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2-4-2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 一、选择题 1.设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)· c 等于( A.(-15,12) C.-3 [答案] C [解析] a+2b=(-5,6),(a+2b)· c=-5×3+6×2=-3. 2.已知 a=(1,-2),b=(3,4),则 a 在 b 方向上的投影是( A.1 C. 5 [答案]

B [解析] 设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a 在 b 方向上的投影是|a|cosθ |a||b|cosθ a· b 1×3+4×?-2? = = = =-1. |b| |b| 9+16 3.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+xb 与 b 垂直, 则实数 x 的值为( 23 A. 3 C.2 [答案] D [解析] 由于向量 a+xb 与 b 垂直,则(a+xb)· b=0, 2 所以 a· b+xb2=0,则 6-4+5x=0,解得 x=-5. 4.已知向量 a=(1,2),a· b=5,|a-b|=2 5,则|b|等于( A. 5 C.5 B.2 5 D.25 ) ) 3 B.23 2 D.-5 B.-1 D.- 5 ) B.0 D.-11 )

[答案] C [解析] ∵|a-b|=2 5,∴(a-b)2=20. ∴a2-2a· b+b2=20. ∴5-2×5+|b|2=20.∴|b|=5. 5.(2011· 上海春季高考)若向量 a=(2,0),b=(1,1),则下列结论 正确的是( ) B.|a|=|b| D.a∥b

A.a· b=1 C.(a-b)⊥b [答案] C

[解析] 由于 a· b=2,所以 A 项不正确; 由于|a|=2,|b|= 2,则|a|≠|b|,所以 B 项不正确; 由于 a-b=(1,-1),(a-b)· b=(1,-1)· (1,1)=0, 所以(a-b)⊥b,所以 C 项正确; 由于 2×1-0×1=2≠0,则 a,b 不共线, 所以 D 项不正确. 6.(2011~2012· 广东佛山高三质检)已知向量 a=(1,1),2a+b= (4,2),则向量 a、b 的夹角为( π A.6 π C.3 [答案] B [解析] 由于 2a+b=(4,2),则 b=(4,2)-2a=(2,0), 则 a· b=2,|a|= 2,|b|=2. 设向量 a,b 的夹角为 θ,则 cosθ= a· b 2 =2. |a||b| ) π B.4 π D.2

π 又 θ∈[0,π],所以 θ=4. 7.(2011~2012· 重庆南开中学)平面向量 a 与 b 的夹角为 60° ,a =(2,0),|b|=1,则 a· b=( 1 A.2 3 C. 2 [答案] B 1 [解析] |a|=2,a· b=|a|· |b|· cos60° =2×1×2=1. 8.(2012· 全国高考重庆卷)设 x,y∈R,向量 a(x,1),b=(1,y), c=(2,-4)且 a⊥c,b∥c,则|a+b|=( A. 5 C.2 5 [答案] B [解析] 由 a⊥c, 得 2x-4=0 则 x=2, 由 b∥c 得-4=2y 则 y =-2, |a+b|= ?2+1?2+?1-2?2= 10 [考点定位] 本题主要考查两个向量垂直和平行的坐标表示、模 长公式,解决问题的关键在于根据 a⊥c,b∥c,得到 x,y 的值,只 要记住两个向量垂直、平行和向量的模的坐标形式的充要条件,就不 会出错,注意数字的运算。 9.已知向量 a=( 3,1),b 是不平行于 x 轴的单位向量,且 a· b = 3,则 b 等于( A.?
? 3 1? ,2? ? 2 ?

) B.1 D. 3

)

B. 10 D.10

)
?1 3? B.? , ? 2? ?2

?1 3 3? ? C.? , 4 ? ?4

D.(1,0)

[答案] B [解析] 方法 1:令 b=(x,y)(y≠0),则
2 2 ? ?x +y =1, ? ? 3x+y= 3, ?

① ②

将②代入①得 x2+( 3- 3x)2=1,即 2x2-3x+1=0, 1 3 ∴x=1(舍去,此时 y=0)或 x=2?y= 2 . 方法 2:排除法,D 中 y=0 不合题意;C 不是单位向量,舍去; 代入 A,不合题意,故选 B. 10 . (2011 ~ 2012· 河北省正定中学模拟 ) 已知向量 a = (2cosθ ,
?π ? 2sinθ),b=(0,-2),θ∈?2,π?,则向量 a,b 的夹角为( ? ?

)

3π A. 2 -θ π C.2+θ [答案] A [解析]

π B.θ-2 D.θ

解法一:由三角函数定义知 a 的起点在原点时,终点落在圆 x2

+y2=4 位于第二象限的部分上 π (∵2<θ<π),设其终点为 P,则∠xOP=θ, 3π ∴a 与 b 的夹角为 2 -θ. a· b -4sinθ 解法二:cos〈a,b〉= = |a|· |b| 2×2
?3π ? =-sinθ=cos? 2 -θ?, ? ? ?π ? ?π ? 3π ∵θ∈?2,π?,∴ 2 -θ∈?2,π?, ? ? ? ?

3π 又〈a,b〉∈(0,π),∴〈a,b〉= 2 -θ. 二、填空题 11.已知 a=(1,2),b=(-2,1),则与 2a-b 同方向的单位向量 e 为________.
?4 3? [答案] ?5,5? ? ?

[解析] ∵2a-b=2(1,2)-(-2,1)=(4,3), ∴同方向的单位向量 e= ?4,3? ?4 3? =? , ?. 42+32 ?5 5?

12.设 a=(1,2),b=(1,m),若 a 与 b 的夹角为钝角,则 m 的 取值范围是________. 1? ? [答案] ?-∞,-2?
? ?

[解析] ∵a 与 b 的夹角为钝角, 设为 θ, 则 cosθ<0 且 cosθ≠-1, 1+2m<0, ? ? ∴? 1+2m ≠-1, ? ? 5· 1+m2 1 解得 m<-2.

→ → → → 13.在平行四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-3,2),则AD· AC =________. [答案] 3 [解析] 设 AC 与 BD 交于点 O, → → → 1→ 1→ 则AD=OD+AO=2BD+2AC 1 1 =2(-3,2)+2(1,2)=(-1,2). → → ∴AD· AC=(-1,2)· (1,2)=-1×1+2×2=3. 14.(2011~2012· 金华十校)△ABO 三顶点坐标为 A(1,0),B(0,2), → → → → O(0,0),P(x,y)是坐标平面内一点,满足AP· OA≤0,BP· OB≥0,则 → → OB· AB的最小值为________. [答案] 3 [解析] -1, → → ∵BP· OB=(x,y-2)· (0,2)=2(y-2)≥0, ∴y≥2. → → ∴OP· AB=(x,y)· (-1,2)=2y-x≥3. 三、解答题 15.已知平面向量 a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且 a∥b,a ⊥c. (1)求 b 和 c; → → ∵AP· OA=(x-1,y)· (1,0)=x-1≤0,∴x≤1,∴-x≥

(2)若 m=2a-b,n=a+c,求向量 m 与向量 n 的夹角的大小. [解析] (1)∵a∥b,∴3x-36=0.∴x=12. ∵a⊥c,∴3×4+4y-0=0.∴y=-3. ∴b=(9,12),c=(4,-3). (2)m=2a-b=(6,8)-(9,12)=(-3,-4), n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 设 m,n 的夹角为 θ,则 cosθ= -25 2 = =- 2 . 25 2 ∵θ∈[0,π], 3π 3π ∴θ= 4 ,即 m,n 的夹角为 4 . 16.已知向量 a 与 b 同向,b=(1,2),a· b=10. (1)求向量 a 的坐标; (2)若 c=(2,-1),求(b· c)a. [分析] (1)由于 a 与 b 同向,可以设 a=λb(λ>0),结合 a· b=10, 可以求出 a;(2)代入坐标即可. [解析] (1)∵a 与 b 同向,又 b=(1,2), ∴设 a=λb=(λ,2λ)(λ>0). 又∵a· b=10, ∴λ+4λ=10,解得 λ=2, ∴a=(2,4). (2)∵b· c=1×2+2×(-1)=0, ∴(b· c)a=0. → → → 17.已知AB=(6,1),BC=(4,k),CD=(2,1). -3×7+?-4?×1 m· n = |m||n| ?-3?2+?-4?2× 72+12

(1)若 A、C、D 三点共线,求 k 的值; → → (2)在(1)的条件下,求向量BC与CD的夹角的余弦值. → → → [解析] (1)AC=AB+BC=(10,k+1), 又 A、C、D 三点共线, → → ∴AC∥CD. ∴10×1-2(k+1)=0,解得 k=4. → → (2)设向量BC与CD的夹角为 θ, → → → 由(1)得BC=(4,4),则BC· CD=2×4+1×4=12, → → 2 2 又|BC|= 4 +4 =4 2,|CD|= 22+12= 5, → → BC· CD 12 3 10 则 cosθ= = = 10 . → → 4 2× 5 |BC||CD| → → 3 10 即向量BC与CD的夹角的余弦值为 10 . 18.已知|a|=1,|b|=1,a 与 b 的夹角为 120° ,求 2a-b 在 a+b 方向上的投影. [ 解析 ] (2a - b)· (a + b) = 2a2 + 2a· b - a· b - b2 = 2a2 + a· b - b2 =

1 2×12+1×1×cos120° -12=2. 因为 |a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2a· b + b2 = 1 + 2×1×1×cos120° +1 = 1 , 所 以 |a + b| = 1 , 所 以 2a - b 在 a + b 方 向 上 的 投影 为 :

1 ?2a-b?· ?a+b? 2 1 =1=2. |a+b| [点拨] 设 2a-b 与 a+b 的夹角为 θ,则 2a-b 在 a+b 方向上 的投影为|2a-b|· cosθ= ?2a-b?· ?a+b? . |a+b|

[规律总结] 关于投影,主要考查求一个向量在另一向量方向上 的投影.设 a 与 b 的夹角为 θ,则 a 在 b 方向上的投影为|a|· cosθ.向量 的投影是数量,不是向量,计算投影时可直接利用定义,有时两向量 a· b 夹角未知时,常利用|a|· cosθ= 求解. |b|


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