周期共存在 两种可能性,如图②所示,可以看出O→M→A历时0.18 s .根据对 称性可得到周期T1=4×0.18 s=0.72 s

另一种可能如图③所示,由O→A→M历时t1=0.13

s,由

4 M→A′历时t2=0.05 s,则T2= (t1+t2)=0.24 s,所以质点的 3 振动周期的可能值为0.72 s和0.24 s. 【答案】 见解析

名师点拨

由于简谐运动的周期性,结合初始条件的不确

定性,往往引起此类问题的多解,解决此类问题时要对题目分 析透彻、弄清各种可能性,切勿丢解.

巩固练习2

一个弹簧振子经a、b两点时速度相同,从a到

b经历的最短时间为0.2 s,再从b到a的时间为0.3 s,则振子的 周期为( A.1 s C.0.6 s ) B.0.8 s D.1.2 s

解析 振子经过a、b两点时速度相同,从a到b经历的最短 时间为0.2 s,而由b到a的时间为0.3 s,由以上信息可知,a、b 在平衡位置两侧关于平衡位置对称,如图所示,O为平衡位 置,tab=0.2 s, tba=0.3 s,则tbb′=(0.3-0.2) s=0.1 s. 故周期T=(0.2+0.3+0.1)s=0.6 s.
答案 C

三、简谐运动的表达式及相位 【例3】 (多选题)物体A做简谐运动的振动位移xA=

π 3sin(100t+ )m,物体B做简谐运动的振动位移xB=5sin(100t+ 2 π )m,比较A、B的运动( 6 )

A.振幅是矢量,A的振幅是6 m,B的振幅是10 m B.周期是标量,A、B的周期都是100 s C.A振动的频率fA等于B振动的频率fB π D.A的相位始终超前B的相位 3

【解析】

振幅是标量,A、B的振动范围分别是6 m、10

2π m,但振幅分别为3 m、5 m,A错;A、B的振动周期T= ω = 2π =6.28×10-2 s,B错;因TA=TB,故fA=fB,C对;Δφ=φA 100 π -φB= 为定值,D对. 3
【答案】 CD

巩固练习3

一物体沿x轴做简谐运动,振幅为8 cm,频率

为0.5 Hz,在t=0时位移是4 cm,且向x轴负向运动,试写出用 正弦函数表示的振动方程.

解析

简谐振动的方程一般表示为x=Asin(ωt+φ)

根据条件A=0.08 m,ω=2πf=π,所以x=0.08sin(πt+φ) m,将t=0时,x=0.04 m代入得0.04=0.08sinφ,解得初相φ= π 5 或 π.因t=0时,速度方向沿x轴负方向,即位移在减小,所 6 6 5 以φ= π 6 5 所求的振动方程x=0.08sin(πt+ π) m. 6 5 答案 x=0.08sin(πt+ π) m 6

四、综合、创新与拓展 【例4】 如图所示,小球从竖直在地面上的轻弹簧的正

上方某处自由下落,接触弹簧后将弹簧压缩,全过程中弹簧在 弹性限度内,试比较弹簧压缩到最大时的加速度am和重力加速 度g的大小.

【解析】

小球和弹簧接触后做简谐运动.

如图所示,点C为弹簧原长时端点的位置.

小球的重力与弹簧弹力大小相等的位置为B,A为弹簧被 压缩最短时最低点的位置,也就是小球振动的最大位移处, A′点是与A关于B点对称的位置(也就是上端最大位移处).由 对称性可知,小球在A与A′点的加速度大小相等,设为am, 小球在C点的加速度为g,由图可看出C点在A′和B之间,若 球与弹簧相连则在A′点弹簧处于被拉伸状态,合外力为弹簧 弹力和小球重力之和,故am>g.
【答案】 am>g


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