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2013年北京大学保送生考试数学试题赏析


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中学 数学 杂志

21 03年第 3期 

21 03年北京大学保送 生考试 数学试 题赏析 
南昌外 国语 学校  高校 的 自主 招 生 考试 越 来 越 牵 动 着 各 位 高 中 
老 师及 学生 、 长 的心 , 校 自主

招 生题 目是 怎 么样  家 高

302  30 5

梁懿涛 

m >0则_ <D + , 譬   _ b  
0 。 < 6+c   
b +C   b  

m 

.  

的 , 哪些方 面 出题 , 查 学 生 的 哪 些方 面? 今 年  从 考 从 的北大 保送 生考 试数 学试 题 中 , 我们 可 以一窥 究 竟.   1 AA C内点  满足  C . B MB =10. 段 B 0 。线 M 

联 想 到此题 , 上题 可这样 证 明 : 则  
<  
c  

( ) 又 =   ) 又    ? .
b   c  

的中垂线交边 A B于点 P, 线段 C 的中垂线交边 A   M C 于点 p, 已知 P, 9共线 , M, 求  C B  A. 平 面几 何 是 初 中的 内容 ,   此 题 作 为 第 一 题 , 有 深 意  是 的. 大每 年 的这 种 考 试 都 有  北 道平 面几 何题 , 然 难 度 都  虽 不大 , 但平 面几何题对 于考查  学 生 的综 合 分 析 、 辑 推 理 能  逻 力 是有 它 的 独 到 之处 的. 于 B 对   C  


1+b+C 1+b+C’ +b+C<1+b+1+C    ’        +1而      、     ‘   ’          
而 ( )式 是 需 要 证 明 的 , 法 很 多 , 放 缩 法 :   方 如   = 一     < 一     <   ; 函数 

法 : (   r  ( >。 , 令, )   ) 因为  )  

在 

( ,+。 0 。)内单 调递 增 , 以 由 a<b+c得 - a   所 , 厂 )< (

此题 , 首先 考生 要根 据 题 意 准 确 地 做 出 图形 , 次 , 其  

八 +) + a  6c l < ,
等.  

;较 :  一 比 法r  

由于高中不学 的原 因( 部分 省份列人选修 , 但也课  时很少 , 容很 浅 ) 考 生 对 平 面 几 何 的 内容 、 法  内 , 方 都 已陌生 , 在考试有限的时间内, 分析题意, 找到条  件 与结 论 之 间的联 系 , 要 考 生 有 敏捷 的逻 辑 思 维  需 能力. 后 , 最 本题 只 涉及 到 中垂 线 , 三点 共线 , 角形  三 内角之 和 为 10 , 些 都 属 于 基 础 知 识 的范 畴 , 8 。这 看  出大学 招 生重 知识 , 更重 能力 的特 点.   解  因为点 P在 B 的 中垂 线 上 , 以 LP M  M 所 B P MB, 同理  ? M = Q C   MC因为  C MB =   10 , 以  P   + Q M = P 0 。所 B   C   MB + Q   MC =   10   B 8 。一 MC = 8 。 又 因 为 LMB + MC = 0. C   B  
=  

1   : 1a1   )…j10、  bc  焉 (++ 0 + < ++ (+) bc<        
从 此 题 可看 出 , 校 自主 招生 的试 题 考查 的还  高 是很基 础 的东西 , 基本 知识 与基本 技 能 , 求考 生  如 要 具备 扎实 的数 学功 底.   3 是 否存 在两 两不 同 的实数 abC使得 平 面直  . ,,,
角坐 标 系中三 条直 线 Y =a x+b Y =b , x+CY:c ,  

+a共 点.  

10   B 8 。一  C =8 。 所 以  曰+ C = P   + 0,     B   QC + LMB M C+ LMC =1 0 , 而  C B = B 6 。从 A  
1 0。 一 8   日 一   C =2 . 0。  

对于“ 是否存在”型的问题 , 一般先假设存在 ,   再根 据条 件 往 下 推 导 , 没 矛 盾 , 如 就证 明 了 结 论 成  立 , 出现矛盾 , 若 就否定 了结论.   解  假设存 在 , 联立 Y =a x+bY =b , x+C解  ,
得  =   所 以 


2 正数 a bC 足 a< b+C . , ,满 ,  

, 立 Y :b 联 x+c Y=c ,  +0 解 得  = ,   =   (   )C a ( - )=( -6  c )

乐让  a < o +r  、:       t  c  
—  

此 题 是 高 中数 学 原先 教 材 中的一 道 练 习 题 , 现 

( c—a+a一6    c一0  +( )= ( ) c—a ( ) a~b   )+

在的教辅书中也多有提及. 新课标 ( 北师大版)数学  必修五中, 依稀可见这道题的影子. 第三章第一节例  题 8 建 筑设计 规 定 , : 民用住 宅 的 窗 户 面积 必 须小 于  地板面积 , 但按采光标准, 窗户面积与地板面积的 比   值不小于 1% , 0 且这个 比值越 大, 住宅 的采光条件  越好. 问 : 试 同时增 加 相 等 的窗 户 面 积 和地 板 面 积 ,   住宅的采光条件是变好 了, 还是 变坏了? 请说 明理  由. 过此 题 , 出了一 个结 论 : b∈R 且 a<b  通 得 a,  , ,

( a一6  =0 ) .  

因为  ≠6所 以( ,  

) 一  +1=0  )   +c ( ,

因为  + +1=0无 实根 , 以 ( )式 不成立 ,   所   即 

不存在两两不 同的实数 a bC 使得平面直角坐标  ,,, 系 中三条 直 线 Y =a x+6Y=b , x+CY =C , X+a共  点.   从 以上解 法 就 可 看 出 , 此题 开 始 对 考生 的要  从

中学数 学杂 志

2 1 第 3期  0 3年

冤魂臣 娩 6    
出了解题 的突破 口.  

奠  

舅% 

求就 开 始提 高 了. 此题 人 手点 低 , 容易 想到 联立 直线 

方 但两两 程, 求得交点后,   得




o 

=} , 人   很多  
o — C 

会 猜到 从 上式会 推 导 出矛盾 , 怎样 往下推 导 , 但 就不  容 易 了. 由上式 得 到 ( a—b ( 口 ) C一 )=( — ) 要考  c b ,
验考 生 的 “ 眼力 ”了 , 否 “ ”出 c—b=C—a+a 能 看   b 用 到 “ 一项 减 一 项 ”的 数 学技 巧 , 为 一 ; , 加 此 到  了 ( a  +( a ( c— ) c— ) a—b +( ) a—b =0 能 “ ” ) , 看  


出此 式 是 二 次 齐 次 式 方 程 , 变 成 一 元 二 次 方 程  可
(  
0 一 D 

)    +




D 

+1=0 此 为二. 外本 题也 可 以  , 此

利用直线系来证明 , 方法类似.   4 称 { ,,…9} . 123 的某 非 空子 集 为奇 子集 , 如果  其 中所 有元 素之 和为 奇数 . 问共 有几 个 奇子 集.   此题综合了集合子集的个数 、 排列组合的内容 ,   考查 考 生分 类讨 论 的数学 思想 方 法. 题 涉及 奇数 , 此   所以利用数论 中奇偶分析是常用方法.   解法一  将集合 A ={ , ,…9 中的元素分  123 } 为奇数 1357 9 , ,, , 和偶数 24 68 设集合  的奇子  , ,,. 集 为 B 因为 B中元 素奇数 的个数 只 能为奇 数 , 以  . 所 当 曰中元 素 个 数 分 别 为 12 34 56 78 9时 , 、、 、、 、、 、、 其 

5 有个 2 1 规格 的正方形数表 , . 03 每行都等差 ,   每列 各数 平 方后 等差 , 求证 : 上 X右 下 = 左 下 × 左   右 上.   此 题 作 为今 年 北 大保 送 生 数 学试 卷 的压 轴题 ,   是 有一 定难 度 的. 先此题 表 面上 只涉及 等差 数列 , 首   内容很简单 , 但正 因为如此 , 给我们 的信息量也很  少, 整道 题 只给 出一 个 2 1 03×2 1 0 3的数 表 , 外没  此 给出一个具体 的量 , 给考生的化归能力 , 建立数学模  型 能力 提 出 了很 高 的要求.   解  用 a  n表 示 数 表 第  行 第  列 的数. 设 
  a( 1 1 )



a, 12 a( )   

b, 21  a( )


  c, ( 2 a 2 )


d  .

方面 , 由每 列各 数平 方后 成等 差 , 得 


a ( ( 3 ¨  2】 l


/ 0 1  +2 1 c , 2 1a 0 2   

口f0 - 2   2] =

/ lb 02  由每行成等差, ! O l 2 1d , 2  +  

得 a230) 2 1 /0 l +2 1c fJ23 0-l  0 1 ̄2 10 02 
+2 2 01   ;  

另一 方 面 , 由每行 成等 差 , aI  得 f 。)=2 1a+   .3 0l   2 1 b a20 =2 1  ̄+2 1 d 由每 列各 数平 方后  0 2 , f23 _1 01 02 , 成 等差 , a23o): 得 f123   0.1
所 以 

分别有 c 、  c、c ? +C) (  c +     c ?  (   ; 、c - ; c ? C) ( ? + ? + i 、C ? 十   c) : 、       C) ( ;     c ?  、   (; C + ; c )(   c )c ? 个, 5 个. C ? : c ?   、c ? ; 、;   共26  
解法二  考虑集合 C={ , ,, ,} 13 57 9 与集合 D   { ,, ,}将集合 D的每个子集 ( 24 68 , 包括空集) 并  上集合 c的奇数个元素的子集 , 得到的集合都是奇 


2 1 /0  2 02  02√ 0 1 0  2 1a +2 1c +2 1 2 lb 02   1 ̄ 1    +2 1d
= ,

/o121 21b 21(01 + 02). 23( 1 02) 0221c 21d   0 a+  +
× a( o 3 2 1 ) = a x  2J . 3 0

子集, 所以有 2( +c +c)=26    c ; ; 5 个.
在解法二中, 将集合  分成两个子集 : 奇数集 c   与偶 数集 D, 用奇 数 集 G奇 数个 元 素之 和 为奇 数  利
及偶 数集 D 任意元 素 之和 为 偶 数 的特 点 , 速地 找  快

两边平方后化简得 a d=b. c   所 以左 上 × 右 下 = a1 ) (1




、  

_ 4  

2 l 2丽 0l 0  
2 1  01 21 0 

+ O l   l   + 02× 01ac 2× 01× 02ac 2132 2 l × 620 2 1 2 122  + 2 1 2122 d+ 02ad  
6+2 1 0 1×2 1 2 2   +2 1 ×2 1   2  +2 ×2 1 ×2 1 2 b  +2 1       0 2a 6 02 0 11c 2 0l 0 2 ae 0 2 bc


:  



/ 21 ̄+ o2) 2 1a ,(o1 2 1b (01 +21c) (O l 2 1 b 厂芝  _   02   2 l。+ o 2 )v 石 T  
左 下 X右上.  

=。 。 ,) × (   
,  

0(。,   
,  

)  



本题很巧妙地 只设 了四个参数. 际上 , 实 在本  题中, 参数怎么设 ? 设多少? 都是很难掌控 , 较难取舍  的 , 对 考生 的快 速分 析能 力 提 出了很 高 的要 求 . 这 最  后 , 管 怎 么设参 , 算 量 都 很 大 , 不 运 而这 是 对 考 生 运  算能力最大的考验. 最后本题 的关键 是运用 了“ 算  两 次 ”的解题 技 巧 , 过对 a 。 ,算 两次 , 到解  通 ㈣   ) 得 题 的关 键步 骤 a =b , d c问题 得 以解决 .   从 以上 分析 可知 , 大学 保 送生 ( 自主 招生 )考  或 试数学试题 , 既重视对数学基础知识 、 基本技能的掌 

握, 更注 重考 查对 数学 方 法 、 学 思想 的理 解. 题  数 试 既立 足 于现行 高 中数 学 的基 础 知识 , 解题 方 法技 巧  上又 高于 高 中数学 一 般 的要 求 , 思 维 能力 上 更 是  在 对考 生提 出了较高 的要 求.  
作者简介  梁懿涛 , 江西人 ,9 2年 2月生, 男, 17 教育硕  士, 中学高级职称 , 究方向为 中学数 学教 学法及解题研 究, 研   发表论 文数 十篇.  

5  3


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