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不定积分换元法例题1


不定积分换元法例题

2009-12-18

1

__________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、 (5 x ? 7) dx ? (5 x ? 7) ?dx ?

(5 x ? 7) ? d (5 x ? 7) ?
9 9 9

?

?

?

1 5

1 (5 x ? 7)9 ? d (5 x ? 7) 5?

1 1 1 1 ? ? ? (5 x ? 7)9 d (5 x ? 7) ? ? (5 x ? 7)10 ? C ? (5 x ? 7)10 ? C 5 5 10 50 1 【注】 (5 x ? 7) ' ? 5, ? d (5 x ? 7) ? 5dx, ? dx ? d (5 x ? 7) 5 ln x 1 dx ? ? ln x ? dx ? ? ln x ? d ln x x x 1 1 ? ? ln x ? d ln x ? (ln x) 2 ? C ? (ln x) 2 ? C 2 2 1 1 1 【注】 (ln x) ' ? , ? d (ln x) ? dx, ? dx ? d (ln x) x x x
2、

?

3(1) tan xdx ?

?

? cos xdx ? ?

sin x

sin xdx ?d cos x d cos x ?? ? ?? cos x cos x cos x

? ??

d cos x ? ? ln | cos x | ?C ? ? ln | cos x | ?C cos x

【注】 (cos x) ' ? ? sin x, ? d (cos x) ? ? sin xdx, ? sin xdx ? ?d (cos x) 3(2) cot xdx ?

?

? sin x dx ? ?

cos x

cos xdx d sin x ?? sin x sin x

??

d sin x ? ln | sin x | ?C ? ln | sin x | ?C sin x

【注】 (sin x) ' ? cos x, ? d (sin x) ? cos xdx, ? cos xdx ? d (sin x)

4(1)

? a ? xdx ? ? a ? x ? dx ? ? a ? x ? d (a ? x)
1 ? d (a ? x) ? ln | a ? x | ?C ? ln | a ? x | ?C a?x

1

1

1

??

【注】 (a ? x) ' ? 1, ? d (a ? x) ? dx, ? dx ? d (a ? x) 4(2)

? x ? a dx ? ? x ? a ? dx ? ? x ? a ? d ( x ? a)
1 ? d ( x ? a) ? ln | x ? a | ?C ? ln | x ? a | ?C x?a

1

1

1

??

【注】 ( x ? a) ' ? 1, ? d ( x ? a) ? dx, ? dx ? d ( x ? a)

4(3)

?x

2

1 1 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 ? dx ? ? 2 dx ? ? dx ? ? dx ? ? ?dx ? ?? 2 2 ? ?a x ?a 2a ? x ? a x ? a ? 2a ? x ? a x?a ?

?

1 1 x?a ?C ? ln | x ? a | ? ln | x ? a |? ? C ? ln 2a 2a x ? a

不定积分换元法例题

2009-12-18

2

5(1) sec xdx ?

?

sec x(sec x ? tan x) sec2 x ? sec x tan x dx ? ? sec x ? tan x ? sec x ? tan x ? dx

d (tan x ? sec x) d (tan x ? sec x) ?? ? ln | sec x ? tan x | ?C sec x ? tan x sec x ? tan x 1 cos x cos x ? dx d sin x dx ? ? dx ? ? ?? 5(2) ? sec xdx ? ? 2 2 cos x cos x cos x 1 ? sin 2 x ??

??

d sin x 1 ? 1 1 ? 1 sin x ? 1 1 1 ? sin x ? ?? ? ? C ? ln ?C ? ? d sin x ? ln 2 1 ? sin x 2 ? sin x ? 1 sin x ? 1 ? 2 sin x ? 1 2 1 ? sin x
csc x(csc x ? cot x) csc2 x ? csc x cot x dx ? ? csc x ? cot x ? csc x ? cot x ? dx

6(1) csc xdx ?

?

??

d (? cot x ? csc x) d (csc x ? cot x) ? ?? ? ? ln | csc x ? cot x | ?C csc x ? cot x csc x ? cot x

6(2) csc xdx ?

?

csc x(csc x ? cot x) csc2 x ? csc x cot x dx ? ? csc x ? cot x ? csc x ? cot x ? dx

??
7(1)

d (? cot x ? csc x) d (csc x ? cot x) ?? ? ln | csc x ? cot x | ?C csc x ? cot x csc x ? cot x

?

1 1? x
2

dx ? ?

dx 1 ? x2

? arcsin x ? C

7(2)

?

1 a2 ? x2
1

dx ? ?

dx a2 ? x2

??

dx ?x? a 1? ? ? ?a?
2

??

? x? d? ? ?a? ? x? 1? ? ? ?a?
2

??

x ? arcsin ? C 2 a ? x? 1? ? ? ?a?

? x? d? ? ?a?

8(1)

? 1? x

2

dx ? ?

dx ? arctan x ? C 1 ? x2

?x? ? x? d? ? d? ? 1 dx dx 1 1 1 x a a dx ? ? 2 ?? ? ? ? ? 2 ? ? ? ? 2 ? arctan ? C , 8(2) ? 2 (a ? 0) 2 2 2 a ?x a ?x a a a ? ?x? ? a ?x? ?x? 2 1? ? ? 1? ? ? a ?1 ? ? ? ? ?a? ?a? ? ?a? ? ? ?
3 5 2 5 2 5 9(1) sin x cos xdx ? sin x cos x ? sin xdx ? ? sin x cos x ? d cos x

?

?

?
5

cos8 x cos6 x ? ? ? (1 ? cos x) ? cos x ? d cos x ? ? (cos x ? cos x) ? d cos x ? ? ?C 8 6
2 5 7
3 5 3 4 3 4 9(2) sin x cos xdx ? sin x cos x ? cos xdx ? sin x cos x ? d sin x

?

?

?

? ? sin 3 x(1 ? sin 2 x) 2 ? d sin x ? ? (sin 3 x ? 2sin 5 x ? sin 7 x) ? d sin x ?

sin 4 x sin 6 x sin 8 x ? ? ?C 4 3 8

不定积分换元法例题

2009-12-18

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10(1) 10(2)

? x ln x ? ? ln x ? x ? dx ? ? ln x ? d ln x ? ? ln x ? d ln x ? ln ln x ? C ? x ln
dx
2

dx

1

1

1

1

x

??

1 1 1 1 1 ? ? dx ? ? 2 ? d ln x ? ? 2 ? d ln x ? ? ?C 2 ln x x ln x ln x ln x

2 xdx 2 xdx dx 2 d ( x 2 ? 1) 11(1) ? 4 ?? 4 ?? 4 ?? ? arctan( x 2 ? 1) ? C 2 2 2 2 2 x ? 2x ? 2 x ? 2x ? 2 x ? 2x ? 2 1 ? ( x ? 1)
11(2)

xdx 1 2 xdx 1 dx2 1 d ( x2 ? 1) ? ? ? ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? x4 ? 2x2 ? 5 2 ? 4 ? ( x2 ? 1)2

? x2 ? 1 ? d ? ? 2 1 d ( x 2 ? 1) 1 ? 2 ? ? 1 arctan( x ? 1) ? C ? ? ? 2 8 4 ? ? x 2 ? 1 ?2 4 2 ? x2 ? 1 ? 1? ? 1? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ?

12、

?

sin x 1 1 dx ? ? sin x ? ?dx ? 2? sin x ? ?dx ? 2? sin x ?d x x x 2 x
x ? ?2 cos x ? C ? ? 2 co xs C ?

? 2? s i n x d ?
13、 e dx ?
2x

?

1 2x 1 1 e d 2 x ? ? e2 x d 2 x ? e2 x ? C ? 2 2 2

14、

3 3 3 3 ? sin x cos xdx ? ? sin x ? cos xdx ? ? sin x ? d sin x ? ? sin x ? d sin x ?

sin 4 x ?C 4

100 15、 (2 x ? 5) dx ? (2 x ? 5)

1 1 ?dx ? ? (2 x ? 5)100 ? d (2 x ? 5) ? ? (2 x ? 5)100 ? d (2 x ? 5) 2 2 1 1 1 1 ? ? ? (2 x ? 5)100 d (2 x ? 5) ? ? (2 x ? 5)101 ? C ? (2 x ? 5)101 ? C 2 2 101 202

?

?

100

16、 x sin x dx ? sin x ? xdx ?
2 2

?

?

1 1 1 sin x 2 ? dx 2 ? ? sin x 2 ? dx 2 ? ? cos x 2 ? C ? 2 2 2

17、

?x

ln x ln x 1 ln x (1 ? ln x) ? 1 dx ? ? ? dx ? ? ? d ln x ? ? ? d ln x 1 ? ln x 1 ? ln x x 1 ? ln x 1 ? ln x

不定积分换元法例题

2009-12-18

4

? ? 1 ? ln x ? d ln x ? ? ??

1 ? d ln x 1 ? ln x 1 1 ? ln x ? d (1 ? ln x) ? ? ? d (1 ? ln x) 1 ? ln x

3 1 2 2 ? (1 ? ln x) ? 2(1 ? ln x) 2 ? C 3

earctan x 1 dx ? ? earctan x ? dx ? ? earctan x ? d arctan x ? ? earctan x ? d arctan x ? earctan x ? C 18、 ? 2 2 1? x 1? x
19、

?

x 1? x
2

dx ? ?

1 1? x
2

? xdx ? ?

1 2 1? x
2

? dx 2 ? ??

1 2 1? x
2

? d (1 ? x 2 )

? ??

1 2 1? x
2

? d (1 ? x 2 ) ? ? 1 ? x 2 ? C

20、

?

sin x cos3 x

dx ? ?

1 cos3 x

? sin xdx ? ??

1 cos3 x

? d cos x ? ?? cos

?

3 2

xd cos x ? 2cos

?

1 2

x?C

21、

ex 1 1 1 x x x x ? 2 ? e x dx ? ? 2 ? ex ? e dx ? ? 2 ? ex ? de ? ? 2 ? e x d (2 ? e ) ? ln(2 ? e ) ? C

22、

ln 2 x 1 ln 3 x 2 2 2 dx ? ln x ? dx ? l n x ? d ln x ? ln x ? d ln x ? ?C ? x ? ? ? x 3
dx 1 ? 2 x ? x2 dx 2 ? (1 ? x) 2 d (1 ? x) 2 ? (1 ? x) 2 d (1 ? x) ( 2) 2 ? (1 ? x) 2 1? x ?C 2

23、

?

??

??

??

? arcsin

1 1 d (x ? ) d (x ? ) dx dx 2 ? 2 24、 ? 2 ?? ?? ? 1 7 1 7 x ?x?2 1 7 ( x ? )2 ? ( x ? )2 ? ( x ? )2 ? ( )2 2 4 2 4 2 2 1 1 d (x ? ) x? 2 2 2 ? C ? 2 arctan 2 x ? 1 ? C ?? ? arctan 1 7 7 7 7 7 ( x ? )2 ? ( )2 2 2 2

25、计算

?

sin x cos x a sin x ? b cos x
2 2 2 2

dx , a 2 ? b 2

不定积分换元法例题

2009-12-18

5

【分析】因为: (a2 sin 2 x ? b2 cos2 x)' ? a2 2sin x cos x ? b2 2cos x(? sin x) ? 2(a 2 ? b2 )sin x cos x 所以: d (a2 sin 2 x ? b2 cos2 x) ? 2(a2 ? b2 )sin x cos xdx

sin x cos xdx ?

1 ? d (a 2 sin 2 x ? b 2 cos2 x) 2 2(a ? b )
2

【解答】

?

sin x cos x a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x

dx ? ?

sin x cos xdx a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x

?

1 d (a 2 sin 2 x ? b2 cos2 x) a 2 ? b2 ? 2 a2 sin 2 x ? b2 cos2 x

?

1 d( a 2 s i n2 x? b2 c o 2 sx ) 1 ? 2 a 2 s i n2 x ?b 2 c o 2 sx ? C 2 2? 2 2 2 2 a ? b 2 a2 s n a ? b i x? b c o s x

【不定积分的第二类换元法】 已知

? f (t )dt ? F (t ) ? C ? ?
【做变换,令 x ? ? (t ) ,再求微分】 【求积分】 【变量还原, t ? ? ( x) 】
?1

求 g ( x)dx ? g (? (t ))d? (t ) ? g (? (t ))? '(t ) dt

?

? ? f (t )dt ? F (t ) ? C

? F (? ?1 ( x)) ? C

__________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】
令 x ?t sin x sin t 2 sin t dx ???????? ? dt ? ? 2tdt ? ? 2sin tdt 1、 ? ? ? 2 x ? t t t x

? ?2cos t ? C ???????? 2cos x ? C
t? x

变量还原

令 x ?t 1 1 1 t 1 ? ? 2 dx ???????? ? dt ? ? 2 td t ? 2 dt ? 2 1 ? ? ? dt 2(1) ? ? ? ? ? 2 x ? t 1 ? t 1 ? t 1 ? t 1 ? t 1? x ? ?

不定积分换元法例题

2009-12-18

6

? 2 ? t ? l n |? 1t ? ?| C ???????
t? x

变量还原

? 2x ?

l? n |x 1 ?C |

?

令1+ x ?t 1 1 1 t ?1 ? 1? 2 dx ???????? ? d ( t ? 1 ) ? ? 2( t ? 1) dt ? 2 dt ? 2 ?1 ? ? dt 2(2) ? ? ? ? ? 2 x ? ( t ? 1) t t t 1? x ? t?

? 2 ? t ? ln | t |? ? C ??????? 2 1 ? x ? ln |1 ? x | ? C
t ?1? x
3

变量还原

?

?

3、

?

4 1 1 1 3 4 1 ? x dx ????? ??? ? t ? d ( t ? 1) ? ? t ? 4(t 3 ? 1)3 ? 3t 2 dt 3 2 ? ? 3 4 x ?( t ?1) (t ? 1) x (t 3 ? 1)4 3

令 1? x ?t

4

3 3 4 4 7 7 4 ? 变量还原 (1 ? x ) (1 ? x )4 ? ? ? t t 6 3 ??C ?12 ? ? ? 12? (t ? t )dt ? 12 ? ? ? ? C ?????? 3 4 ? ? 7 4 t ? 1? x ?7 4? ? ?

4、

?

令 x ?t 1 1 1 1 dx ???????? ? dt 2 ? ? ? 2tdt ? 2? dt 2 2 ? 2 x ?t t (1 ? t ) t (1 ? t ) 1? t2 x (1 ? x)
变量还原 t? x

? 2 arctan t ? C ??????? 2 arctan x ? C
令e ?t 1 1 1 1 1 ?1 1 ? 5、 ? dx ??????? ?? ? d ln t ? ? ? dt ? ? dt ? ? ? ? ? dt x x ? ln t 1? e 1? t 1? t t t (1 ? t ) ? t 1? t ?
x

?ln t | ? |

l n?| t1 ?C |?

变量还原 t l n ? C ?????? ? t ?e x 1? t

ex l n ?C 1 ? ex

令 x ?t dx 1 1 t2 1 ? ? 6 5 6、 ? ????? ? ? ? ? dt ? ? 6 t d t ? 6 dt ? 6? ?1 ? dt 3 2 3 2 3 2 2 ? ? ? ? 6 x ?t (1 ? t )t (1 ? t )t 1? t (1 ? x ) x ? 1? t ?
变量还原 t? x

6

? 6(t ? arctan t ) ? C ????? ?? 6( x ? arctan x ) ? C 6
m

6

6

【注】被积函数中出现了两个根式

x,

n

x 时,可令 x ? t ,其中 k 为 m,

k

n 的最小公倍数。

令 x ? 2 ?t ? t2 ? dx t2 ?????? 3 dt ? 3 ? t ? ln |1 ? t | ? C 3 ? ? 7(1) ? 1 ? x ? 2 x ?t 3 ? 2 ? 1 ? t ?2 ?
3

不定积分换元法例题

2009-12-18

7

? 3 ( x ? 2)2 3 ? 3 ????? 3? ? x ? 2 ? ln |1 ? x ? 2 | ?C ? 6 ? ? 2 t? x ? ?
变量还原

t 1 1? x ?????? ? 2 dt ? ?2t ? 2ln | t ? 1| ? ln | t 2 ? 1| ?C dx 2 ? 7(2) ? 1 t ?1 x? 2 x x t ?1



1? x ?t x

2

?????? 2
t? 1? x x

变量还原

1? x 1? x 1? x ? 2ln | ? 1| ? ln | ? 1| ?C x x x
n
n

【注】被积函数中含有简单根式

ax ? b 或
1 1

ax ? b cx ? d

时,可令这个简单根式为

t ,即可消去根式。

令 ?t d ? 2 dt dx x t8 1 ? ? t t ?? ?? ? ?? dt ? ?? ? t 6 ? t 4 ? t 2 ? 1 ? 2 ??? 8(1) ? 8 ? dt 2 x (1 ? x ) x?1t 1 ?1 ? 1 ? 1 ?1 ? 1 ? 1? t 1? t 2 ? ? 1

? t8 ?

? t2 ?

? t8 ?

? t2 ?

??

变量还原 t7 t5 t3 1 1 1 1 1 ? ? ? t ? arctan t ? C ????? ? 7 ? 5 ? 3 ? ? arctan ? C 1 7 5 3 7 x 5 x 3x x x t? x

1 1 1 ? ln 1 ? ln x t ?d 1 ? t ? ? 1 dt ? ? 1 ? ln t dt dx ???? 2 2 ? ?1 ? t ln t ?2 8(2) ? ( x ? ln x ) 2 1 ? t ? ?1 t2 x? 1? 1? ?1 t ? ? ln ? ? ? ln ? t? t? ?t ?t
1 令 ?t x

1 ? ln

? ??
1 x

1

?1 ? t ln t ?

? (1 ? ln t )dt ? ? ? 2

1

?1 ? t ln t ?

? d (1 ? t ln t ) ? 2

1 ?C 1 ? t ln t

?????
t?

变量还原

1 x ?C ? ?C 1 1 x ? ln x 1 ? ln x x

【注】当被积函数中分母的次数较高时,可以试一试倒变换。

2t 2t 1 ? 1 ? sin x t 2dt 1? t2 1? t2 dx ??? ? ? ? ? d 2arctan ? ? 2 2 ? ? 9、 ? 2t 1? t 2t 1? t 1? t2 sin x(1 ? cos x) x ?2arctan t 2 (1 ? ) (1 ? ) 1? t2 1? t2 1? t2 1? t2
x 令 tan ?t 2

1?

不定积分换元法例题

2009-12-18

8

1 ? 1? t2 1 ? ? ? t ? 2 ? ? d t? ? ? t ln | t ?| C 2 ? t? 4 2 2 x t a n 变量还原 2 ? t a nx ? 1 l n | txa n ????? ?C | 1 4 2 2 2 t?
x

【注】对三角函数有理式的被积函数,可以用万能公式变换,化为有理分式函数的积分问题。
令 x ? a sin t, |t |?

?
2

10(1)

? ?

a ? x dx ??????? ? a 2 ? a 2 sin 2 t ? da sin t ? a 2 ? cos2 tdt
2 2 t ?arcsin x a

dx a2 ? x2
? a2 ?

令 x ? a sin t, |t |? t ?arcsin x a

?
2 变量还原 x ? ? dt ? t ? C ??????? arcsin ? C x a t ?arcsin a 2 ? a 2 sin 2 t a

??????? ?

da sin t

1 ? cos 2t a2 a 2 ? sin 2t ? dt ? ? (1 ? cos 2t )dt ? ? t ? ??C 2 2 2 ? 2 ? 变量还原 a2 x 1 ??????? arcsin ? x a 2 ? x 2 ? C x 2 a 2 t ? arcsin
a

10(2)

?

dx a ?x
2 2

令 x ?a tan t, |t |? x t ?arctan a

??????? ?

? 2

da tan t a ? a 2 tan 2 t
2

? ? sec tdt ? ln | sec t ? tan t | ?C

x a2 ? x2 ??????? ln | ? | ?C ? ln | x ? a 2 ? x 2 | ?C x a a t ?a r c t a n
变量还原 a

因为: ( x ? a ? x ) ' ? 2 a ? x ?
2 2 2 2

a2 a2 ? x2
2

所以: ( x ? a ? x ) 'dx ? 2 a ? x dx ?
2 2 2

?

?

?

a2 a2 ? x2

dx

即:

?

1? a 2 ? x 2dx ? ? ? ( x ? a 2? x )2'dx ? a 2?

?

2

? ? dx 2 2 a ?x ? 1

1 a2 2 2 ? x a ? x ? ln | x ? a 2 ? x 2 | ?C 2 2
10(3)

?

dx x ?a
2 2

令 x ? a sec t, 0 ?t ?

???????

? 2

?

da sec t a sec2 t ? a 2
2

? ? sec tdt ? ln | sec t ? tan t | ?C

变量还原 x x2 ? a2 ??????? ln | ? | ?C ? ln | x ? x2 ? a 2 | ?C x ? a sec t a a

不定积分换元法例题

2009-12-18

9

因为: ( x ? x 2 ? a 2 ) ' ? 2 x 2 ? a 2 ?

a2 x2 ? a2
2

所以: ( x ? x ? a ) 'dx ? 2 x ? a dx ?
2 2 2

?

?

?

a2 x2 ? a2

dx

即:

?

1? x 2 ? a 2dx ? ? ? ( x ? x 2? a )2'dx ? a 2?

?

2

? ? dx 2 2 x ?a ? 1

1 a2 2 2 ? x x ? a ? ln | x ? x 2 ? a 2 | ?C 2 2
【注】当被积函数中出现 a 2 ? x2 , a 2 ? x2 , x2 ? a 2 因子时,可以用三角变换,化为三角函数的积分问题。 _______________________________________________________________________________________________

【附加】 【应用题】 已知生产 x 单位的某种产品, 边际单位成本是 C '( x) ? ( 又知边际收益为 R '( x) ? 12 ? 0.1x ,且 R(0) ? 0 , 求: (1)利润函数 L( x) ; (2)利润最大时的产量; (3)利润最大时的平均价格。 【解答】 (1)因为: C '( x) ? (

C ( x) 100 )' ? ? 2 , 产量为 1 个单位时, 成本为 102, x x

C ( x) 100 )' ? ? 2 x x 100 100 ? C1 ,由 C1 (1) ? 102 得: C1 ? 2 , ? C ( x) ? ? 2 , ? C ( x) ? 100 ? 2 x 所以: C ( x ) ? x x
又已知: R '( x) ? 12 ? 0.1x , R(0) ? 0 , ? R( x) ? 12 x ? 0.05x 于是: L( x) ? R( x) ? C( x) ? 10 x ? 0.05x ?100
2 2

不定积分换元法例题

2009-12-18

10

(2)令 L '( x) ? 10 ? 0.1x ? 0 得: x ? 100 因为: L '(100) ? 0, L "(100) ? 0 ,所以当 x ? 100 时利润最大, Lmax (100) ? 400 (3)利润最大时的平均价格为: P ?

R(100) 700 ? ?7 100 100


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不定积分习题与答案
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