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函数的单调性与最值(学生版)OK


函数的单调性与最值
一、知识导向或者情景引入 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 (2)f(x) = -2x+1 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . 2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 ○ 着 x 的增大而 ________ . -1 -1 1 x 1 x y 1 1 x

(1)随 x 的增大,y 的值有什么变化? (2)能否看出函数的最大、最小值? (3)函数图象是否具有某种对称性? 2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: (1)f(x) = x 1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○ 2 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 ○ 大,f(x)的值随着 ________ .

y 1 -1 -1 1 x

二、新课教学 (一)函数单调性 1.增函数
一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function) . 思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义. (学生活动) 注意:
1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; ○

单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以 有不同的单调性。
2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) .注 ○ 意“任意”两字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变 量是属于同一个单调区间。

1

2.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方) ○ ; 4 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; 5 ○ 下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 4、判定函数单调性的常见方法 (1)定义法:如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法 (2)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。 (3)直接法:运用已知的结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反 比例函数的单调性均可直接说出。 (4)判断单调性经常用到的结论: 1)函数 y ? ? f ( x)与函数y ? f ( x) 的单调性相反 2)函数 y ( x) 恒为正或恒为负时,函数 y ?

1 与y ? f ( x) 的单调性相反。 f ( x)

3)在公共区间内,增函数+增函数=增函数, 增函数-减函数=增函数 —减函数=增函数, —增函数=减函数 增函数—减函数=增函数, 减函数—增函数=减函数 5、复合函数的单调性

同增异减

提醒:书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上, 若函数在区间端点处有定义,则写成闭区间,当然写成开区间也可;若函数在 区间端点处没有定义,则必须写成开区间。

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(二)函数的最值
1.最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) . 思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值 (Minimum Value) 的定义. (学 生活动)

注意:
1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0∈I,使得 f(x0) = M; ○ 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x∈I, ○ 都有 f(x)≤M(f(x)≥M) . 3 函数的最值与函数的值域不同,任何一个函数都有值域,但并不是任何一 ○ 个函数都有最值。 2.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○ 2 利用图象求函数的最大(小)值 ○ 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 ○ 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b);

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例题讲解
例1、 证明函数 y ? x ?

1 在(1,+∞)上为增函数 x

例2、 作出函数 f ( x) ? 区间

x 2 ? 6 x ? 9 ? x 2 ? 6 x ? 9 的图象,并指出函数 f ( x) 的单调

例3、 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2在区间 求实数 a 的取值范 (??,4] 上是减函数, 围。

例 4、求二次函数 f ( x) ? x 2 ? 6 x ? 7 在区间[-2,2]上的最大值和最小值。

例4、 已知 f ( x) 是定义在[-1, 1]上的增函数, 且 f ( x ? 2) ? f (1 ? x),求x 的取值范围。

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跟踪练习
1 、 设

(a, b), (c, d )









f ( x)

















x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ), x1 ? x2 , 则f ( x1 )与f ( x2 ) 的大小关系是( )
A、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) C、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) B、 f ( x1 ) ? f ( x2 ) D、不能确定

2、在区间(0,+∞)上不是增函数的函数是 ( ) A.y=2x+1 B.y=3x2+1 C.y=

2 x

D.y=2x2+x+1

3、函数 f(x)=4x2-mx+5 在区间[-2,+∞]上是增函数,在区间(-∞,-2)上是减函数, 则 f(1)等于( ) A.-7 B.1 C.17 D.25 4、函数 f(x)在区间(-2,3)上是增函数,则 y=f(x+5)的递增区间是 ( ) A.(3,8) B.(-7,-2) C.(-2,3) D.(0,5) 5、已知函数 f(x)在区间[a,b]上单调,且 f(a)f(b)<0,则方程 f(x)=0 在区间[a,b]内( ) A.至少有一实根 B.至多有一实根 C.没有实根 D.必有唯一的实根

6、函数 y ? ? x 2 ? 2x 在[1,2]上的最大值为( A、1 B、2 C、-1 D、不存在



7、设函数 f ( x)是(??,??)上的减函数,则 f (a 2 ? 1)与f (a) 的大小是 8、若 f ( x)是R上的增函数,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ),则x1与x2 的大小关系是 9、设 f ( x) ? x 2 ? px ? q, 若f ( x) 的最小值为 0,则 q 为
10、函数 f(x)=-x3+1 在 R 上是否具有单调性?如果具有单调性,它在 R 上是增函数还是 减函数?试证明你的结论.

11、已知 f(x)是定义在(-2,2)上的减函数,并且 f(m-1)-f(1-2m)>0,求实数 m 的取值 范围.

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