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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题三 数列 第11讲 等差、等比数列的概念与性质课件 文


?第一部分

专题突破篇

专题三 数



第11讲 等差、等比数列的概念与性质

高考真题体验

[主干整合] 1.必记公式 (1)等差数列通项公式:an= a1+(n-1)d . n?a1+an? n?n-1? (2)等差数列前 n 项和公式: Sn= = na1+ 2 d . 2 n-1 a = a q n 1 (3)等比数列通项公式: . (4)等比数列前 n 项和公式: ?na1?q=1?, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq ? 1-q = 1-q ?q≠1?. ?

* 2 a = a + a ( n ∈ N ,n≥2) . - + (5)等差中项公式: n n 1 n 1

2 * a = a -1an+1(n∈N ,n≥2) n n (6)等比中项公式:



(7)数列{an}的前 n 项和与通项 an 之间的关系:
? ?S1,n=1, an=? ? ?Sn-Sn-1,n≥2.

2.重要性质 (1)通项公式的推广:等差数列中,an=am+ (n-m)d ;等比数 列中,an=

amqn-m .

(2)增减性: ①等差数列中, 若公差大于零, 则数列为 递增数列 ; 若公差小于零,则数列为 递减数列 .②等比数列中,若 a1>0 且 q>1 或 a1<0 且 0<q<1,则数列为 递增数列 且 q>1,则数列为 递减数列 . ;若 a1>0 且 0<q<1 或 a1<0

[真题再现] 1.(2015· 新课标全国卷Ⅱ)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和, 若 a1+a3+a5=3,则 S5=( A.5 C.9 B.7 D.11 )

答案:A
解析:∵ a1+a3+a5=3a3=3,∴a3=1, 又∵S5=5a3=5.故选 A.

2.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 1 的等差数列, Sn 为{an}的前 n 项和,若 S8=4S4,则 a10=( 17 19 A. B. C.10 2 2 D.12 )

答案:B
? 8×7 4×3 ? ? ? 解析:由 S8=4S4,得 8a1+ ×1=4×?4a1+ × 1 ?, 2 2 ? ?

1 19 解得 a1= ,∴a10=a1+9d= ,故选 B. 2 2

3.(2015· 浙江卷)已知{an}是等差数列,公差 d 不为零.若 a2, a3, a7 成等比数列, 且 2a1+a2=1, 则 a1=______, d=______.

2 答案: -1 3

2 解析:∵a2,a3,a7 成等比数列,∴a2 = a · a ,即 ( a + 2 d ) 3 2 7 1

3 =(a1+d)(a1+6d),解得 d=- a1,① 2 ∵2a1+a2=1,∴3a1+d=1,② 2 由①②可得 a1= ,d=-1. 3

4. (2015· 湖南卷)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和. 若 a1=1, 且 3S1,2S2,S3 成等差数列,则 an=________.
答案:3n-1

解析:由题意知,a2=a1q=q,a3=q2,S1=1,S2=1+q, S3=1+q+q2,又 4S2=3S1+S3,即 4(1+q)=3+1+q+q2,所 以 q=3(q=0 舍去),所以 an=a1qn-1=3n-1.

[感悟高考] 高考侧重于考查等差、等比数列的通项 an,前 n 项和 Sn 的 基本运算,另外等差、等比数列的性质也是高考的热点. 备考时应切实理解等差、等比数列的概念,加强五个量的基 本运算,强化性质的应用意识.

热点考向突破

考向一 等差(比)数列的基本运算 [典例 1] (1)(2015· 浙江卷)已知{an}是等差数列,公差 d 不 为零,前 n 项和是 Sn,若 a3,a4,a8 成等比数列,则( A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 )

1 (2)数列{an}是等比数列, 若 a3= , a =4, 则 a1a2+a2a3+… 2 6 +anan+1=________.

[审题突破]

(1)由 a3,a4,a8 成等比数列,想到等比中项,

找到 a1 与 d 的关系; (2)由等比数列中其中两项的值,求出等比数列的首项和公 比.

(1)答案:B
2 解析:由 a2 = a a ,得 ( a + 2 d )( a + 7 d ) = ( a + 3 d ) ,整理得 4 3 8 1 1 1

5 5 2 d(5d+3a1)=0,又 d≠0,∴a1=- d,则 a1d=- d <0,又∵S4 3 3 2 2 2 =4a1+6d=- d,∴dS4=- d <0.故选 B. 3 3

4n-1 (2)答案: 96 1 1 解析:由 a3= ,a6=4,解得 a1= ,q=2,又数列{anan+1} 2 8 1 ?1-4n? 32 1 是以 a1a2= 为首项, 公比 q=4 的等比数列, 故所求为 32 1-4 4n-1 = . 96

规律方法 等差(比)数列基本运算的关注点 (1)基本量: 在等差(比)数列中, 首项 a1 和公差 d(公比 q)是两 个基本的元素. (2)解题思路:①设基本量 a1 和公差 d(公比 q); ②列、解方程(组):把条件转化为关于 a1 和 d(q)的方程(组), 然后求解,注意整体计算,以减少计算量.

[变式训练] (2015· 豫东、 豫北十校联考)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 1 1 a3= ,且 S2+ ,S3,S4 成等差数列,数列{bn}满足 bn=8n. 8 16 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记数列{bn}的前 n 项和为
? 1? ? ? ? Tn, 求数列?an+T ? 的前 ? ? n?

n 项和.

1 解:(1)设数列{an}的公比为 q,因为 S2+ ,S3,S4 成等差 16 1 1 1 1 数列,故 2S3=S2+S4+ ,即 a3=a4+ ,又 a3= ,故 a4= , 16 16 8 16 a4 1 a3 1 故 q= = ,则 a1= 2= , a3 2 q 2
? ? ? 1? ?1?n-1 ?1?n * 故 an= · = ( n ∈ N ). ? ?2? 2 2? ? ? ? ?

(2)因为 bn=8n(n∈N*), 1 ? 1 1 1? ?1 ? 2 故 Tn=4n +4n, = = ?n- . Tn 4n?n+1? 4? n+1? ? 1 ? 1 1 1? ?1 ? 所以 an+ = n+ ?n- , Tn 2 4? n+1? ? ? 1? ? ? ? 记数列?an+T ? 的前 n 项和为 Qn. ? ? n? 1? 1? ? ? 1 - n 1 ? 2? 2? ? ? 1? ? ? 则 Qn= + ?1- 1 4? n+1? ? 1- 2 5 1 1 = - n- . 4 2 4?n+1?

考向二 等差(比)数列的判断与证明 [典例 2] (2014· 郑州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 1 满足 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2,n∈N ),a1= . 2
*

? ?1? ? ? (1)求证:?S ? 是等差数列; ? n? ?

(2)求数列{an}的通项公式;
2 2 (3)若 bn=2(1-n)an(n≥2,n∈N*),求证:b2 + b +…+ b 2 3 n<1.

[审题突破]

(1)利用等差数列的定义证明;

(2)由 Sn 求 an; (3)得到 b2 n的表达式,裂项求和.
解:(1)证明:由 an+2Sn· Sn-1=0(n≥2,n∈N*), 得 Sn-Sn-1+2Sn· Sn-1=0, 1 1 所以 - =2(n≥2,n∈N*), S n S n -1
? ?1? ? ? 故?S ? 是等差数列. ? n? ?

1 (2)由(1)知, =2n, Sn 1 1 1 1 故 Sn= ,an=Sn-Sn-1= - =- (n≥2,n 2n 2n 2?n-1? 2n?n-1? ∈N*), ?1 ?2,n=1, 所以 an=? 1 ?- ,n≥2,n∈N*. ? 2n?n-1?

? ? 1 1 ? ? * - (3)bn=2(1-n)· = ( n ≥ 2 , n ∈ N ), ? 2n?n-1?? n ? ?

所以 所以

1 2 bn= 2<

1 1 1 = - (n≥2,n∈N*), n n?n-1? n-1 n 2 2 3 1 1 1 - =1- <1. n n-1 n

1 1 1 2 2 2 b2+b3+…+bn<1- + - +…+

规律方法 判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法 (1)定义法: 对于 n≥1 的任意自然数, 验证 同一常数. (2)通项公式法: ①若 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d 或 an=kn+b(n∈N*), 则{an}为等差数列; ②若 an=a1qn-1=amqn-m 或 an=pqkn+b(n∈N*), 则{an}为等比 数列.
? a + ? n 1? ? an+1-an?或 ?为 a ? n ?

(3)中项公式法: ①若 2an=an-1+an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等差数列; ②若 a2 an+1(n∈N*,n≥2),则{an}为等比数列. n=an-1·

[变式训练] 3 (2015· 唐山二轮检测)已知数列{an},其前 n 项和为 Sn= n2 2 7 + n(n∈N*). 2 (1)求 a1,a2; (2)求数列{an}的通项公式,并证明数列{an}是等差数列; (3)如果数列{bn}满足 an=log2bn,试证明数列{bn}是等比数 列,并求其前 n 项和 Tn.

3 2 7 解:(1)a1=S1=5,a1+a2=S2= ×2 + ×2=13, 2 2 解得 a2=8. (2)当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1 3 2 7 2 = [n -(n-1) ]+ [n-(n-1)] 2 2 3 7 = (2n-1)+ =3n+2. 2 2 又 a1=5 满足 an=3n+2,所以 an=3n+2(n∈N*). 因为 an-an-1=3n+2-[3(n-1)+2]=3(n≥2,n∈N*). 所以数列{an}是以 5 为首项,3 为公差的等差数列.

(3)由已知得 bn=2an(n∈N*), bn+1 2an+1 = =2an bn 2an
+1

-an

=23=8(n∈N*),

又 b1=2a1=32, 所以数列{bn}是以 32 为首项,8 为公比的等比数列. 32?1-8n? 32 n 所以 Tn= = (8 -1). 7 1-8

考向三 等差、等比数列的性质 [典例 3] (1)在等比数列{an}中,如果 a1+a2=40,a3+a4= 60,那么 a7+a8 等于( A.135 B.100 ) C.95 D.80

(2)(2015· 江西南昌调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 2x-1 2 014π f(x)= x ,且 f(a2-2)=sin ,f(a2 3 2 +1 S2 015=________.
014-2)=cos

2 015π ,则 6

[审题突破] 和的性质;

(1)看到 a1+a2,a3+a4,a7+a8,想到等比数列

(2)要想求 S2 015,则要根据 f(x)的形式,找出 a2+a2 014 的值.

(1)答案:A 解析:利用等比等比数列{an}的性质有 S2,S4-S2,S6-S4, S8-S6 成等比数列,所以 S2=40,S4-S2=a3+a4=60,则 S6-S4 =90,S8-S6=135,故 a7+a8=S8-S6=135.故选 A. (2)答案:4 030 2x-1 2-x-1 1-2x 解析:因为 f(x)= x ,所以 f(-x)= -x = x ,所以 2 +1 2 +1 2 +1 f(x)+f(-x)=0,即 f(-x)=-f(x).

2x-1 2 因为 f(x)= x =1- x ,所以 f(x)是 R 上的增函数. 2 +1 2 +1
? π? 2 014π π 3 ? ? 671π + 因为 f(a2-2)=sin =sin? =-sin =- , 3? 3 3 2 ? ? ? π? 2 015π π 3 ? ? f(a2 014-2)=cos =cos?336π-6?=cos = ,所以 f(a2- 6 6 2 ? ?

2)=-f(a2 014-2)=f(2-a2 014), 所以 a2-2=2-a2 014,所以 a2+a2 014=4. 2 015?a1+a2 015? 2 015?a2+a2 014? 2 015×4 所以 S2 015= = = =4 2 2 2 030.

规律方法 等差(比)数列的性质盘点 类型 等差数列 等比数列

2ak=am+al(m,k,l a 2 al(m , k , l k = am· ∈N*且 m,k,l 成等 ∈N*且 m,k,l 成 项的 差数列) 等差数列)

性质 am + an = ap + aq(m , am· an=ap· aq(m,n, n, p,q∈N*,且 m p,q∈ N*且 m+n +n=p+q) =p+q)

类型

等差数列

等比数列

当 n 为奇数时: 当 n 为偶数时: n+1 Sn=na 2 和的 性质 S偶 =q(公比) S奇

依次每 k 项的和:依次每 k 项的和:Sk, Sk , S2k - Sk , S3k S2k-Sk, S3k-S2k, …构 - S2k , … 构成等 成等比数列 (k 为偶数 差数列 时公比 q≠-1)

[变式训练] 1.(2015· 衡水模拟)等差数列{an}中,3(a3+a5)+2(a7+a10+ a13)=24,则该数列前 13 项的和是( A.13
答案:B

) D.156

B.26

C.52

解析:因为 3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24, 所以 6a4+6a10=24,所以 a4+a10=4, 13?a1+a13? 13?a4+a10? 13×4 所以 S13= = = =26. 2 2 2

2. (2015· 昆明模拟)已知数列{an}为等比数列, 且 a1a13+2a2 7= 5π,则 cos(a2a12)的值为________.
1 答案: 2
2 2 2 解析:在等比数列{an}中,a1a13+2a2 = a + 2 a = 3 a 7 7 7 7=5π,

所以

5π 2 a7= .所以 3

cos(a2a12)=cos

a2 7=cos

5π π 1 =cos = . 3 3 2



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