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A第5讲-数列


《数列》总结

等 差 数 列

一、知识点 1.定义: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? ) 2.通项: an ? a1 ? (n ? 1)d ,推广: a n ? am ? (n ? m)d n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d 3.前 n 项的和: S n ? 2 2 4.等差中项:若 a、b、c 等差数列,则 b 为 a 与 c 的等差中项:2b=a+c 5.简单性质:(1) m ? n ? p ? q, 则am ? an ? a p ? aq (2) an , an?m , an?2m ,?组成公差为 md 的等差数列. (3) S n , S 2n ? S n , S3n ? S 2n ,?组成公差为 n2d 的等差数列. 二、思维点拔 1.等差数列的判定方法 (1)定义法: an?1 ? an ? d (常数) (n ? N ? )

(2)中项法: 2an?1 ? an ? an?2

(3)通项法: an ? a1 ? (n ? 1)d (4)前 n 项和法: S n ? An2 ? Bn 2.知三求二( a1 , d , n, an , S n ),要求选用公式要恰当. 3.设元技巧: 三数: a ? d , a, a ? d 三、等比数列 (1) (2) 定义:
a n ?1 =q(q 为常数,an≠0) ;an2=an-1an+1(n≥2,n∈N+) ; an

四数 a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d

通项公式:an=a1qn-1,an=amqn-m;

q ?1 ?na1 ? n 前 n 项和公式: S n ? ? a 1 (1 ? q ) a 1 ? a n q ; q ?1 ? 1? q ? 1? q ?

(3)

性质
2

当 m+n=p+q 时,aman=apaq,特例:a1an=a2an-1=a3an-2=…,当 2n=p+q 时,an =apaq,数列{kan}, { ? a i }成等比数列。
i ?1 k

四、等差、等比数列的应用 (1)基本量的思想:常设首项、公差及首项,公比为基本量,借助于消元思想及解方程 组思想等; (2)灵活运用等差数列、等比数列的定义及性质,简化计算; (3)若{an}为等差数列,则{ a a n }为等比数列(a>0 且 a≠1) ;

若{an}为正数等比数列,则{logaan}为等差数列(a>0 且 a≠1) 。

一.定义解题: 1.已知 {an } , {bn } 是项数相同的等比数列,求证: {an ? bn } 也是等比数列.

2 2.两个数列 {an } ,{bn } 中, an ? 0 , bn ? 0 且 an , bn , an?1 成等差数列, bn , an?1 , bn?1 成等比数列,证明:

2

2

{bn } 是等差数列.

二.性质应用: 1.等比数列 {an } 的各项和为正数,且 a5a6 ? a4a7 ? 18 ,则 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 ? 2.一等差数列共 n 项,其和为 100 ,前 10 项之和为 25 ,后 10 项之和为 75 ,求 n . .

3.已知两个等差数列 {an } 和 {bn } 的前 n 项和分别为 Sn 与 Tn ,且

S n 2n ? 1 a ,求 7 的值. ? b7 Tn 2n ? 1

4.等比数列 {an } 中, a1 ? an ? 66 , a2 an?1 ? 128,前 n 项和 Sn ? 126,求 n 和公比 q .

5.项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项之和为 80 ,偶数项之和为 75 ,求此数列的中间项与项数.

三.求和: 1.(分组求和)求通项为 an ? 2 n ? 2n ? 1的数列的前 n 项和.

2.(错位相减)求通项为 an ? 2 n ? (2n ? 1) 的数列的前 n 项和.

3.(裂项求和)求数列

6 6 6 , ,?, ,? 的前 n 项和. 1? 2 2 ? 3 n(n ? 1)

4.求数列 ?

?

? ? 的前 n 项和. ? n ? n ?1? 1

5.求数列 8 , 88 , 888 , 8888 ,……的前 n 项和.

6.求和 S n ?

1 1 1 1 ? ? ??? . 2 2?4 2?4?6 2 ? 4 ? ? ? 2n

四.求通项: 1.写出下列数列 21 , 203 , 2005 , 2007 ,…的一个通项公式. 2.数列 {an } 中, a1 ? 1, a n ?

1 a n ?1

? 1,则 a4 ?

.

3.(公式法)① a1 ? 2 , 3an?1 ? an ? 0

② a1 ? 2 , an?1 ? an ? 1 ? 0

4.(叠加法)③ a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2

n

5.(叠乘法)④ a1 ? 1 , an?1 ? 2 n ? an

6.(构造等比法)⑤ a1 ?

5 1 , a n ?1 ? a n ? 1 2 2

⑥ a1 ? 4 , an ? 3an?1 ? 2

(n ? 2)

7.(已知 S n 求 an )已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? S n ? n ? 1(n ? N * ) . (1)用 an 表示 a n ?1 ; (2)证明数列 {an ? 1} 是等比数列; (3)求 an 和 S n .

五.应用: 1. 某厂在 1995 年底制定生产计划,要使 2005 年底的总产量在原有基础上翻两番,则年平均增长率 为 . 2.某地区森林原有木材存量为 a , 且每年增长率为 25 % , 因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b , 设 an 为 n 年后该地区森林木材的存量. (1)求 an 的表达式; (2)为保护生态环境,防止水土流失,该地区每年的森林木材存量不少于

7 19 a ,如果 b ? a ,那么该 9 72

地区今后会发生水土流失吗?若会,需要经过几年?(参考数据: lg 2 ? 0.3 )

六.构造数列: 1.有两个等差数列 2 , 6 ,10 ,…,190 及 2 , 8 ,14 ,…, 200 ,由这两个数列的公共项按从小到大的

顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项和.

2.等差数列 {an } 的通项为 an ? 4n ? 1 , bn ?

a1 ? a 2 ? ? ? ? ? a n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . n

3.数列 {an } 中, a1 ? 1 ,

1 a n ?1

?

1 1 ? ,则 a 49 ? an 3

.

4.(了解题)已知 {an } 中 a1 ? 5 , a 2 ? 2 , an ? 2an ?1 ? 3an ? 2 (n ? 3) ,求通项公式 an .

七.数列与函数: 1.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? 13 , S5 ? S9 ,问数列的前多少项和最大?


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